Das Problem Eigenwerte der 2 × 2


Das Problem
Wir betrachten ein lineares Differentialgleichungssytem . Ornung mit zwei reelen
Zustandsvariablen x1 und x2 .
()
ẋ = Ax.
Ein solches System hat zu jedem Anfangswert x0 ∈ R2 eine eindeutige Lösung x (t)
mit x (0) = x0 die () erfüllt. Wir wollen diese Lösungsmenge in Hinblick auf
Stabilität der Lösungen charakterisieren.
Vorweg bemerken wir folgendes: Wenn zwei Lösungen x1 (t) und x2 (t) von
() bekannt sind, ist auch jeder Linearkombination v (t) = αx1 (t) + βx2 (t) eine
Lösung von (), denn es gilt
v̇ (t) = αẋ1 (t)+β ẋ2 (t) = αAx1 (t)+βAx2 (t) = A (αx1 (t) + βx2 (t)) = Av (t) .
 Eigenwerte der 2 × 2-Systemmatrix
Zur Matrix
A =
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
gehört die charakteristische Gleichung
det (A − λI) = 0.
()
Jede Lösung λ von () bezeichnet man als Eigenwert von A, die Menge aller Lösungen als Spektrum der Matrix A.
Gleichung () kann auch geschrieben werden als
a1,1 − λ
a1,2
det
= 0
a2,1
a2,2 − λ
oder
(a1,1 − λ) (a2,2 − λ) − a1,2 a2,1 = 0
oder
λ2 − λ (a1,1 + a2,2 ) + a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1 = 0
oder
λ2 − λ trA + det A = 0.
()
geschrieben werden.
Die quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen
q
1
2
λ1 =
trA − (trA) − 4 det A
2
q
1
2
trA + (trA) − 4 det A .
λ2 =
2
Dies sind die Eigenwerte der Matrix A. Falls die Wurzel gleich Null ist, sind beide
Eigenwerte identisch. Wir nehmen an, daß die Wurzel nicht Null ist und zwei
verschiedene Eigenwerte existieren.

Eigenvektoren
Wenn λ eine Eigenwert der Matrix A ist, ist die Matrix (A − λI) singulär. Damit
besitzt die Gleichung (A − λI) z = 0 eine Lösung z ∈ R2 , z 6= 0. Ein solcher
Lösungsvektor heißt Eigenvektor. Wir bezeichnen einen zu λ1 gehörgen Eigenvektor
mit z1 und einen zu λ2 gehörigen Eigenvektor mit z2 . Es gilt
Az1 = λ1 z1
Az2 = λ2 z2 .
Wenn z2 irgendein vielfaches von z1 wäre, müßten λ1 und λ2 gleich sein. Da sie
verschieden sind, sind z1 und z2 voneinander linear unabhängig. Damit hat das
Gleichungssystem
a
z1 z2
= x
b
für jedes x ∈ R2 eine Lösung (a, b) ∈ R2 .

Das Differentialgleichungssystem mit Eigenvektoren
Nehmen wir nun den Eigenvektor z1 und versuchen wir die Lösung
y1 (t) = eλ1 t z1
()
für das Differentialgleichungssystem (). Wir erhalten ẏ1 (t) = eλ1 t λ1 z1 =
eλ1 t Az1 = Ay1 (t). Also erfüllt () die Gleichung (). Ebenso erfüllt
y2 (t) = eλ1 t z2
()
das Gleichungssystem (). Damit erfüllt auch jede Linearkombination von () und
() das Gleichungssystem (). Betrachten wir nun die Lösung von (), die zu einem
beliebigen Anfangswert x0 gehört. Wir lösen
α
z1 z2
= x0
β
nach α und β . Dann ist
x (t) = αy1 (t) + βy2 (t)
die Lösung von () mit dem Anfangswert x (0) = x0 .
 Stabilitätsbedingungen bei reellen Wurzeln
Falls λ1 und λ2 reell sind gilt (trA)2 > 4 det A. Dann sind beide Wurzeln negativ,
wenn trA < 0 ist.
 Stabilitätsbedingungen bei komplexen Wurzeln
In diesem Fall ist
λ1 = re − i · im
λ2 = re + i · im.
mit
1
trA
2q
1
im =
(trA)2 − 4 det A.
2
re =
Dabei ist im reell. Der komplexe Anteil ist i · im. Für () und () erhalten wir nun
y1 (t) = ere·t e−i·im·t z1
y (t) = ere·t e+i·im·t z
2
2
()
()
Hier sind die Eigenvektoren ebenfalls komplex. Durch Multiplikation mit den
komplexen Zahlen ere·t e−i·im·t und ere·t e+i·im·t ergeben sich die reellen Zahlen
y1 (t) und y2 (t).
Es gilt Eulers Identität
eix = cos x + i sin x
Wir erhalten also
e−i·im·t = ere·t (cos (−im · t) + i sin (−im · t)) z1
ei·im·t = ere·t (cos (im · t) + i sin (im · t)) z2 .
und eingesetzt in () und ()
y1 (t) = cos (−im · t) + i sin (−im · t)
ei·im·t = cos (im · t) + i sin (im · t)
y1 (t) = ere·t (cos (−im · t) + i sin (−im · t)) z1
y2 (t) = ere·t (cos (im · t) + i sin (im · t)) z2 .
Die Faktoren in Klammern beschreiben reine Oszillationen. Die Konvergenz wird
allein durch den Term ere·t bestimmt. Dieser Term geht genau dann gegen Null
wenn der Realteil der Wurzeln negativ ist. Dieser Realteil ist re = 12 trA. Füpr den
Fall komplexer Wurzeln reicht also die Bedingung daß der Realteil der Wurzeln
negativ ist.
 Zusammenfassung
Zusammen ergibt sich mithin, daß die Lösung von () genau dann stabil ist, wenn
die Realteile der Wurzeln negativ sind. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn
die Bedungen
trA < 0
det A > 0
erfüllt sind.