quaternionen - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
QUATERNIONEN
Ausarbeitung im Rahmen des Seminars Geometrie SS 2011
Vorgelegt von: Ledoux, Tabea
Bfp Mathematik (Kern) und Sportwissenschaft
Matrikelnummer: 130999
Semester: 6
Im Winkel 30
58091 Hagen
Email-Addresse: [email protected]
Vorgelegt bei: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer
30.04.2011
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Wiederholung
5
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Körper, Schiefkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gruppenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . .
Wichtige Untergruppen von GL(n, R) bzw. GL(n, C)
Die Sphäre S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen als reelle Matrizen . . . . . . . . .
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3 Quaternionen
3.1 Denition und Darstellungen der Quaternionen . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Denition und Darstellung 1: Quaternione als reeller Vektor im R4
3.1.2 Darstellung 2: Quaternione als komplexer Vektor . . . . . . . .
3.1.3 Darstellung 3: Quaternione als Skalar und Vektor . . . . . . . .
3.1.4 Darstellung 4: Quaternione als komplexe Matrix . . . . . . . . .
3.2 Einheitsquaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Einheitsquaternionen und die Gruppe SU (2) . . . . . . . . . . .
3.2.2 Einheitsquaternionen und Drehmatrizen . . . . . . . . . . . . .
3.3 Symplektische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Denition: Symplektische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
6
7
7
7
10
11
12
14
14
15
20
20
21
21
4 Zusammenfassung und Anhang
22
5 Literatur
25
4.1 Handout: Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Einige Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
24
1 Einleitung
Die vorliegende Ausarbeitung über Quaternionen basiert im Wesentlichen auf die Literatur
Matrizen und Lie-Gruppen von Wolfgang Kühnel (s.
Seminarthema Matrizengruppen über
R
und
C
[8]). Sie baut auf das vorher behandelte
(siehe Seminarausarbeitung von Nora Fuÿ)
auf. Dort werden wichtige Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe
GL (n, K) sowie die
Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen beschrieben:
z = a + bi
mit
a, b ∈ R, i2 = −1
Nun besteht die Frage, ob man diesen Prozess der Erweiterung wiederholen kann. Somit
hat man zunächst den
1-dimensionalen
Imaginärteil einer komplexen Zahl durch einen
2-
dimensionalen Imaginärteil ersetzt. Jedoch konnte keine sinnvolle Multiplikation deniert werden.
Abb. 2: Gedenktafel an der Broom
Bridge in Dublin: Hamilton ritzte
Abb. 1: William Rowan Hamilton
(1805
1843 die Multiplikationsregeln
− 1865) [3]
spontan in den Stein
[3]
Schlieÿlich entdeckte William Rowan Hamilton (siehe Abb.1), wie man auf der Menge
H = {a + bi + cj + dk|a, b, c, d ∈ R}
mit einem
1-dimensionalen Realteil und einem 3−dimensionalen Imaginärteil eine Multiplika-
tion deniert, sodass man zumindest einen Schiefkörper erhält. D.h.: Auf die Kommutativität
bzgl. der Multiplikation musste verzichtet werden. Diese Menge nannte er Quaternionen. Am
16. Oktober 1843 schrieb Hamilton einen Brief an seinem Sohn, in dem er erzählt, wie er dazu
kam, die Multiplikationsregeln in einem Stein an der Broom Bridge zu ritzen (s. Abb. 2):
On the
16 th
of October,
1843
[...] I was walking [...] and your mother was walking
3
with me, along the Royal Canal [...] I felt at once the importance. An electric circuit
seemed to close; and a spark ashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of
many long years to come of denitely directed thought and work, by myself it spared, and
at all events on the part of others, if I should even be allowed to live long enough
distinctly to communicate the discovery. Nor should I resist the impuls unphilosophically as it may have been - to cut with a knife on one stone at Brougham
Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols i,
2
2
2
i = j = k = ijk = −1
j , k;
namely,
which contains the Solution of the Problem, but of course the
inscription, has long since mouldered away
[1]
Ansätze zu den Formeln gab es auch schon vorher im Vier-Quadrate-Satz bei Leonhard Euler
(1748, s.
im
R3
[5]). Insbesondere beschrieb Hamilton, wie man mithilfe von Quaternionen Drehungen
darstellen kann. Cayley gab
1858
eine Darstellung von Quaternionen durch komplexe
Matrizen an.
In dieser Ausarbeitung werden zunächst einige Grundbegrie in Kapitel
3
beinhaltet verschiedene Darstellungen der Quaternionen: z.B. als
2 wiederholt. Kapitel
4-dimensionaler
reeller
Vektor, als komplexer Vektor und als komplexe Matrix. Danach wird die Untergruppe der
sogenannten Einheitsquaternionen hervorgehoben, mit deren Hilfe man Drehungen im
darstellen kann. Kapitel
3.3
R3
behandelt die symplektische Gruppe für höhere Dimensionen.
Schlieÿlich folgt eine kurze Zusammenfassung in Form eines Handouts.
4
2 Wiederholung
2.1 Körper, Schiefkörper
Ein Körper besteht aus einer Menge
und ·, die je zwei Elementen
K
x, y ∈ K
von Elementen zusammen mit zwei Verknüpfungen
wieder ein Element
x+y
bzw.
x·y
von
K
zuordnen.
heiÿt Körper, wenn folgende Axiome bzgl. der Addition und Multiplikation für alle
+
K
a, b, c ∈ K
erfüllt sind:
1. Assoziativität:
a + (b + c) = (a + b) + c
2. Kommutativität:
a+b=b+a
und
Es gibt genau ein neutrales Element
a∈K
0∈K
mit
0 + a = a.
1 ∈ K \ {0}
mit
1 · a = a · 1 = a.
existiert genau ein additives Inverses
a ∈ K \ {0}
Zu jedem
a · (b · c) = (a · b) · c
a·b=b·a
3. Es gibt genau ein neutrales Element
4. Zu jedem
und
−a
mit
(−a) + a = 0.
existiert genau ein multiplikatives Inverses
a−1
mit
a−1 · a = 1 =
a · a−1 .
5. Distributivgesetze:
a · (b + c) = a · b + a · c
und
(a + b) · c = a · c + b · c
Ein Schiefkörper besitzt alle Eigenschaften eines Körpers mit Ausnahme der Kommutativität
der Multiplikation.
2.2 Gruppenhomomorphismus
Seien
gilt:
G
und
H
Gruppen. Eine Abbildung
∀ p, q ∈ G : f (p · q) = f (p) · f (q).
Es sei an folgendem
Sei
f
f : G 7→ H
heiÿt Gruppenhomomorphismus, falls
Ein bijektiver Homomorphismus heiÿt Isomorphismus.
Satz erinnert:
ein Homomorphismus. Dann gilt:
ker f = {eG } ⇔ f
d.h. für die Injektivität eines Homomorphismus reicht es zu zeigen:
ist injektiv,
f (q) = eH ⇒ q = eG .
Beweis:
Zu zeigen:
ker f = {eG } ⇒ f
verwiesen. Es gelte nun
ist injektiv. Für die Rückrichtung sei auf die Literatur [6]
ker f = {eG }. Sei f (p) = f (q). Insbesondere mithilfe der Eigenschaften
eines Homomorphismus folgt:
f (pq −1 ) = f (p)f (q −1 ) = f (p)f (q)−1 = f (p)f (p)−1 = eH ⇒ pq −1 = eG ⇒ p = q ⇒ f
5
ist injektiv
2.3 Wichtige Untergruppen von GL(n, R) bzw. GL(n, C)
Es folgen wichtige Untergruppen von
GL(n, R)
bzw.
GL(n, C):
Untergruppen
Bezeichnung
GL+ (n, R) = {A ∈ GL(n, R)|detA > 0}
Allgemeine lineare Gruppe
O(n) = {A ∈ GL(n, R)|AAT = E}
Orthogonale Gruppe
SO(n) = {A ∈ O(n)|detA = 1}
Drehgruppe
SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R)| detA = 1}
Spezielle lineare Gruppe
T
U (n) = {A ∈ GL(n, C)|AA = E}
Unitäre Gruppe
SU (n) = {A ∈ U (n)|detA = 1}
Spezielle unitäre Gruppe
Die orthogonale Gruppe
O(n)
ist die Gruppe der orthogonalen reellen (n
× n)-Matrizen.
Die
Determinante einer orthogonalen Matrix A kann mit folgender Begründung nur die Werte
annehmen: det(A
±1
AT ) = det(A)· det(AT ) = det(E) = 1 ⇒ (det(A))2 = 1, also det(A) = ±1.
|{z}
| {z }
= det(A)
=A−1
Insbesondere ist die Untergruppe
SO(3)
die Gruppe aller Drehungen um eine durch den
Koordinatenursprung verlaufende Achse im dreidimensionalen Raum.
2.4 Die Sphäre S n
Die Einheitssphäre ist wie folgt deniert:
S = {x ∈ X : kxk = 1},
mierter Raum ist. Die Einheits-3-Sphäre (auch
S3)
ist eine
wobei (X, k·k) ein nor-
3-dimensionale
Sphäre im
4-
dimensionalen Raum.
2.5 Komplexe Zahlen als reelle Matrizen
Wir wissen: Eine
Die Gruppe
C−lineare Abbildung kann auch als R−lineare Abbildung aufgefasst werden.
GL(1, C) = C \ {0}
ist eine Untergruppe von
GL(2, R).
gezeigt, entspricht die Multiplikation mit einer komplexen Zahl
mit der reellen Matrix
Wie im letzten Vortrag
z = a + ib
der Multiplikation


a −b
.
Az = 
b a
Dies deniert einen injektiven Gruppenhomomorphismus
des gilt für höhere Dimensionen mit der Einbettung
6
GL(1, C) → GL(2, R). Entsprechen-
GL(n, C) → GL(2n, R).
3 Quaternionen
Quaternionen stellen eine Erweiterung der komplexen Zahlen dar und spielen eine wichtige
Rolle für die Darstellung von Drehungen im
R3 .
3.1 Denition und Darstellungen der Quaternionen
Zuerst werden
4
Darstellungen behandelt. Die Quaternionen können z.B als Punkt im
R4 ,
aber auch als komplexe Matrix aufgefasst werden.
3.1.1 Denition und Darstellung 1: Quaternione als reeller Vektor im R4
Der Begri
Quaternione stammt von dem lateinischen Wort quattuor
vier. Die Quaternionen
Hamilton, stellen einen
ab und heiÿt übersetzt
H, der erste Buchstabe des Namens ihres Entdeckers William Rowan
4−dimensionalen
Vektorraum dar:
H = {a + bi + cj + dk|a, b, c, d ∈ R}
Dieser wird von der Basis
{1, i, j, k}
aufgespannt. Eine Quaternione
ähnlich konstruiert wie eine komplexe Zahl
ebenso aus einem
1-dimensional,
1−dimensionalen
sondern
(D.1)
a + ib
a ∈ R.
Realteil
3-dimensional.
mit
a, b ∈ R
q = a + bi + cj + dk
und
i2 = −1.
ist
Sie besteht
Jedoch ist der Imaginärteil nicht nur
Die drei Basiselemente
i, j, k
erfüllen die sogenannten
Hamilton - Regeln für ihre Multiplikation:
ij = −ji
=k
(1)
jk = −kj
=i
(2)
ki = −ik
=j
(3)
i2 = j 2 = k 2 = −1
Es gilt:
Für die Summen
ia = ai,
a + bi + cj + dk
ja = aj,
ka = ak
(4)
∀ a∈R
sind die Assoziativität und die Distributivität erfüllt.
Behauptung:
Mithilfe dieser Regeln bilden die Quaternionen einen Schiefkörper (s.
und Multiplikation, d.h. eine Quaternione
q = a + bi + cj + dk
mit der Addition
erfüllt alle Gesetze, die in einem
Körper gelten, auÿer die Kommutativität bzgl. der Multiplikation:
7
2.1)
q, q1 , q2 , q3 ∈ H.
Seien
1. Assoziativität:
q1 + (q2 + q3 ) = (q1 + q2 ) + q3
2. Kommutativität bzgl. der Addition:
und
q1 · (q2 · q3 ) = (q1 · q2 ) · q3
q1 + q2 = q2 + q1 ,
Keine Kommutativität bzgl. der Multiplikation: q1 · q2 6= q2 · q1
3. Es gibt genau ein neutrales Element
Es gibt genau ein neutrales Element
4. Zu jedem
0∈H
mit
0 + q = q ∀ q ∈ H.
1 ∈ H \ {0}
mit
1 · q = q · 1 = q ∀ q ∈ H.
q ∈ H gibt es genau ein inverses Element bezüglich der Addition: q +(−q) = 0.
Es gibt ein eindeutiges multiplikatives Inverses
5. Distributivität:
q1 · (q2 + q3 ) = q1 · q2 + q1 · q3
q −1 = |q|−2 q
und (q1
für alle
q 6= 0.
+ q2 ) · q3 = q1 · q3 + q2 · q3
Beweis:
Zunächst betrachten wir die Addition. Diese geschieht komponentenweise:
q1 + q2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i + (c1 + c2 )j + (d1 + d2 )k
Somit ergeben sich die Additionsgesetze einfach aus denen von
R.
Nun wird das Produkt
zweier Quaternionen erklärt. Dazu multipliziere man die Quaternionen aus und bringe sie
mithilfe der Hamiltonregeln auf die Form (D.1):
q1 · q2 = (a1 + b1 i + c1 j + d1 k) · (a2 + b2 i + c2 j + d2 k)
= a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2
+i(a1 b2 + b1 a2 + c1 d2 − d1 c2 )
+j(a1 c2 − b1 d2 + c1 a2 + d1 b2 )
+k(a1 d2 + b1 c2 − c1 b2 + d1 a2 )
Hierbei dürfen die reellen Zahlen verschoben werden: z.B gilt
steht das Produkt zweier Quaternionen wiederum aus einem
einem
3-dimensionalen
b1 ia2 = ib1 a2 .
1-dimensionalen
Somit be-
Realteil und
Imaginärteil. Der Nachweis aller Schiefkörperaxiome mit Ausnahme
der Existenz eines multiplikativen Inversen geschieht durch einfaches Nachrechnen unter Berücksichtigung der Hamilton-Regeln.
Beachte: Nichtkommutativität der Multiplikation
Folgendes Beispiel zeigt, dass die Multiplikation
und
q2 = j .
Dann gilt wegen der Hamilton-Regel
nicht
für alle
ij = −ji:
q1 · q2 = ij 6= ji = q2 · q1
8
q
kommutativ ist: Sei
q1 = i
Zum multiplikativen Inversen:
Der Nachweis geschieht analog zum Nachweis der Existenz des multiplikativen Inversen zur
komplexen Zahl:
1
z
=
z
mit
|z|2
z = a + bi
und
z = a − bi
für
z 6= 0.
Die komplex konjugierte
Quaternione ist folgendermaÿen deniert:
q = a − bi − cj − dk
Der Realteil bleibt also unverändert. Nur der Imaginärteil wird mit
−1
multipliziert. Es gilt
mithilfe der Hamiltonregeln:
|q|2 = qq = (a + bi + cj + dk) · (a − bi − cj − dk) = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R+
Somit ergibt sich durch äquivalente Umformung für alle
q 6= 0
(5)
das eindeutige multiplikative
Inverse:
q −1 =
1
= |q|−2 q
q
Es gilt dann die Rechenregel:
q1 · q2 = q2 · q1 .
(6)
Der Nachweis dieser Rechenregel kann durch einfaches Nachrechnen unter Verwendung des
oben berechneten Produktes von Quaternionen erfolgen.
Insgesamt kann man also eine Quaternione als reellen Vektor
Dies ergibt sich aus (D.1) durch Einsetzen der
q = (a, b, c, d)T ∈ R4
4-dimensionalen
auassen.
reellen Einheitsvektoren:
 
 
 
 
 
0
a
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
0
0
b
4
 
 
 
 

e1 = 
  , i = e2 =   , j = e3 =   , k = e4 =   ⇒ e1 a + ib + jc + kd =   ∈ R
0
0
1
0
c
 
 
 
 
 
0
0
0
1
d
Nun stellt sich die Frage, ob man eine Quaternione auch als komplexen Vektor darstellen
kann.
9
3.1.2 Darstellung 2: Quaternione als komplexer Vektor
Durch
a ∈ R 7→ a + 0 · i ∈ C können die reellen Zahlen R als Teilmenge der komplexen Zahlen
aufgefasst werden. Mit
a + b · i ∈ C 7→ a + b · i + 0 · j + 0 · k ∈ H
sind die komplexe Zahlen
C
Teilmenge der Quaternionen. Somit gilt:
R⊆C⊆H
Die komplexen Zahlen wurden aus den reellen Zahlen gewonnen:
i2 = −1.
a + bi
mit
a, b ∈ R
und
Ebenso können die Quaternionen aus den komplexen Zahlen durch Hinzunahme
eines Elementes
j
mit
j 2 = −1
gewonnen werden:
(1)
q = a + bi + cj + dk = (a + bi) + (c + di) j
| {z } | {z }
z∈C
Somit ergibt sich die Darstellung
2
w∈C
einer Quaternione:
H = {z + wj|z, w ∈ C}
Dabei gilt mit
(1)
j (a + bi) = ja + bji = aj − bij = (a − bi) j
| {z }
| {z }
=z
(D.2)
die Rechenregel:
=z
jz = zj
z∈C
für
(7)
Die komplex konjugierte Quaternione in (D.2) ergibt sich wie folgt:
(6)
(7)
q = z + wj = z + wj = z − jw = z − wj
Insgesamt kann also eine Quaternione auch als komplexer Vektor
werden. Dies ergibt sich aus (D.2) durch Einsetzen der
toren:
 
1
e01 =   ,
0
 
0
j = e02 =  
1
(8)
q = (z, w)T ∈ C2
2-dimensionalen
aufgefasst
reellen Einheitsvek-
 
z
⇒ ze01 + wj =   ∈ C2
w
Nun folgt eine Darstellung einer Quaternione, mithilfe derer man die Multiplikation innerhalb
des Imaginärteils einer Quaternione beschreiben kann.
10
3.1.3 Darstellung 3: Quaternione als Skalar und Vektor
Eine weitere Darstellungsform einer Quaternione besteht aus einem Skalar
a∈R
und Vektor
~v = (b, c, d)T ∈ R3 :
T
H = {a + (b, c, d) |a, b, c, d ∈ R}
(D.3)
Dies ergibt sich aus der (D.1) mit

1


0

 

 
i =  0 , j =  1

 
0
0






und
0

 
 
k= 0 
 
1
Für das Kreuzprodukt gelten folgende Regeln, die an die Hamilton-Regeln erinnern:
i × j = −j × i = k ,
j × k = −k × j = i,
k × i = −i × k = j
Behauptung:
Die Multiplikation innerhalb des Imaginärteils, der von
wird, geschieht wie folgt: Seien
(v1 , v2 , v3 )T .
q1 , q2 ∈
ImH
∼
= R3 ,
d.h.
i, j , k
aufgespannt
q1 = (u1 , u2 , u3 )T
und
q2 =
Dann gilt:
q1 q2 = −
hq , q i
| 1{z 2}
+
Skalarprodukt
q1 × q2
| {z }
Kreuzprodukt im
(9)
R3
Beweis (mithilfe der Hamiltonregeln und der Denition des Kreuzproduktes im R3 ):
(a, q1 )(b, q2 )
= (a + u1 i + u2 j + u3 k)(b + v1 i + v2 j + v3 k)
= ab + av1 i + av2 j + av3 k
−u1 v1 + bu1 i − u1 v3 j + u1 v2 k
−u2 v2 + u2 v3 i + bu2 j − u2 v1 k
−u3 v3 − u3 v2 i + u3 v1 j + u3 bk
= ab − u1 v1 − u2 v2 − u3 v3
+a(v1 i + v2 j + v3 k) + b(u1 i + u2 j + u3 k)
+(u2 v3 − u3 v2 )i + (u3 v1 − u1 v3 )j + (u1 v2 − u2 v1 )k
= ab + aq2 + bq1 − hq1 , q2 i + q1 × q1
=⇒ (9)
11
3.1.4 Darstellung 4: Quaternione als komplexe Matrix
In Wiederholung
2.5
haben wir gesehen, wie man die komplexen Zahlen als reelle Matrizen
darstellen kann. So stellt sich die Frage, ob man die Vorgehensweise auch auf Quaternionen
als komplexe Matrizen übertragen kann. Wir wissen, dass eine
R-lineare
C-lineare
Abbildung auch als
Abbildung aufgefasst werden kann. Nun erwartet man, dass auch eine
Abbildung als
C-lineare
man eine Quaternione
Abbildung aufgefasst werden kann. In (D.2) haben wir gesehen, dass
q = z + wj
auch als komplexen Vektor mit den Komponenten
auassen kann. Zur Erinnerung: Die allgemeine lineare Gruppe
als die Menge der
H-lineare
(n, n)-Matrizen,
GL(n, K)
(s.
und
w
4.2)
ist deniert
z
w
die invertierbar sind.

Behauptung: f : GL (1, H) −→ GL(2, C),
Einbettung, d.h. ein injektiver
z


0 6= q := z + wj 7→ Aq := 
−w z
Gruppenhomomorphismus (s. 2.2) mit z, w ∈ C.
ist eine
Beweis:
Die Gruppe
det(A)
GL (1, H) = {q | q 6= 0} ist eine Untergruppe (s. 4.2) von GL(2, C) = {A ∈ M2 (C) |
6= 0}.
Seien
q1 , q2 ∈ GL(1, H)
mit
x, y, z, w ∈ C.
Dann gilt:
:=p
:=o
(7)
z }| { z }| {
q1 q2 = (x + yj)(z + wj) = xz + yjwj + xwj + yjz = (xz − yw) +(xw + yz) j ∈ GL(1, H)
Hieran sieht man die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation für eine Untergruppe. Auch
das Inverse von einem
mit der komplexen
q ∈ GL(1, H)
Aq = 
z = a + bi
GL(1, H).
Identiziert man nun
q = z + wj
(2, 2)-Matrix

wobei
ist wieder in
und
z
w
−w
z
w = c + di
und


=
q 6= 0
a + bi
c + di

,
−c + di a − bi
(det(Aq )
= 0 ⇔ q = 0),
ergibt sich dieselbe
Multiplikation als Multiplikation von Matrizen:


 
=o

z }| {
 xz − yw
x y
z w
·
=
f (q1 ) · f (q2 ) = 

−xw − yz
−y x
−w z
| {z }
=−p
Mit (10) folgt, dass
zeigen. Da
f
f

=p
z }| {
xw + yz 

 = f (q1 · q2 )
xz − yw
| {z }
(10)
=o
ein Gruppenhomomorphismus ist. Nun bleibt noch die Injektivität zu
ein Homomorphismus ist, reicht für die Injektivität folgender Beweis (vgl. Satz
12
in
2.2):

f (z + wj) = E ⇔ 
z
T
Aq Aq = 
w
−w
z
Aq
Jede Matrix der Form von

z
w
−w


=
1 0
0 1

 ⇒ z = 1, w = 0 ⇒ q = 1 + 0j = 1.
erfüllt die Gleichung:
 
·
z
−w


=
|z|2 + |w|2 −zw + wz
2
2
−wz + zw |z| + |w|


1
0
(8)
(7)
2
2
2

mit |q| = qq = (z + wj)(z − wj) = |z| + |w| , E = 
0 1
Sie ist somit unitär (s.
z
4.2)
w
z
bis auf den skalaren Faktor

 = |q|2 E
(11)
|q|2 .
Insgesamt erhalten wir also eine Einbettung:

z
f : GL(1, H) → GL(2, C) durch 0 6= q = z + wj 7→ Aq = 
−w
w
z


(D.4)
Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen mit der Einbettung:
fn : GL(n, H) → GL(2n, C)
Z.B. für n=2 mit
q1 = z1 + w1 j, q2 = z2 + w2 j, q3 = z3 + w3 j, q4 = z4 + w4 j :



z2
w1 w2


 


 z3
z 4 w3 w4 
Z
=
 7−→ 


−w1 −w2 z1 z2 
q4
−W


−w3 −w4 z3 z4
q1 q2
q3
z1

W
Z
Dies wird noch einmal eine Rolle für die symplektische Gruppe in Kap.
Bemerkung:
Aq

(12)

3.3
spielen.
kann auÿerdem wie folgt aus (D.1) gewonnen werden:








1 0
i 0
0 1
0 i
 + b
 + c
 + d
 = a1 + bI + cJ + dK.
a
0 1
0 −i
−1 0
i 0
Hier sind wiederum
I, J
und
K
entsprechend der Hamiltonregeln. Somit können wir eine
Quaternione als komplexe Matrix darstellen.
13
3.2 Einheitsquaternionen
3.2.1 Einheitsquaternionen und die Gruppe SU (2)
Die Gruppe
GL(1, H)
ist die multiplikative Gruppe
H \ {0}
der Quaternionen, da mit
q 6= 0
das Inverse deniert ist. Darin gibt es die Untergruppe der sogenannten Einheitsquaternionen,
wobei die
3-dimensionale
Einheitssphäre (s.2.4) als Menge der Quaternionen vom Betrage 1
betrachtet werden kann:
H1 = {q ∈ H| |q| = 1} ∼
= S3 ⊂ R4
Seien
q1 , q2 ∈ H1 .
Es gilt:
(5)
(6)
|q1 q2 |2 = (q1 q2 )(q1 q2 ) = q1 (q2 q2 )q1 = q1 |q2 |2 q1 = q1 q1 |q2 |2 = |q1 |2 · |q2 |2 = 1
|{z}
∈R+
Somit folgt:
|q1 · q2 | = |q1 | · |q2 | = 1
(13)
Also ist die Multiplikation von Quaternionen vom Betrage 1 wieder ein Quaternion vom Betrag
1. Zudem gilt: Sei
q ∈ H1 ,
Das Inverse in
ist nun:
H1
also
|q| = 1 ⇒ q −1 ∈ H1 ,
q −1 =
Beispiele für Einheitsquaternionen sind:
die Gleichung:
|q| =
Wegen (11) mit
√
da
= 1.
1, i, j, k
oder auch
1 1
1
1
+ i + j + k.
2 2
2
2
Diese erfüllen
a2 + b2 + c2 + d2 = 1.
|q|2 = 1,
ist
Aq
mit
q ∈ H1
(11)
= zz + ww = |z|2 + |w|2 = |q|2 = 1
(
H1 ∼
=
1
|q|
q
q
= 2 =q
qq
|q|
unitär mit
Einheitsquaternionen auch als die Menge der unitären
det(Aq )
−1 q =

Aq = 
z
für alle
Aq Aq
T
= E.
(2, 2)-Matrizen
q ∈ H1
Somit kann man die
mit der Determinante
interpretieren:

)
 z, w ∈ C, zz + ww = 1 = SU (2).
z w
−w
Hierbei stellt sich die Frage, warum jetzt auch die Surjektivität gilt. Dies kann wie folgt nachgewiesen werden: Sei
A ∈ SU (2)
erste Zeilenvektor (z,
w) ist orthogonal zum zweiten Zeilenvektor. Wird nun (z, w) festgehal-
(s.2.3). Dann bilden die Zeilen von A eine ONB, d.h. der
ten, kann gezeigt werden, dass dann der zweite Zeilenvektor mit (−w,
z)
eindeutig festgelegt
ist. Zudem muss gezeigt werden, dass dieser der einzige Vektor ist, sodass die entsprechende
Determinante gleich
1
ist.
14
So können wir die
1 ∈ H1
3-Sphäre S 3 ⊂ R4
SU (2)
mit der Matrizengruppe
entspricht dabei der Einheitsmatrix
E,
und
−1
entspricht
identizieren. Die Zahl
−E .
3.2.2 Einheitsquaternionen und Drehmatrizen
Ziel ist es nun, jeder Quaternione
von
SO(3)
(s.
2.3)
q
|q| = 1
mit
eine reelle Drehmatrix
Rq ,
also ein Element
zuzuordnen. Dies kann in drei Schritten wie folgt erreicht werden:
Schritt 1:
Betrachte die Abbildung
fq : H → H : x → qxq −1
orthogonale Abbildung (s.
a) Seien
x, y ∈ H
und
mit
|q| = 1.
Zeige, dass
fq
eine lineare und
4.2) des Imaginärteils ist, so dass die Abbildungsmatrix Rq ∈ O(3).
α ∈ R.
fq (x + y) = q(x + y)q −1 = (qx + qy)q −1 = qxq −1 +
Es gilt:
qyq −1 = fq (x) + fq (y) und fq (αx) = q(αx)q −1 = α(qxq −1 ) = αfq (x).
Somit ist
fq
eine
lineare Abbildung.
b) Die euklidische Norm wird bewahrt:
(13)
kfq (x)k = qxq −1 = |q| · kxk · |q −1 | = kxk .
[7]),
Somit folgt mithilfe der Parallelogrammgleichung (s.
Skalarprodukt bewahrt wird, d.h.
hfq (x), fq (y)i = hx, yi.
dass auch das euklidische
Somit ist
fq
eine orthogonale
Abbildung.
c) Betrachte die Einschränkung
fq orthogonal
1⊥
=⇒
fq (ImH) ⊆
fq :
ImH.
ImH
fq
→
ImH. Es gilt:
fq (1) = q1q −1 = 1.
ImH
=
ist also eine orthogonale Abbildung des Imaginär-
teils.
Fasse nun
fq
als Abbildung
fq : ImH → ImH
b), c), dass es eine orthogonale Matrix
Rq
mit
(d.h.
x 7→ qxq −1
Rq−1 = RqT )
und
|q| = 1
gibt mit
auf. So folgt mit a),
fq (x) = Rq x.
Somit ist
Rq ∈ O(3).
Schritt 2: Nun zeige, dass Rq ∈ SO(3)!
Die Determinante einer orthogonalen Matrix kann nur die Werte
2.3). Die Determinante von Rq
ist aber gleich
±1
1 für q = 1: R1 x = x, also R1 = E3 , det R1 = 1.
Daher muss die Determinante aus folgendem Stetigkeitsgrund für jedes
S3
ist zusammenhängend. Sei
f : [0, 1] → {±1}
q0 ∈ S 3 ⇒ ∃ q : [0, 1] → S 3
mit
f (t) = det(Rq(t) )
f (0) = det(R1 ) = 1 ⇒ f ≡ 1 ⇒ det(Rq0 ) = 1 ⇒
Also folgt insgesamt, dass
annehmen (Beweis s.
Rq ∈ SO(3).
15
stetig,
ist stetig
q
gleich
1
sein:
t ∈ [0, 1], q(0) = 1, q(1) = q0 .
⇒f
ist konstant.
Die Determinante ist für alle
q
gleich eins.
Schritt 3:
Man zeige, dass
R : H1 → SO(3)
mit
R(q) = Rq
injektiver Gruppenhomomorphismus mit ker(R)
a) Es gilt:
ein surjektiver und bis auf Vorzeichen ein
= {±1}
ist.
R(q1 q2 )(x) = (q1 q2 )x(q1 q2 )−1 = q1 (q2 xq2−1 )q1−1
= R(q1 )(R(q2 ))(x) = (R(q1 ) · R(q2 ))(x).
Somit ist
R
ein Gruppenhomomorphismus.
ker R = {±1}:
b) Nachweis, dass
Es gilt:
ker R = {q ∈ H1 |R(q) = E}.
Sei
q ∈ ker R.
Dann gilt
R(q)x = qxq = x
für alle
x ∈ ImH.
ic
x = i, R(q)i = i
(a + bi + cj + dk)i(a − bi − cj − dk)
= (a + bi + cj + dk)(ai + b − kc + jd)
= ia2 + ab − kac + jad
−ab + ib2 + jbc + kdb
−kac + jbc − ic2 − cd
+jad + kdb + dc − id2
= i(a2 + b2 − c2 − d2 ) = i
(Vorfaktoren vor
k
und
j
fallen weg)
⇒a2 + b2 − c2 − d2 = 1
Aber wir wissen:
a2 + b2 + c2 + d2 = 1.
Mit Subtraktion der Gleichungen folgt:
c=d=0
iic
x = j , R(q)j = j
(a + bi)j(a − bi) = (a + bi)(aj + bk) = j(a2 − b2 ) = j
Aber wir wissen:
Somit folgt mit
ic, iic:
c) Oensichtlich gilt
a2 + b2 = 1.
a2 = 1,
Rq = R−q .
Da
a ∈ {1, −1}
ker(f ) = {±1} ⇔
=⇒ ker R = {±1}
f injektiv (bis auf Vorzeichen)
b)
f (p) = f (q). 1 = f (p)f (q)−1 = f (pq −1 ) ⇒ pq −1 = ±1 ⇒ p = ±q
16
f
bis auf das
2.2 vor und achte auf das Vorzeichen).
Beweis: "⇐": klar.
"⇒":
b = 0.
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist
Vorzeichen injektiv (man gehe ähnlich wie in Satz
Zu zeigen:
a2 − b2 = 1.
Subtraktion der Gleichungen liefert:
also
f
⇒
d) Zur Surjektivität von
R : H1 → SO(3)
mit
R(q) = Rq :
Für Surjektivität ist zu zeigen:
∀ A ∈ SO(3) ∃ q ∈ H1
Eine Matrix im
mit
R(q) = A.
SO(3) beschreibt eine Drehung um eine durch den Koordinatenursprung
verlaufende Achse im
R3 .
Sei
A ∈ SO(3).
Dann ist
A
normal
T
T
(AA = A A)
und damit
komplex diagonalisierbar. Das heiÿt: Die Einträge auf der Diagonalmatrix sind drei
Eigenwerte
λ1 , λ2 , λ3 ∈ C.
Es gilt:
|Av| = |λv| = |λ||v|
Sei
λ1 ∈
/R⇒
det(A)
o. E.
λ1 = λ2
A orthogonal
=
|v| =⇒ |λ| = 1
(A ist eine reelle Matrix),
= λ1 λ2 λ3 = λ1 λ1 λ3 = |λ1 |2 λ3
| {z }
A∈SO(3)
=
1
λ3 ∈ R,
d.h.
λ3 = ±1.
=⇒ λ3 = 1
=1
=⇒ ∃ v ∈ R3 mit Av = v
I. Einschub aus der LinA II (s.[6]): Drehmatrix
Für alle
A ∈ SO(3)
existiert eine Orthonormalbasis des
R3 ,
sodass A mit
α ∈ [0, 2π]
dieser Basis folgende Darstellung hat:


1
0
0




A = 0 cos α − sin α ∈ SO(3)


0 sin α cos α
A
beschreibt hier eine Drehung um die
x1 -Achse.
Um eine Drehung durch eine Quaternione zu beschreiben, verwenden wir folgende Darstellung:
17
bzgl.
II. Achsenwinkeldarstellung einer Quaternione:
q = cos
v:
α
α
+ v sin ∈ H
2
2
Drehachse,
Wir haben gezeigt, dass
Dann folgt:
Rq
α ∈ [0, 2π]:
Rq ∈ SO(3).
v ∈ ImH ∼
= R3 , |v| = 1
Drehwinkel,
und
|q| = 1
q −1 = cos α2 − v sin α2
Es kann nachgerechnet werden:
Rq (v) = v.
Rq (v ⊥ ) ⊆ v ⊥
beschreibt Drehung um
Drehung um
Wähle
mit
(Rv)-Achse.
x-Achse: q = cos α2 + i sin α2
v=i
Dabei ist
q = cos
α
α
+ i sin
2
2
Zur Erinnerung:
(A.1)
sin α = 2 sin α2 cos α2
(A.2)
cos α = cos2
α
2
− sin2
α
2
Rq x = Rcos α2 +i sin α2 x = qxq −1 = qxq
= (cos α2 + i sin α2 ) (bi + cj + dk) (cos α2 − i sin α2 )
= ib + j(cos2 α2 c − 2d sin α2 cos α2 − sin2 α2 c) + k(cos2 α2 d + 2c sin α2 cos α2 − sin2 α2 d)


b

b






 A.1+A.2 

=  cos2 α2 c − 2d sin α2 cos α2 − sin2 α2 c  = c cos α − d sin α




cos2 α2 d + 2c sin α2 cos α2 − sin2 α2 d
c sin α + d cos α

 
1
0
0
b

 

 
= 0 cos α − sin α  c  = Ax

 
d
0 sin α cos α
=⇒
Rq x = Ax
Die Rotation um einen beliebigen normierten Vektor
(x, y, z)
um einen Winkel
durch die Quaternione
q = cos
α
α
α
α
+ x · sin i + y · sin j + z · sin k
2
2
2
2
18
α
wird
repräsentiert. Jedes Quaternion mit dem Betrag
Insgesamt folgt, dass
1
repräsentiert eine Rotation.
SO(3) mit dem Raum der Antipodenpaare S 3 \± (also im 3-dimensionalen
reellen projektiven Raum) identiziert werden kann:
Abb. 3: Raum mit Geraden durch Ursprung im
Wegen der Isomorphie von
H1
und
SU (2)
folgt:
Es gibt auch einen Gruppenhomomorphismus
SU (2) → SO(3),
SU (2)
R
Aq
mit
und
H1
dem Gruppenhomomorphismus
A−q = −Aq
Element in
SO(3)
der durch die Identität von
entspricht. Also werden je zwei Antipoden
in
SO(3)
abgebildet. Jedes
hat zwei Urbilder. Die rein reellen Quaternionen
q = ±1
induzieren
in
SU (2)
R4
auf eine Drehmatrix
die Identität.
19
Rq = R−q
Rq
als
3.3 Symplektische Gruppe
3.3.1 Denition: Symplektische Gruppe
Die allgemeine lineare Gruppe über den Quaternionen
Menge der
(n, n)-Matrizen
Behauptung: Man kann
GL(n, H)
ist analog erklärt als die
mit quaternionalen Einträgen, die invertierbar sind.
GL(n, H)
als eine oene Teilmenge des
2
R4n
auassen.
Beweis: Wir wissen:
oen
GL(n, R) ⊆ Mn,n (R) ∼
= Rn
2
oen
2
2
GL(n, C) ⊆ Mn,n (C) ∼
= Cn ∼
= R2n
Nun ist zu zeigen:
oen
2
2
2
GL(n, H) ⊆ Mn,n (H) ∼
= Hn ∼
= C2n ∼
= R4n
Man kann nicht wie im vorherigen Vortrag mit der Stetigkeit der Determinantenfunktion argumentieren, weil sie bei Quaternionen nicht gegeben ist, da die Multiplikation nicht
kommutativ ist. Aber die Zuordnung
dass
oen
GL(2n, C) ⊆ M2n,2n (C).
f (A + B) = f (A) + f (B),
wobei
f : Mn,n (H) 7→ M2n,2n (C)
ist stetig. Wir wissen,
Auch für höhere Dimensionen gilt:
A
und
B
f (AB) = f (A)f (B ),
die entsprechenden Matrizen sind. Es gilt:
oen
GL(n, H) = f −1 (GL(2n, C)) ⇒ GL(n, H) ⊆ Mn,n (H)
Also:
f
ist stetig und unter einer stetigen Abbildung ist das Urbild oener Mengen oen.
Die Determinantenfunktion mit den üblichen Eigenschaften ist nicht mehr gegeben, aber man
kann von linear unabhängigen Spaltenvektoren sprechen, also von Matrizen mit maximalen
Rang.
Die symplektische Gruppe
Sp(n)
ist erklärt als Untergruppe von
GL(n, H),
und zwar
T
Sp(n) = {A ∈ GL(n, H) AA = E}.
Die Rechenregel
T
T
AB = B A
T
gilt dabei weiterhin. Wie lässt sich die symplektische Gruppe
Sp(n)→ GL(n, H) → GL(2n, C)?
z w
 darstellen. Dann können wir
Wir können q = z + wj durch die komplexe Matrix 
−w z
quaternionale (n, n)-Matrizen Z + W j beschreiben durch komplexe (2n, 2n)-Block-Matrizen
durch komplexe Matrizen darstellen mit der Einbettung

der Form:


Z
W
−W
Z
20


Ein Beispiel für
n=2
ist in
(12)


zu nden. Die Bedingung
Z
W
−W
 
T
−W T
Z
·
T
Z
W
ZT
T
AA = E
ist dann äquivalent zu

=E
3.3.2 Lemma


Matrix
A ∈ GL(2n, C)
ist im Bild von
Sp(n) ⇔ Jn AJn−1 = A
mit
0 −En

Jn = 
En
0
Beweis: Man rechnet für eine Matrix dieser Gestalt nach

Z
Jn A = Jn · 
−W
und
Jn AJn−1

W
=
Z
−Z
W
W
Z


=

W
Z

Z
 · (−Jn ) = 
−W
−Z
W


W
Z

 = A.
Jn A = AJn gilt, dann muss sie die angegebene
Falls umgekehrt für eine Matrix A die Gleichung
Blockgestalt haben:

Jn AJn−1 = 
0
En
−En

Z

0
X

A=
W

0

Y
−En
Z
W
X
Y


Y
=
−W
En
0

=
−X
Z

=⇒ A = 

−X −Y
Z
W


0
−En

 , Y = Z, X = −W
Z
W
−W
Z


3.3.3 Folgerung
Die symplektische Gruppe
Sp(n)
ist isomorph zur Gruppe
n
T
A ∈ GL(2n, C) AA = E
21
und
o
Jn AJn−1 = A .
En


Y
=
0
−W
−X
Z


4 Zusammenfassung und Anhang
4.1 Handout: Quaternionen
Denition und Darstellungen der Quaternionen
Def. und Darst. 1
H = {a + bi + cj + dk|a, b, c, d ∈ R}
•
Basis
{1, i, j, k}
•
Hamilton - Regeln:
ij = −ji
=k
(1)
jk = −kj
=i
(2)
=j
(3)
ki = −ik
2
2
2
i = j = k = −1
•
(4)
Menge der Quaternionen ist ein Schiefkörper
2
|q| = qq = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R+
•
Multiplikative Inverses:
•
Rechenregel:
∀ q 6= 0 : q −1 =
1
q
= |q|
mit
−2
q = a − bi − cj − dk
(5)
q
q1 · q2 = q2 · q1
Darst. 2
•
(6)
H = {z + wj|z, w ∈ C}
Rechenregel
(7)
jz = zj
Darst. 3
T
H = {a + (b, c, d) |a, b, c, d ∈ R}
• i = 1 0 0)T ,
j = 0 1 0)T
und
k = 0 0 1)T
• i × j = −j × i = k, j × k = −k × j = i, k × i = −i × k = j
• Seien q1 , q2 ∈ ImH ∼
q1 × q2
= R3 : q1 q2 = − hq1 , q2 i +
| {z }
| {z }
Skalarprodukt Kreuzprodukt im R3
Darst. 4
• f
f : GL(1, H) → GL(2, C),
z w
−w z
0 6= q = z + wj 7→ Aq =
ist inj. Gruppenhomomorphismus (Einbettung)
T
2
Aq Aq = |q| E
⇒
Aq
mit
2
2
2
|q| = qq = |z| + |w| , E =
1
0
ist also unitär bis auf den skalaren Faktor
22
0
1
2
|q|
Einheitsquaternionen
1. Einheitsquaternionen und die Gruppe SU (2)
• H1 = {q ∈ H| |q| = 1} ∼
= S3 ⊂ R4
• Seien q1 , q2 ∈ H1 .
|q1 · q2 | = |q1 | · |q2 | = 1 und |q| =
√
a2 + b2 + c2 + d2 = 1
• Inverses in H1 : q −1 = q
T
• Aq Aq = E . Also ist Aq mit q ∈ H1 unitär.
z
w ∼
• H 1 = Aq =
z, w ∈ C, zz + ww = 1 = SU (2)
−w z • Somit können wir die 3-Sphäre S 3 ⊂ R4 mit der Matrizengruppe SU (2) identizieren.
2. Einheitsquaternionen und Drehmatrizen
Ziel:
Jeder Quaternione q mit |q| = 1 eine reelle Drehmatrix Rq ∈ SO(3) zuordnen
Schritt 1: Betrachte Abb. fq : H → H : x → qxq −1 mit |q| = 1. Zeige, dass fq lineare, orthog. Abb. des
Imaginärteils ist, so dass Abb.matrix Rq ∈ O(3).
Schritt 2: Nun zeige, dass Rq ∈ SO(3).
Schritt 3: Zeige, R : H1 → SO(3) mit R(q) = Rq ist surj. und bis auf Vorzeichen inj. Gruppenhom. mit
ker(R) = {±1}.
Betrachte dazu den Homomorphiesatz: Ist R ein Homomorphismus und ker(R) der Kern von R, dann ist
der Quotient H1 /ker(R) isomorph zum Bild R(H1 ). Es gilt: Rp = R−q ⇐⇒ q = ±p. Somit kann SO(3)
mit dem Raum der Antipodenpaare S 3 \± (also im 3-dim. reellen projektiven Raum) identiziert werden.
Symplektische Gruppe
Man kann GL(n, H) als eine oene Teilmenge des R4n auassen. Es gibt keine übliche Determinantenfunktion, weil die Multiplikation nicht mehr kommutativ ist.
2
1. Denition: Symplektische Gruppe Sp(n)
T
Sp(n) = {A ∈ GL(n, H) AA = E}
T
T
• Sp(n) ist Untergruppe des GL(n, H) mit der Rechenregel AB = B A
T
• Einbettung Sp(n) → GL(n, H) → GL(2n, C): Die quaternionale (n, n)-Matrizen Z + W j kann
man beschreiben durch komplexe (2n, 2n)-Block-Matrizen der Form
Z
W
−W Z
2. Lemma
Matrix A ∈ GL(2n, C) ist im Bild von Sp(n) ⇔ Jn AJn−1 = A mit
3. Folgerung:
Jn =
n
T
Sp(n) ∼
= A ∈ GL(2n, C) AA = E und Jn AJn−1 = A}
23
0
En
−En
0
4.2 Einige Grundbegrie
Gruppe, Untergruppe
(G, ∗):
Assoziativität: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Axiome der Gruppe
1.
e ∈ G,
2. Neutrales Element:
mit
a ∗ e = e ∗ a = a.
−1 mit
3. Inverses Element: a
Die Gruppe
(G, ∗)
heiÿt
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
kommutativ, wenn a ∗ b = b ∗ a,
Eine nichtleere Teilmenge
U
von
G
ansonsten nicht-kommutativ.
bildet eine Untergruppe
(U, ◦)
von
(G, ◦)
genau dann,
wenn
1.
a, b ∈ U ⇒ a ◦ b ∈ U
2.
a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U
Unitäre Matrix
Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix
T
A mit A A = E , wobei E die Ein-
heitsmatrix ist. Damit gilt für die Inverse einer unitären Matrix:
T
A−1 = A
. Die Determinante
einer unitären Matrix hat den Betrag 1.
Allgemeine lineare Gruppe
Die allgemeine lineare Gruppe
sind, wobei entweder
GL (n, K)
ist die Menge der
(n, n)-
Matrizen, die invertierbar
K = R oder K = C. Die Gruppenstruktur ist durch das Matrizenprodukt
(A, B) 7→ A·B gegeben mit der Inversen A 7→ A−1 und der Einheitsmatrix E als dem neutralen
Element.
Orthogonale Abbildung
Sei
V
ein endlich dimensionaler, euklidischer Vektorraum. Eine Abbildung heiÿt orthogonal,
wenn für alle
v1 , v2 ∈ V
gilt:
hf (v1 )f (v1 i = hv1 , v2 i.
Eine Abbildung ist genau dann ortho-
gonal, wenn sie linear ist und ihre Matrixdarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis eine
orthogonale Matrix ist.
24
5 Literatur
[1]
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Abbildungen und Matrizen (Viehweg)
6.
Auage
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[2]
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion, Zugri am 02.05.2011
[3]
http://de.wikipedia.org/wiki/William_ Rowan_ Hamilton, Zugri am 02.05.2011
[4]
K. Königsberger, Analysis 1, (Springer), 6. Auage 2004
[5]
O. Forster, Algorithmische Zahlentheorie (Vieweg-Verlag), 1996
[6]
Prof. Dr. L. Schwachhöfer, LinA I + II - Vorlesung WS
[7]
R. Busam, T. Epp, Prüfungstrainer Analysis (Spektrum)
[8]
W. Kühnel, Matrizen und Lie-Gruppen - Eine geometrische Einführung (Vieweg +
Teubner Verlag),
1.
Auage
2011
25
08/09
+ SS
2008,
S.30
09
an der TU Dortmund
+ 213