7. Übungsblatt

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Prof. H. Monien
St. Krämer
R. Sanchez
SS2014
Theoretische Physik I
Mechanik
7. Übungsblatt
Präsenzaufgaben
Donnerstag, den 22. Mai 2014
Präsenzaufgabe 1 (Kleine Schwingungen).
Ein Teilchen der Masse m bewege sich entlang der x-Achse im Potential
V (x) = A e−2ax − e−ax
mit reellen Konstanten A und a.
a. Stellen Sie die Langrangefunktion auf.
b. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Schwingungen auf.
Hinweis: Benutzten Sie die Taylorentwicklung für das Potential.
c. Bestimmen Sie die Schwingungsfrequenz.
Präsenzaufgabe 2 (Schwingung eines linearen Moleküls).
Wir betrachten ein dreiatomiges, linears Molekül. Für die Berechnung von kleinen Schwingungen des Moleküls um die Gleichgewichtslage kann das skizzierte Modell mit Massen
m und M sowie der Federkontanten k verwendet werden.
M
m
k
m
k
Abbildung 1: Lineares Molekül
a. Stellen Sie die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichung für die eindimensionale Bewegung auf. Verwenden sie die Auslenkung der Atome aus den Gleichgewichtslagen als verallgemeinerte Koordinaten.
b. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen und die zugehörigen linearen Eigenschwingungen des Moleküls.
Hinweis: Schreiben sie die drei Bewegungsgleichungen zu einer Vektorgleichung
um. Bestimmen Sie dann die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von
der Systemmatrix. Schreiben Sie dann die Bewegungsgleichungen in die Diagonalform um.
c. Geben Sie die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung an.
1
Hausaufgaben
Abgabe am Montag, den 02. Juni 2014
Hausaufgabe 3 (Schwingungen eines Ringmoleküls - 13 Punkte).
Wir betrachten ein sechsatomiges Ringmolekül. Für die Berechnung von kleinen Schwingungen des Moleküls um die Gleichgewichtslage kann das skizzierte Modell mit der Masse
m sowie der Federkontanten k verwendet werden.
k
m
k
m
m
k
k
m
m
m
k
k
Abbildung 2: Ringmolekül
a. Stellen Sie die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichung für die zweidimensionale Bewegung auf. Verwenden Sie die Auslenkung der Atome aus den Gleichgewichtslagen als verallgemeinerte Koordinaten.
(6 Punkte)
b. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen und die zugehörigen linearen Eigenschwingungen des Moleküls.
(7 Punkte)
Hausaufgabe 4 (Der Asteroid - 7 Punkte).
Ein Astronom hat einen riesigen Asteroiden entdeckt, der auf die Erde zurast. Zum
Zeitpunkt der Entdeckung befindet sich der Asteroid 100 000km von der Erde entfernt.
Seine Geschwindigkeit ist 20 km/s und der Geschwindigkeitsvektor bildet mit der Verbindungslinie Erde-Asteroid einen Winkel von nur 5◦ ! Die Masse des Asteroiden wird
auf 100 000 − 500 000 t geschätzt.
Wird der Asteroid auf die Erde aufschlagen? Berücksichtigen Sie nur das Gravitationspotential der Erde.
Viel Spaß!
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