Grundlagen der Informatik -

Vorteile der formalen Darstellung
Präzisierung der relevanten Aussagen
eindeutige Semantik der (Aussagen-)Logik
Abstraktion von unwichtigen Details
Modellierung in (Aussagen-)logik
Struktureigenschaften logischer Beschreibungen
Schlußweisen unabhängig von Bedeutung der
Aussagen
Beispiel: (Aus p ∨ q und ¬p folgt q.)
1. T besucht Kino oder Konzert. T nicht im Kino.
Also
√ besucht T das Konzert. √
oder irrational. 2 6∈ .
2. 2 ist rational
√
Also ist 2 irrational.
Q
Systematisches Lösen von (Aussagen-)logisch dargestellten
Problemen möglich
(z.B. durch Wahrheitswertfunktionen)
Beispiel: Lehmann, Müller, Schmidt aus ÜA 1.3
Aussagenlogische Formeln (Syntax)
Junktoren z.B. ∧, ∨, ¬, →, ↔, t, f
Aussagenvariablen (Atome), z.B. p, q, r , s, . . .
Definition 2.1 (induktiv)
Die Menge AL(P) aller (aussagenlogischen) Formeln mit
Aussagenvariablen aus der Menge P ist definiert durch:
1. Alle Aussagenvariablen p ∈ P sind Formeln. (P ⊆ AL(P)).
2. t und f sind Formeln.
3. Sind ∗ ein einstelliger Junktor und ϕ eine Formel,
dann ist auch (∗ϕ) eine Formel.
4. Sind ∗ ein zweistelliger Junktor und ϕ und ψ Formeln,
dann ist auch (ϕ ∗ ψ) eine Formel.
(2.-4.) Sind j ein n-stelliger Junktor und ϕ1 , . . . , ϕn Formeln,
dann ist auch j(ϕ1 , . . . , ϕn ) eine Formel.
(Aus {ϕ1 , . . . , ϕn } ⊆ AL(P) folgt j(ϕ1 , . . . , ϕn ) ∈ AL(P).)
Aussagenlogische Formeln (Beispiele)
Junktoren der klassischen Aussagenlogik: {¬, ∨, ∧, →, ↔}
kürzere Notation:
ohne äußere Klammern und Klammern um ¬ϕ
Beispiele:
t ∧ (¬t)
¬¬¬p
∧(p ∨ q)
¬(p → q)
→q
Formel ohne Aussagenvariablen
Formel mit Aussagenvariable p
syntaktisch unkorrekt
Formel mit Aussagenvariablen p, q
syntaktisch unkorrekt
Baumstruktur (analog arithmetischen Termen)
Beispiel (Tafel):
ϕ = ((p ∧ ¬q) → (¬r ∨ (p ↔ q)))
Teilformeln
Definition 2.2 (rekursiv)
Eine Formel ψ heißt Teilformel der Formel ϕ, falls
I
ψ = ϕ oder
I
ϕ = ¬ϕ1 und ψ eine Teilformel von ϕ1 ist oder
I
ϕ = ϕ1 ∗ ϕ2 mit ∗ ∈ {∧, ∨, →, ↔} und ψ eine Teilformel von
ϕ1 oder ϕ2 ist.
Beispiele:
I
ϕ = ¬p ∧ (t ∨ p)
Teilformeln: ¬p ∧ (t ∨ p), ¬p, p, t ∨ p, t
I
ϕ = p Atom
hat genau eine Teilformel: p
Aussagenlogische Interpretationen
(Belegungen der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten)
Interpretation (für Formeln ϕ ∈ AL(P))
Zuordnung W : P −→ {0, 1}
Beispiel: P = {p, q} und W mit W (p) = 1 und W (q) = 0
Menge aller Interpretationen für Formeln ϕ ∈ AL(P)
W(P) = {W : P −→ {0, 1}} = 2P
W
Beispiel: für P = {p, q} ist (P) = {W00 , W01 , W10 , W11 } mit
W00 (p) = W00 (q) = 0,
W01 (p) = 0 und W01 (q) = 1,
W10 (p) = 1 und W10 (q) = 0,
W11 (p) = W11 (q) = 1.
Wahrheitswerte für Formeln
Erweiterung der Interpretation W : P −→ {0, 1} zu einer
Funktion
W : AL(P) −→ {0, 1}
Der Wert W (ϕ) der Formel ϕ in der Interpretation W wird
induktiv
mit den Wahrheitswertfunktionen der Junktoren
aus den Werten der Teilformeln von ϕ bestimmt:
I für ϕ = p ∈ P: W (ϕ) = W (p)
I W (t) = 1 , W (f) = 0
I W (¬ψ) = [¬]W (ψ) = 1 − W (ψ)
I W (ψ1 ∧ ψ2 ) = W (ψ1 )[∧]W (ψ2 ) = min (W (ψ1 ), W (ψ2 ))
I W (ψ1 ∨ ψ2 ) = W (ψ1 )[∨]W (ψ2 ) = max (W (ψ1 ), W (ψ2 ))
Beispiel: ϕ = ((p ∧ ¬q) → (¬r ∨ (p ↔ q)))
W (p) = 0, W (q) = 1, W (r ) = 0