Formelsammlung zur Statistik I - Ruhr

Formelsammlung
zur
Statistik I
Prof. Dr. Rolf Hüpen
Prof. Dr. Manfred Lösch
Fakultät für Wirtschaftswissenschaft
Inhaltsverzeichnis
1 Deskriptive Statistik
1.1 Datenlagen . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quantile . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . .
1.4 Streuungsmaße . . . . . . . . . . .
1.5 Konzentrationsmaße . . . . . . . .
1.6 Korrelationskoeffizienten . . . . . .
1.7 Lineare Einfachregression . . . . . .
1.8 Grundbegriffe der Zeitreihenanalyse
1.9 Zeitliche Veränderungszahlen . . . .
1.10 Wachstumsmodelle . . . . . . . . .
1.11 Elastizitäten . . . . . . . . . . . . .
1.12 Indexzahlen . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
6
9
10
12
13
14
16
19
22
23
1
1 Deskriptive Statistik
1.1 Datenlagen
1.1.1 Datenlage A
n beobachtete Merkmalswerte liegen als Urliste x1 , . . . , xn vor.
1.1.2 Datenlage B
Es liegen zu m von einander verschiedenen Merkmalsausprägungen x1 , . . . , xm die
zugehörigen absoluten Häufigkeiten h1 , . . . , hm (hi ≥ 0) ihres Auftretens vor.
n := h1 + . . . + hm ist die Anzahl der Merkmalsträger, bei denen das Merkmal
erhoben worden ist.
fi :=
hi
n
heißt relative Häufigkeit der i-ten Ausprägung xi .
Hi := h1 + . . . + hi heißt kumulierte absolute Häufigkeit und
Fi := f1 + . . . + fi = n1 (h1 + . . . + hi ) = n1 Hi heißt kumulierte relative Häufigkeit.
Häufigkeitstabelle:
i
1
2
..
.
Merkmalsausprägung
x1
x2
..
.
m
xm
Häufigkeit
absolut
relativ
h1
f1 = h1 /n
h2
f2 = h2 /n
..
..
.
.
hm
n=
m
P
i=1
fm = hm /n
hi
1=
m
P
kumulierte Häufigkeit
absolut
relativ
H1
F1
H2
F2
..
..
.
.
Hm = n
Fm = 1
fi
i=1
3
1 Deskriptive Statistik
Empirische Verteilungsfunktion:
F (x) :=


 0
, x < x1
, xi ≤ x < xi+1
, xm ≤ x
Fi


1
, i = 1, . . . , m − 1
1.1.3 Datenlage C
Es liegen vor k Klassen G1 = [a0 , a1 ), . . . , Gk = [ak−1 , ak ) mit der Breite ∆i :=
ai − ai−1 > 0 für alle i = 1, . . . , k, sowie die absoluten Häufigkeiten h1 , . . . , hk in den
k Klassen.
n := h1 +. . .+hk ist die Anzahl der Merkmalsträger, bei denen das Merkmal erhoben
worden ist.
fi :=
hi
n
relative Häufigkeit zur Klasse Gi ,
Hi := h1 + . . . + hi kumulierte absolute Häufigkeit zur Klasse Gi und
Fi := f1 + . . . + fi = n1 Hi kumulierte relative Häufigkeit
Häufigkeitstabelle:
Klasse
Grenzen
[a0 , a1 )
[a1 , a2 )
..
.
Mittelpunkt
x1
x2
..
.
G1
G2
..
.
Gk
Breite
Häufigkeit
absolut
relativ
h1
f1 = h1 /n
h2
f2 = h2 /n
..
..
.
.
∆1 = a1 − a0
∆2 = a2 − a1
..
.
[ak−1 , ak )
xk
∆k = ak − ak−1
hk
k
P
n=
hi
fk = hk /n
k
P
1=
fi
i=1
kumulierte
relative H.keit
F1
F2
..
.
Fk = 1
i=1
Approximierende empirische Verteilungsfunktion:
F̂ (x) :=





0
f
Fi−1 + ∆i (x − ai−1 )


i


1
, x < a0
, ai−1 ≤ x < ai
, i = 1, . . . , k
, ak ≤ x
Histogramm:
Darstellung der Häufigkeiten unter Beachtung der Flächenproportionalität der Balken.
Die Höhe des Rechtecks über der Klasse Gi = [ai−1 , ai ) wird wie folgt bestimmt:
4
1.2 Quantile
hi bei absoluten Häufigkeiten
Höhe gi := ∆
i
fi bei relativen Häufigkeiten
Höhe di := ∆
i
gi heißt absolute Häufigkeitsdichte
di heißt relative Häufigkeitsdichte
1.2 Quantile
1.2.1 Definition des p-Quantils
Zu 0 < p < 1 heißt x̃p p-Quantil, falls sich unterhalb von x̃p höchstens 100 · p %
und oberhalb von x̃p höchstens 100 · (1 − p) % der Beobachtungswerte befinden.
0.25-Quantil := Q1 := unteres Quartil
0.50-Quantil := Q2 := mittleres Quartil oder Median
0.75-Quantil := Q3 := oberes Quartil
1.2.2 Datenlage A:
(
x̃p =
x([np+1])
, np nicht ganzzahlig
1
(x([np]) + x([np+1]) ) , np ganzzahlig
2
,
wobei
[α] := größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich α ist
und
x(i) den i-ten Beobachtungswert in der geordneten Urliste x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n)
bezeichnet.
1.2.3 Datenlage B:
(
x̃p =
xi
,
1
(xi + xi+1 ) ,
2
falls Fi−1 < p < Fi
falls p = Fi
,
wobei F0 := 0 gesetzt wird.
5
1 Deskriptive Statistik
1.2.4 Datenlage C:
x̃p wird angenähert als Lösung der Gleichung F̂ (x̃p ) = p mit der approximierenden
empirischen Verteilungsfunktion F̂ berechnet.
Man bestimme zunächst die Klasse Gi = [ai−1 , ai ) mit Fi−1 < p ≤ Fi , (F0 := 0),
und setze dann
x̃p ≈ ai−1 +
p − Fi−1
· (ai − ai−1 ) .
Fi − Fi−1
Liegen absolute Häufigkeiten vor, bestimme man die Klasse Gi = [ai−1 , ai ) mit
Hi−1 < n · p ≤ Hi , (H0 := 0), und setze dann
x̃p ≈ ai−1 +
n · p − Hi−1
· (ai − ai−1 ) .
Hi − Hi−1
1.3 Mittelwerte
1.3.1 Datenlage A:
Modus := häufigster Beobachtungswert
Median := mittleres Quartil = 0.50-Quantil
arithmetisches Mittel (AM):
AM :=
n
1X
xi
n i=1
harmonisches Mittel (HM):
n
HM := X
n
1
i=1
xi
geometrisches Mittel (GM):
v
u n
uY
n
GM := t
xi
i=1
6
1.3 Mittelwerte
1.3.2 Datenlage B:
Modus := Merkmalsausprägung mit der größten absoluten oder relativen Häufigkeit
Median :=

 xi

1
(xi
2
,
falls Fi−1 < 0.5 < Fi
+ xi+1 ) ,
falls 0.5 = Fi
Gewichtetes arithmetisches Mittel (GAM):
m
m
X
X
1
·
hi · xi =
fi · xi
GAM := P
m
i=1
hi i=1
i=1
Gewichtetes harmonisches Mittel (GHM):
m
X
GHM :=
i=1
m
X
i=1
hi
hi
xi
! =
1
m
X
i=1
fi
xi
!
Gewichtetes geometrisches Mittel (GGM):
m
GGM :=
m
Y
!1/ P hi
xhi i
i=1
v
um
uY h
n
xi i
= t
i=1
i=1
1.3.3 Datenlage C:
Modus (Verfahren 1):
Quadratische Interpolation in der modalen (häufigsten) Gruppe.
Man bestimmt die modale Klasse Gi , d.h. die Klasse Gi = [ai−1 , ai ) mit der größten
Häufigkeitsdichte gi := hi /(ai − ai−1 ) und legt ein quadratisches Polynom
f (x) = ax2 + bx + c
durch die Punkte mit den Koordinaten (xi−1 ; gi−1 ), (xi ; gi ), (xi+1 ; gi+1 ), wobei xi−1 ,
xi , xi+1 die Mittelpunkte der Klassen Gi−1 , Gi , Gi+1 bezeichnen.
Die Stelle x0 , für die f (x) das Maximum annimmt, wird als Modus gewählt.
7
1 Deskriptive Statistik
Modus (Verfahren 2):
Näherungslösung für Verfahren 1
Man bestimmt wie beim Verfahren 1 die modale Klasse Gi und berechnet
Modus =
ai (hi − hi−1 ) + ai−1 (hi − hi+1 )
(hi − hi−1 ) + (hi − hi+1 )
Bei unterschiedlichen Klassenbreiten sind in der obigen Formel die absoluten Häufigkeitsdichten gi anstelle von hi zu verwenden.
Median:
Man bestimme die Klasse Gi = [ai−1 , ai ) mit Fi−1 < 0.5 ≤ Fi . In diese Klasse Gi
fällt der Median.
Eine Feinberechnung x̃ des Medians läßt sich unter der Annahme der Gleichverteilung in den Klassen wie folgt durchführen:
x̃ = ai−1 +
0.5 − Fi−1
∆i
· (ai − ai−1 ) = ai−1 + (0.5 − Fi−1 ) ·
Fi − Fi−1
fi
Liegen absolute Häufigkeiten vor, bestimmt man die Klasse Gi = [ai−1 , ai ) mit
Hi−1 < n2 ≤ Hi und approximiert den Median mit
x̃ = ai−1 +
0.5 · n − Hi−1
∆i
· (ai − ai−1 ) = ai−1 + (0.5 · n − Hi−1 ) ·
Hi − Hi−1
hi
.
Arithmetisches, harmonisches und geometrisches Mittel werden wie bei der
Datenlage B in Form der gewichteten Mittel GAM, GHM und GGM mit Hilfe der
Klassenmitten berechnet.
1.3.4 Allgemeine Aussagen für Mittelwerte
• xi = c für alle i = 1, . . . , n
⇒
Modus = Median = AM = HM = GM
• HM < GM < AM, falls xi nicht konstant
• Lageregel von Fechner:
8
Modus ≤ Median ≤ AM
bei einer linkssteilen Verteilung
Modus ≥ Median ≥ AM
bei einer rechtssteilen Verteilung
Modus = Median = AM
bei einer symmetrischen Verteilung
1.4 Streuungsmaße
1.4 Streuungsmaße
Normierte Entropie (ENorm ) für Datenlage B:
m
X
1
(
)
fi · log
m
fi
1
1X
ENorm =
log(n) −
[ hi log(hi ) ] = i=1
log(m)
n i=1
log(m)
!
mit hi log hi = fi log( f1i ) := 0 für hi = fi = 0
Spannweite R:= Max - Min
Quartilsabstand := Q3 − Q1
Mittlere Spannweite (MSP):
!
Q2 − Min
Max − Q2
M SP := −
· 100 ;
· 100
Q2
Q2
Mittlerer Quartilsabstand (MQA):
!
Q2 − Q1
Q3 − Q2
M QA := −
· 100 ;
· 100
Q2
Q2
Mittlere quadratische Abweichung (s2 ):
Datenlage A:
Datenlage B:
Datenlage C:
s2 :=
2
s :=
s2 :=
1
n
1
n
1
n
n
P
(xi − AM )2
i=1
m
P
hi · (xi − GAM )2
i=1
k
P
hi · (xi − GAM )2
i=1
Standardabweichung (s):
√
s := + s2
Variationskoeffizient (V):
V :=
s
· 100
AM
(in %)
9
1 Deskriptive Statistik
1.5 Konzentrationsmaße
1.5.1 Lorenzkurve
1.5.1.1 Datenlage A
• Gegeben: geordnete Urliste der n Beobachtungswerte: x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n)
• Merkmalssumme: S =
n
P
i=1
x(i)
• Kumulierte relative Häufigkeit: Fi = ni
i
X
• Kumulierter Anteil an der Merkmalssumme: Gi =
x(j)
j=1
S
Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F-G-Koordinatensystem als Streckenzug,
der die Punkte (0, 0), (F1 , G1 ), (F2 , G2 ), . . . , (Fn−1 , Gn−1 ), (1, 1) miteinander verbindet.
1.5.1.2 Datenlage B
• Gegeben: m voneinander verschiedene mögliche Merkmalsausprägungen x1 <
x2 < . . . < xm mit den absoluten Häufigkeiten h1 , h2 , . . . , hm .
• Anzahl der Merkmalsträger: n =
m
P
hi mit m ≤ n
i=1
i
X
• Kumulierte relative Häufigkeiten: Fi =
• Merkmalssumme: S =
m
P
hj
j=1
n
(hi · xi )
i=1
i
X
• Kumulierter Anteil an der Merkmalssumme: Gi =
(hj · xj )
j=1
S
Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F-G-Koordinatensystem als Streckenzug,
der die Punkte (0, 0), (F1 , G1 ), (F2 , G2 ), . . . , (Fm−1 , Gm−1 ), (1, 1) miteinander verbindet.
10
1.5 Konzentrationsmaße
1.5.1.3 Datenlage C
• Die Merkmalsausprägungen sind in k Klassen i = 1, 2, . . . , k eingeteilt.
• Grenzen der Klasse i: [ ai−1 , ai )
• Mittelpunkt der Klasse i: xi =
ai−1 + ai
2
• Anzahl der Merkmalsträger in Klasse i: hi
• Gesamtzahl der Merkmalsträger: n =
k
P
hi mit k < n
i=1
i
X
• Kumulierte relative Häufigkeiten: Fi =
hj
j=1
n
• Näherungswert für die Merkmalssumme: Ŝ =
k
P
(hi · xi )
i=1
• Näherungswert für den kumulierten Anteil an der Merkmalssumme:
i
X
Ĝi =
(hj · xj )
j=1
Ŝ
Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F-G-Koordinatensystem als Streckenzug,
der die Punkte (0, 0), (F1 , Ĝ1 ), (F2 , Ĝ2 ), . . . , (Fk−1 , Ĝk−1 ), (1, 1) miteinander verbindet.
1.5.2 Gini-Koeffizient
Berechnung der Fläche L unter der Lorenzkurve:
• Datenlage A: L =
• Datenlage B: L =
• Datenlage C: L =
1
2n
·
1
2n
·
1
2n
·
n
P
(Gi−1 + Gi ), wobei G0 = 0 gesetzt wird.
i=1
m
P
(Gi−1 + Gi ) · hi , wobei G0 = 0 gesetzt wird.
i=1
k
P
(Ĝi−1 + Ĝi ) · hi , wobei Ĝ0 = 0 gesetzt wird.
i=1
Daraus erhält man den Gini-Koeffizienten: CG = 1 − 2 · L
11
1 Deskriptive Statistik
1.6 Korrelationskoeffizienten
Es liegen n Beobachtungen (xi , yi ), i = 1, . . . , n, vor.
1.6.1 Korrelationskoeffizient von Fechner
rF =
Ü − N
Ü + N
wobei
Ü : Anzahl der in den Vorzeichen übereinstimmenden Paare (xi − x̄, yi − ȳ)
N : Anzahl der in den Vorzeichen nicht übereinstimmenden Paare (xi − x̄, yi − ȳ)
1.6.2 Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson
n
P
r =
(xi − x̄)(yi − ȳ)
s i=1
n
P
n
P
i=1
i=1
(xi − x̄)2
n
n
P
(yi − ȳ)2
xi yi −
n
P
n
P
yi
i=1
i=1
i=1
= s
n
n
n
n
P
P
P
P
[n x2i − ( xi )2 ] · [n yi2 − ( yi )2 ]
i=1
xi
i=1
i=1
i=1
1.6.3 Korrelationskoeffizient von Spearman
(Rangkorrelationskoeffizient)
6
rSp = 1 −
n
P
d2i
i=1
n(n2 −
1)
mit
di := Differenz der Rangzahlen der Beobachtungen xi und yi
12
1.7 Lineare Einfachregression
1.7 Lineare Einfachregression
Bei Vorliegen der Werte (xi , yi ), i = 1, . . . , n, mit xi 6= c für alle i = 1, ..., n lauten
die Regressionskoeffizienten a und b für die Regressionsgleichung yi∗ = a + bxi :
n
P
b=
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
n
P
n
=
(xi − x̄)2
n
P
xi yi −
i=1
n
i=1
n
P
i=1
n
P
xi
i=1
n
P
x2i − (
n
P
yi
i=1
xi )2
i=1
und
a = ȳ − bx̄.
mit x̄ :=
1
n
n
P
xi und ȳ :=
i=1
1
n
n
P
yi .
i=1
Der Quotient
n
P
d :=
i=1
n
P
(yi∗ − ȳ)2
(yi − ȳ)2
i=1
heißt Determinationskoeffizient.
Es gilt:
• d = r2
• r = b · ssxy ,
s
wobei sx :=
1
n
n
P
i=1
s
(xi −
x̄)2
und sy =
1
n
n
P
(yi − ȳ)2
i=1
13
1 Deskriptive Statistik
1.8 Grundbegriffe der Zeitreihenanalyse
Es liegen n Zeitreihenwerte x1 , . . . , xn vor. Für die den Zeitindizes t zugeordneten
Beobachtungswerte xt soll gelten
xt = Tt + Zt + St + Rt
(additive Verknüpfung)
wobei
Tt : Trendkomponente (beschreibt die monotone langfristige Entwicklung)
Zt : zyklische Komponente (beschreibt den Konjunkturverlauf)
Gt = Tt + Zt : glatte Komponente (Zusammenfassung von Trend und zyklischer
Komponente)
St : Saisonkomponente (beschreibt die saisonale Abweichung von Trendkomponente und zyklischer Komponente)
Rt : irreguläre Komponente (Restkomponente; beschreibt den Teil der Beobachtungen, den Tt , Zt und St nicht beschreiben)
1.8.1 Trendbestimmung mit der Methode der kleinsten
Quadrate
Nach der Methode der kleinsten Quadrate ergibt sich für die Trendkomponente die
Schätzung
Tt∗ = a + b · t
mit
n
b=
n
P
t=1
n
X
n
P
t
n
P
t=1 t=1
n
n
P
P
t2 − ( t)2
t=1
n
txt −
xt
a=
n
n
1X
1X
xt − b ·
t
n t=1
n t=1
t=1
1
t = n(n + 1) und
2
t=1
14
und
n
X
1
t2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
t=1
1.8 Grundbegriffe der Zeitreihenanalyse
1.8.2 Trendbestimmung mit der Methode der Reihenhälften
Fall 1: Die Anzahl der vorhandenen Zeitreihenwerte ist gerade n = 2n0 .
• Reihenhälften x1 , . . . , xn0
0
n
P
• x̄(1) = 10 ·
x
n t=1 t
und
und
xn0 +1 , . . . , xn
n
P
x̄(2) = 10 ·
x
n t=n0 +1 t
• Tt = a + b · t
mit
b=
x̄(2) − x̄(1)
n0
und
0
a = x̄(1) − b · n 2+ 1
Fall 2: Die Anzahl der vorhandenen Zeitreihenwerte ist ungerade n = 2n0 + 1.
• Mittleren Wert xn0 +1 weglassen.
• Weiteres Vorgehen analog zu Fall 1.
1.8.3 Reihenglättung mit Hilfe gleitender Durchschnitte
Für die Berechnung der gleitenden Durchschnitte werden die Beobachtungen des
Stützbereichs [t − m; t + m] herangezogen.
1. Anzahl der herangezogenen Beobachtungen: 2m + 1
x̄t =
t+m
X
1
·
xi
2m + 1 i=t−m
2. Anzahl der herangezogenen Beobachtungen: 5
1 1
1
x̄t =
xt−2 + xt−1 + xt + xt+1 + xt+2
4 2
2
3. Anzahl der herangezogenen Beobachtungen: 13
1 1
1
xt−6 + xt−5 + . . . + xt + . . . + xt+5 + xt+6
12 2
2
x̄t =
15
1 Deskriptive Statistik
1.9 Zeitliche Veränderungszahlen
Gegeben sind Zeitreihenwerte x0 , x1 , . . . , xn , die in zeitlich gleichen Abständen erhoben worden sind.
1.9.1 Messzahlen
mb,t :=
xt
Wert im Berichtsjahr t
=
xb
Wert im Basisjahr b
Messzahlen genügen folgenden Bedingungen:
Identitätsprobe : mt,t = 1
Zeitumkehrprobe : mb,t · mt,b = 1
Rundprobe : m1,2 · m2,3 · · · mt−1,t = m1,t
Proportionalitätsprobe : r · mb,t = r x· bxt
Sind mxb,t , myb,t und mzb,t Messzahlen zu den Zeitreihenwerten xi , yi , zi , i = 0, . . . , n,
dann genügen die obigen Messzahlen der Faktorumkehrprobe, falls
mxb,t · myb,t = mzb,t
.
Umbasierung von Messzahlen
Messzahl mb,t wird auf eine neue Basis s umgestellt:
ms,t =
mb,t
mb,s
Verkettung von Messzahlen
Zwei Reihen von Messzahlen zur Basis b und zur Basis s werden zu einer langen
Reihe zur Basis b zusammengefügt:
mb,t = mb,s · ms,t
16
1.9 Zeitliche Veränderungszahlen
1.9.2 Erste Differenzen
∆xt = xt − xt−1
• xt = xt−1 + ∆xt
•
n
P
t=1
∆xt = xn − x0
• Genügen die xt -Werte dem linearen Wachstumsmodell xt = a + b · xt−1 , dann
gilt b = ∆xt
1.9.3 Gliedzahlen (Wachstumsfaktoren)
qt := mt−1,t :=
xt
xt−1
• xt = qt · xt−1
•
n
Q
n
qt = m0,n = x
x0
t=1
1.9.4 Wachstumsraten in diskreter Zeit
pt :=
• qt =
xt − xt−1
xt−1
xt
= 1 + pt
xt−1
• p t = qt − 1
• xt = qt · xt−1 = xt−1 + pt · xt−1
s
• Für q :=
n
n
Q
t=1
qt gilt:
xn = q n · x0
• p := q − 1 ist die mittlere Wachstumsrate der n Wachstumsraten p1 , . . . , pn .
• Genügen die xt -Werte dem exponentiellen Wachstumsmodell in diskreter Zeit
xt = a · q t ,
t = 0, . . . , n ,
dann gilt: qt = q und pt = p = q − 1 für alle t = 1, . . . , n.
17
1 Deskriptive Statistik
1.9.5 Wachstumsraten in stetiger Zeit
xt
bt := ln
xt−1
!
• xt = ebt · xt−1
• b=
1
n
·
n
P
t=1
bt ist die mittlere Wachstumsrate der n stetigen Wachstumsraten
b1 , . . . , b n .
• Für b gilt: xn = eb·n · x0
• Genügen die xt -Werte dem exponentiellen Wachstumsmodell in stetiger Zeit
xt = a · eb·t ,
dann gilt bt = b für alle t = 1, . . . , n.
18
t = 0, 1, . . . , n ,
1.10 Wachstumsmodelle
1.10 Wachstumsmodelle
1.10.1 Lineares Wachstumsmodell
xt = a + b · t ,
t = 0, 1, . . . , n
xn : Endwert, Prognosewert
x0 : Anfangswert, Startwert
b = xt − xt−1 = ∆xt : Erste Differenz
Konstante a = x0
• Prognosewert: xn = x0 + b · n
• Startwert: x0 = xn − b · n
x0
• Durchschnittswachstum (absolut): b = xn −
n
x0
• Zeitraum: n = xn −
b
für b 6= 0
• Sind zwei Werte xt1 und xt2 , t1 6= t2 , gegeben, dann können a und b wie folgt
berechnet werden:
a=
• Vervielfachungszeit tα
t2 · xt1 − t1 · xt2
t2 − t1
und b =
xt2 − xt1
t2 − t1
(xtα = α · x0 , α > 0):
tα =
• Verdoppelungszeit: t2 = xb0
(α − 1) · x0
b
für b 6= 0
für b 6= 0
• Schnittpunkt S = (tS ; xS ) zweier linearer Wachstumsfunktionen a1 + b1 · t und
a2 + b2 · t, b1 6= b2 :
tS =
a2 − a1
b1 − b2
und xS = a1 + b1 · tS = a2 + b2 · tS
19
1 Deskriptive Statistik
1.10.2 Exponentielles Wachstumsmodell in diskreter Zeit
xt = a · q t ,
Wachstumsrate:=
t = 0, 1, . . . , n
xt − xt−1
xt−1 =: p für alle t ≥ 1
t =: q für alle t ≥ 1
Wachstumsfaktor xxt−1
Konstante a = x0
• Es gilt q = 1 + p und p = q − 1
• Prognosewert: xn = x0 · q n
• Barwert: x0 =
xn
qn
• Durchschnittlicher Wachstumsfaktor q:
• Durchschnittswachstum p =
q
n
• Zeitraum: n = ln xnln−qln x0
q=
q
n
xn
x0
xn − 1
x0
für q 6= 1
• Sind zwei Werte xt1 und xt2 , t1 6= t2 , gegeben, dann können a und q wie folgt
berechnet werden:
xt1
a = xt1 ·
xt2
• Vervielfachungszeit tα
!
t1
t2 −t1
und
q=
xt2
xt1
!
1
t2 −t1
(xtα = α · x0 , α > 0):
tα =
ln α
ln q
für q 6= 1
• Schnittpunkt S = (tS ; xS ) zweier Wachstumsfunktionen a1 · q1t und a2 · q2t ,
q1 6= q2 :
ln(a2 /a1 )
tS =
und xS = a1 · q1tS = a2 · q2tS
ln(q1 /q2 )
20
1.10 Wachstumsmodelle
1.10.3 Exponentielles Wachstumsmodell in stetiger Zeit
xt = a · eb·t ,
t = 0, 1, . . . , n
t
Wachstumsrate:=ln xxt−1
= b für alle t ≥ 1
t = eb für alle t ≥ 1
Wachstumsfaktor xxt−1
Konstante a = x0
• Prognosewert: xn = x0 · eb·n
• Startwert: x0 = xn · e−b·n
ln x0
• Durchschnittswachstum b = ln xn −
n
ln x0
• Zeitraum: n = ln xn −
b
für b 6= 0
• Sind zwei Werte xt1 und xt2 , t1 6= t2 , gegeben, dann können a und b wie folgt
berechnet werden:
a=e
t2 · ln xt1 − t1 · ln xt2
t2 − t1
• Vervielfachungszeit tα
und
b=
ln xt2 − ln xt1
t2 − t1
(xtα = α · x0 , α > 0):
tα =
ln α
b
für b 6= 0
• Schnittpunkt S = (tS ; xS ) zweier Wachstumsfunktionen a1 · eb1 ·t und a2 · eb2 ·t ,
b1 6= b2 :
tS =
ln a2 − ln a1
b1 − b2
und xS = a1 · eb1 ·tS = a2 · eb2 ·tS
t
• Falls xt = a · eb·t = aq , dann
xt
ln
xt−1
!
= b = ln q
und q = eb
und
xt − xt−1
= p = q − 1 = eb − 1
xt−1
21
1 Deskriptive Statistik
1.11 Elastizitäten
Elastizität :=
Wachstumsrate Teilgröße T
Wachstumsrate Gesamtgröße G
Vorjahresvergleich
unstetiges Wachstum
stetiges Wachstum
(Tt − Tt−1 )/Tt−1
(Gt − Gt−1 )/Gt−1
ln(Tt /Tt−1 )
ln(Gt /Gt−1 )
Basisjahrvergleich
unstetiges Wachstum
stetiges Wachstum
(Tt − T0 )/T0
(Gt − G0 )/G0
ln(Tt /T0 )
ln(Gt /G0 )
im Jahresdurchschnitt
22
unstetiges Wachstum
stetiges Wachstum
(Tn /T0 )1/n − 1
(Gn /G0 )1/n − 1
ln(Tn /T0 )
ln(Gn /G0 )
1.12 Indexzahlen
1.12 Indexzahlen
1.12.1 Notation
t : Berichtsjahr
0 : Basisjahr
n : Anzahl Güter
pi (t) : Preis des Gutes i zum Zeitpunkt t
qi (t) : umgesetzte Menge des Gutes i zum Zeitpunkt t
1.12.2 Preisindex von Laspeyres P L(0, t):
Drei Darstellungsmöglichkeiten:
1. Mit Hilfe der allgemeinen Gewichte wi := pi (0) · qi (0):
n
X
1
pi (t)
P L(0, t) = X
·
wi ·
n
pi (0)
wi i=1
i=1
2. Mit Hilfe der normierten Gewichte gi := wi /
n
P
wj :
j=1
P L(0, t) =
n
X
i=1
gi ·
pi (t)
pi (0)
3. Aggregatform (Summenform):
n
X
P L(0, t) =
i=1
n
X
pi (t) · qi (0)
pi (0) · qi (0)
i=1
Interpretation des Preisindexes von Laspeyres:
• Preisänderungsrate vom Basisjahr 0 zum Berichtsjahr t in Prozent:
(P L(0, t) − 1) · 100
23
1 Deskriptive Statistik
• Inflationsrate in % im Vorjahresvergleich:
P L(0, t) − P L(0, t − 1)
· 100
P L(0, t − 1)
• Jahresdurchschnittliche Inflationsrate in % im Zeitraum t1 bis t2 (t1 < t2 ):
"

# 1
t2 −t1
P
L(0,
t
)
2

− 1 · 100
P L(0, t1 )
• Kaufkraft, Binnenwert des Geldes:
1
P L(0, t)
• Kaufkraftänderungsrate in % im Vorjahresvergleich:
P L(0, t − 1) − P L(0, t)
· 100
P L(0, t)
• Jahresdurchschnittliche Kaufkraftänderungsrate in % im Zeitraum t1 bis t2
(t1 < t2 ):
"

# 1
t2 −t1
P
L(0,
t
)
1

− 1 · 100
P L(0, t2 )
• Aggregation und Zerlegung des Preisindexes von Laspeyres:
n Güter, 2 Gruppen: i = 1, . . . , k, k + 1, . . . , n
k
X
P L1 (0, t) =
i=1
k
X
n
X
pi (t)qi (0)
,
P L2 (0, t) =
pi (0)qi (0)
i=k+1
n
X
pi (t)qi (0)
pi (0)qi (0)
i=k+1
i=1
Normierte Gewichte der Gruppen im Basisjahr:
k
X
w1 =
i=1
n
X
n
X
pi (0)qi (0)
,
pi (0)qi (0)
i=1
w2 =
pi (0)qi (0)
i=k+1
n
X
pi (0)qi (0)
i=1
Dann gilt für den Gesamtindex P L(0, t):
P L(0, t) = w1 · P L1 (0, t) + w2 · P L2 (0, t)
24
1.12 Indexzahlen
1.12.3 Preisindex von Paasche P P (0, t):
Fünf Darstellungsmöglichkeiten:
• Mit Hilfe der fiktiven Gewichte fi (t) := pi (0) · qi (t):
P P (0, t) = X
n
1
·
n
X
fi (t) ·
i=1
fi (t)
pi (t)
pi (0)
i=1
• Mit Hilfe der normierten fiktiven Gewichte hi (t) := fi (t)/
n
P
fj (t):
j=1
P P (0, t) =
n
X
hi (t) ·
i=1
pi (t)
pi (0)
• Aggregatform (Summenform):
n
X
P P (0, t) =
i=1
n
X
pi (t) · qi (t)
pi (0) · qi (t)
i=1
• Mit Hilfe der allgemeinen Gewichte wi (t) := pi (t)qi (t):
n
X
P P (0, t) =
wi (t)
i=1
n
X
"
pi (0)
wi (t) ·
pi (t)
i=1
#
• Mit Hilfe der normierten allgemeinen Gewichte gi (t) := wi (t)/
n
P
wj (t):
j=1
P P (0, t) =
1
n
X
"
pi (0)
gi (t) ·
pi (t)
i=1
#
25
1 Deskriptive Statistik
1.12.4 Mengen- und Wertindizes und Reaktionsindex
Mengenindex nach Laspeyres M L(0, t):
n
X
i=1
n
X
M L(0, t) :=
pi (0) · qi (t)
pi (0) · qi (0)
i=1
Mengenindex nach Paasche M P (0, t):
n
X
M P (0, t) :=
i=1
n
X
pi (t) · qi (t)
pi (t) · qi (0)
i=1
Wertindex W (0, t):
n
X
W (0, t) :=
i=1
n
X
pi (t) · qi (t)
pi (0) · qi (0)
i=1
Reaktionsindex R(0, t):
"
P L(0, t)
R(0, t) := W (0, t) 1 −
P P (0, t)
"
#
M L(0, t)
= W (0, t) 1 −
M P (0, t)
26
#
1.12 Indexzahlen
1.12.5 Allgemeine Aussagen für Indizes
• W (0, t) = P L(0, t) · M P (0, t) = P P (0, t) · M L(0, t)
• P L(0, t) > P P (0, t)
⇔
M L(0, t) > M P (0, t)
• W (0, t) = M L(0, t) · P L(0, t) + R(0, t)
• Umbasierung und Verkettung von Indizes erfolgt wie bei den Messzahlen.
• Werden beim Preis- bzw. Mengenindex die Mengen qi bzw. Preise pi unabhängig vom Berichts- und Basisjahr gewählt, so erhält man den Preis- bzw.
Mengenindex von Lowe:
n
X
P Lo(0, t) :=
i=1
n
X
pi (t)qi
pi (0)qi
i=1
n
X
M Lo(0, t) :=
i=1
n
X
pi qi (t)
pi qi (0)
i=1
• Die geometrischen Mittel
P F (0, t) :=
q
M F (0, t) :=
q
und
P L(0, t) · P P (0, t)
M L(0, t) · M P (0, t)
heißen Idealindizes von Fisher.
27