Wirkleistung, Blindleistung und Effektivwert

Wirkleistung, Blindleistung und Effektivwert∗
http://www.siart.de/lehre/leistung.pdf
Uwe Siart
[email protected]
14. September 2013 (Version 1.87)
Inhaltsverzeichnis
1. Leistung
1
2. Effektivwert
4
3. Leistungstransport auf Hochfrequenzleitungen
5
A. Additionstheoreme
7
1. Leistung
Wir betrachten einen allgemeinen linearen Zweipol von beliebigem inneren Aufbau. An seinen
Klemmen liege die zeitharmonische Spannung u(t) und es fließe der Strom i(t) von der Form
u(t) = |U | · cos(ωt + φu ) = Re |U |e jφu e jωt = Re U e jωt
(1a)
jωt jφ i jωt
i(t) = |I | · cos(ωt + φ i ) = Re |I |e e
= Re I e
.
(1b)
Dabei wird ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen (Abb. 1). Die momentane Leistung p(t)
ist dann
p(t) = u(t) · i(t) = |U | · |I | · cos(ωt + φu ) · cos(ωt + φ i )
1
= |U ||I | · cos(φu − φ i ) + cos(2ωt + φu + φ i ) . (2)
2
i(t)
bc
u(t)
bc
Abb. 1: Strom und Spannung an den Klemmen eines Zweipols
∗ Dieser
Aufsatz ist ein Auszug aus: Detlefsen, J.; Siart, U.: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 4. Auflage. München:
Oldenbourg, 2012.
1
Entsprechend den Zählrichtungen von u(t) und i(t) nimmt der Zweipol Leistung auf, wenn p(t) > 0
und er gibt Leistung ab, wenn p(t) < 0. Wir schreiben nun den Term cos(2ωt +φu +φ i ) in der Form
cos(2ωt + φu + φ i ) = cos 2(ωt + φu ) − (φu − φ i )
= cos 2(ωt + φu ) cos(φu − φ i ) + sin 2(ωt + φu ) sin(φu − φ i ) (3)
um und können damit p(t) schreiben als
1
p(t) = |U ||I | · 1 + cos 2(ωt + φu ) cos(φu − φ i ) + sin 2(ωt + φu ) sin(φu − φ i ) .
2
(4)
Offenbar besitzt der Term 1 + cos 2(ωt + φu ) den Mittelwert 1 und der Term sin 2(ωt + φu ) den
Mittelwert 0. Man bezeichnet die Leistung, die im zeitlichen Mittel vom Zweipol aufgenommen
wird, als Wirkleistung PW . Dem gegenüber steht ein Anteil, der im zeitlichen Mittel 0 ist, also eine
Leistung, die vom Zweipol aufgenommen und zu anderen Zeiten wieder abgegeben wird. Diesen
Anteil bezeichnet man als Blindleistung PB und man schreibt
1
|U ||I | · cos(φu − φ i ) = u eff · i eff · cos(φu − φ i )
(5a)
2
1
(5b)
PB
= |U ||I | · sin(φu − φ i ) = u eff · i eff · sin(φu − φ i ) .
2
Mit der Zerlegung (5a,b) in Wirk- und Blindleistung kann die Momentanleistung (4) auch geschrieben werden als
p(t) = PW · 1 + cos 2(ωt + φu ) + PB · sin 2(ωt + φu ) .
(6)
PW = p(t) =
In dieser Form erkennt man die Bedeutung der Wirkleistung PW als den zeitlichen Mittelwert der
Momentanleistung sowie der Blindleistung PB als der Amplitude des mittelwertfreien und zeitlich
schwankenden Anteils der Momentanleistung p(t). In Abb. 2 sind beispielhaft die Funktionen u(t),
i(t), p(t) sowie der zeitliche Mittelwert von p(t) für φu − φ i = 60° dargestellt.
Ein weiterer Weg zur Definition (5) von Wirk- und Blindleistung ist der Folgende. Offenbar ist
p(t) zu allen Zeiten positiv, wenn u(t) und i(t) in Phase sind, also wenn φ i = φu . In diesem Fall wird
nur Wirkleistung aufgenommen. Andererseits ist p(t) mittelwertfrei, wenn zwischen u(t) und i(t)
eine Phasendifferenz von π/2 besteht. Der Zweipol nimmt dann keine Wirkleistung auf, es liegt
ausschließlich Blindleistung vor. Man erkennt beides anhand der Beziehungen
1 1
+ cos(2ωt + 2φu )
≥ 0 ∀t
(7a)
2 2
1
π
mittelwertfrei .
(7b)
cos(ωt + φu ) · cos(ωt + φu ± ) = ∓ sin(2ωt + 2φu )
2
2
Aufgrund dieser Erkenntnis zerlegen wir den Strom (1b) in einen Anteil, der mit u(t) in Phase ist
und in einen Anteil, der u(t) um π/2 nacheilt. Wir erhalten
π
i(t) = |I | · cos(φu − φ i ) cos(ωt + φu ) + sin(φu − φ i ) cos(ωt + φu − )
(8)
2
cos(ωt + φu ) · cos(ωt + φu ) =
und hieraus durch Produktbildung mit (1a) aus dem gleichphasigen Stromanteil und dem der Spannung um π/2 nacheilenden Stromanteil die Werte (5a,b) für Wirk- und Blindleistung. Unter Verwendung der komplexen Schreibweise können wir die komplexe Scheinleistung
S = PW + jPB =
1
1
|U ||I |e j(φu −φ i ) = · U · I ∗
2
2
2
(9)
i(t)
2π
π
3π
ωt →
u(t)
p(t)
p(t)
2π
π
3π
ωt →
Abb. 2: Die harmonischen Zeitfunktionen u(t) und i(t) mit φu − φ i = 60° und der entstehende Verlauf der Momentanleistung p(t)
definieren, sodass PW = Re{S } und PB = Im{S } ist.
Jeder lineare Zweipol kann an seinen Klemmen durch seine Impedanz Z beziehungsweise durch
seine Admittanz Y = 1/Z beschrieben werden. Verwendet man die Zusammenhänge U = Z I und
I ∗ = Y ∗U ∗ , so ergeben sich aus (9) die Formeln
1
1
1
U I∗
= |I | 2 Z
=
|U | 2 Y ∗
2 2
2
1
1
1
∗
U I = |I | 2 Re{Z } =
|U | 2 Re{Y }
PW = Re
2
2
2
1
1
1
U I ∗ = |I | 2 Im{Z } = − |U | 2 Im{Y }
PB = Im
2
2
2
S=
(10a)
(10b)
(10c)
für Wirk- und Blindleistung. Die Definition (9) beinhaltet die Konvention, dass induktive Blindleistung positiv und kapazitive Blindleistung negativ gezählt wird. Der Betrag der Scheinleistung
Im
U
|I | sin(φu − φ i )
I
φu
φi
|I | cos(φu − φ i )
Re
Abb. 3: Zerlegung des Stromes in einen Wirk- und einen Blindanteil
3
errechnet sich mit
p
|U | |I |
|S | = PW 2 + PB 2 = √ · √ = u eff · i eff
2
2
(11)
als das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom. An dieser Stelle sei betont, dass die
Beträge von komplexen Zeigern in der Hochfrequenztechnik stets Scheitelwerte sind, während im
Bereich der Energietechnik hier üblicherweise mit Effektivwerten gerechnet wird.
2. Effektivwert
Der Effektivwert u eff einer Spannung u(t) ist diejenige Gleichspannung, die an einem ohmschen
Widerstand R im zeitlichen Mittel die gleiche Wirkleistung PW umsetzt wie die Spannung u(t).
Der Effektivwert eines Stromes ist in gleicher Weise festgelegt. Zur Herleitung betrachten wir die
Wirkleistung
PW
1
= p(t) = lim
T →∞ 2T
+T
∫
p(t) dt
(12)
−T
als den zeitlichen Mittelwert p(t) der Leistung p(t). Die Momentanleistung an einem Wirkwiderstand R mit der Spannung u(t) ist
p(t) =
u 2 (t)
.
R
(13)
Die in Wärme umgesetzte mittlere Leistung ist dann
PW = p(t) =
2
u 2 (t) u eff
=
,
R
R
(14)
wodurch sich der Effektivwert von u(t) ergibt als
u eff =
q
u 2 (t) .
(15)
Im Fall einer periodischen Funktion u(t) ist die Mittelung über den Zeitraum T einer Periode ausreichend. Sie liefert den selben Mittelwert, wie eine Mittelung über alle Zeiten. Wir betrachten
den Sonderfall einer harmonischen Zeitabhängigkeit mit beliebiger Nullphase φu entsprechend
(1a) und erhalten dann für den Effektivwert
v
v
u
u
u
u
u
u
+T
∫
t
t t1∫+T
2
1
1
u eff = lim
|U | · cos(ωt + φu ) dt = |U | ·
cos2 (ωt + φu ) dt .
(16)
T →∞ 2T
T
t1
−T
Mit der Periodendauer T = 2π/ω ergibt sich der Mittelwert der cos2 -Funktion zu
v
v
u
u
u
u
# t1 +T
u
u
t t1∫+T
t "
1
1
1
1
1
=√ .
t+
sin 2(ωt + φu )
cos2 (ωt + φu ) dt =
T
T 2
4ω
2
t1
t1
4
(17)
Dieser Wert ist erwartungsgemäß unabhängig von der Wahl von t 1 und von φu . Mit (16) und (17)
ergibt sich der Effektivwert einer zeitharmonischen Spannung
|U |
u eff = √ .
2
(18)
3. Leistungstransport auf Hochfrequenzleitungen
Auf einer Hochfrequenzleitung, die unter anderem dadurch gekennzeichnet ist, dass sie nicht kurz
ist gegenüber der Signalwellenlänge, sind Spannung und Strom nicht mehr auf der ganzen Leitung
konstant. Der Gehalt an Wirk- und Blindleistung ist daher eine Funktion der Längenkoordinate
z entlang der Leitung. Zur Beschreibung der Verhältnisse auf HF-Leitungen verwendet man vorteilhaft Spannungs- und Stromwellen, die sich auf der Leitung ausbreiten. Im Fall des Einwellenbetriebs1 gibt es auf einer Leitung allgemein zwei Wellen des gleichen Typs, die sich jeweils in +zund in −z-Richtung ausbreiten. Die Gesamtspannung U (z) und der Gesamtstrom I (z) ergeben sich
aus der Überlagerung dieser beiden Wellen und man erhält für eine verlustfreie Leitung
U (z) = Uh · e−jβ z + Ur · e+jβ z
I (z) = I h · e
−jβ z
− Ir · e
+jβ z
(19a)
(19b)
,
wobei Uh die Amplitude der in +z-Richtung laufenden Welle und Ur die Amplitude der in −zRichtung laufenden Welle jeweils an der Stelle z = 0 darstellen. Spannung und Strom jeder Teilwelle sind durch I h = Uh /Z L bzw. I r = Ur /Z L über den Leitungswellenwiderstand Z L miteinander
verknüpft. Das Phasenmaß β = 2π/λ beschreibt die Phasenänderung der Teilwellen bei ihrer Ausbreitung entlang der Leitung.
Im Falle einer Leistungsanpassung existiert nur die hinlaufende Welle. Das Auftreten einer reflektierten, rücklaufenden Welle ist mit dem Auftreten von Blindleistung identisch. In der Wellendarstellung (19) wird lediglich der Mittelwert der Momentanleistung (2), welche positive und
negative Werte annehmen kann, dargestellt als Summe zweier Momentanleistungen, die jeweils
nur positive Werte haben können, jedoch in entgegengesetzter Richtung gezählt werden. Führt
man den Reflexionsfaktor r = Ur /Uh ein und bildet dann die komplexe Scheinleistung an der Stelle
z, so ergibt sich
1
1
S = U (z)I ∗ (z) =
(Uh · e−jβ z + Ur · e+jβ z )(Uh · e−jβ z − Ur · e+jβ z )∗
2
2Z L
1
=
(Uh · e−jβ z + Ur · e+jβ z )(Uh ∗ · e+jβ z − r ∗Uh ∗ · e−jβ z )
2Z L
|Uh | 2
=
(1 − |r | 2 + r e j2β z − r ∗ e−j2β z ) . (20)
2Z L
Dabei ist der Ausdruck r e j2β z − r ∗ e−j2β z als Differenz zweier zueinander konjugiert komplexer
Zahlen rein imaginär und die Zerlegung von (20) in Wirk- und Blindleistung ergibt mit a − a ∗ =
1 Damit ist gemeint, dass auf der Leitung nur ein einziger Wellentyp vorkommt. Bei praktisch allen Wellenleiterstruktu-
ren existieren oberhalb charakteristischer Grenzfrequenzen, die von der Wellenleitergeometrie und dem Wellentyp
abhängen, beliebig viele weitere Wellentypen. Der Einwellenbetrieb muss daher durch eine ausreichend niedrige
Signalfrequenz sichergestellt werden.
5
2j Im{a} und Anwendung von (9) die Ausdrücke
|Uh | 2 |Ur | 2
|Uh | 2
(1 − |r | 2 ) =
−
2Z L
2Z L
2Z L
2
|Uh |
PB =
· Im{r e j2β z }
ZL
(21a)
PW =
(21b)
für Wirk- und Blindleistung auf einer Hochfrequenzleitung. Erwartungsgemäß ergibt sich PW als
Differenz der von hin- und rücklaufender Welle transportierten Wirkleistungen und ist auf einer
verlustfreien Leitung nicht abhängig vom Ort z auf der Leitung. Die Blindleistung hängt dagegen
vom Imaginärteil des örtlichen Reflexionsfaktors ab. Sie verschwindet nur an den Stellen, an denen
r (z) = r e j2β z und damit auch die Impedanz rein reell ist.
Eine weitere äquivalente Darstellung erhält man bei einer Betrachtung dieses Sachverhaltes
unter Verwendung von Wellengrößen. Die beiden Größen
p
U + Z LI
Uh
= √ = Z LIh
√
2 ZL
ZL
p
Ur
U − Z LI
= √ = Z LIr
b= √
2 ZL
ZL
(22a)
a=
(22b)
stellen die Wellengrößen für die hin- und die rücklaufende Welle an der Stelle z = 0 dar [2, 7, 9].
Drückt man nun die Spannungen in (19) durch die Wellengrößen (22) aus und bildet wieder die
komplexe Scheinleistung, so ergibt sich
1
S = (a · e−jβ z + b · e+jβ z )(a ∗ · e+jβ z − b ∗ · e−jβ z )
2
1
= (|a| 2 − |b| 2 + ba ∗ · e+j2β z − b ∗a · e−j2β z ) (23)
2
und damit
1 2 1 2
|a| − |b|
2
2
1
PB = Im{ba ∗ · e+j2β z − b ∗a · e−j2β z } = |a||b| sin(2βz + arg b − arg a) .
2
PW =
(24a)
(24b)
Verwendet man wieder den Reflexionsfaktor r , um den Zusammenhang b = ra zwischen hinlaufender und rücklaufender Welle zu beschreiben, so entsteht mit arg b = arg a + arg r die Darstellung
1 2
|a| 1−|r | 2
2
PB = |a| 2 |r | · sin(2βz + arg r ) .
(25a)
PW =
(25b)
6
A. Additionstheoreme
Produkt
1
2
1
sin x sin y =
2
1
sin x cos y =
2
1
cos x sin y =
2
cos x cos y =
cos(x − y) + cos(x + y)
sin(x + y) − sin(x − y)
Summe
(26a)
(26b)
(26d)
cos(x − y) − cos(x + y)
sin(x − y) + sin(x + y)
(26c)
x +y
x −y
cos
2
2
x −y
x +y
cos
sin x + sin y = 2 sin
2
2
cos x + cos y = 2 cos
(27a)
(27b)
Potenzen
1
cos2 x = (1 + cos 2x)
2
1
sin2 x = (1 − cos 2x)
2
(28a)
(28b)
7
Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen
Symbol
Einheit
Bedeutung
I
Ih
Ir
PW
PB
R
S
T
U
Uh
Ur
Y
Z
ZL
a
b
i
i eff
p
r
t
u
u eff
z
β
λ
φi
φu
ω
A
A
A
W
W
Ω
W
s
V
V
V
S
Ω
Ω
√
W
√
W
A
A
W
1
s
V
V
m
rad/m
m
rad
rad
rad/s
komplexe Amplitude des Stromes
Amplitude der vorlaufenden Stromwelle
Amplitude der rücklaufenden Stromwelle
Wirkleistung
Blindleistung
Resistanz
komplexe Scheinleistung
Periodendauer
komplexe Amplitude der Spannung
Amplitude der vorlaufenden Spannungswelle
Amplitude der rücklaufenden Spannungswelle
Admittanz
Impedanz
Leitungswellenwiderstand
Wellengröße der vorlaufenden Welle
Wellengröße der rücklaufenden Welle
Strom
Effektivwert des Stromes
Momentanleistung
Reflexionsfaktor
Zeit
Spannung
Effektivwert der Spannung
Längenkoordinate
Phasenmaß
Wellenlänge
Phasenwinkel des Stromes
Phasenwinkel der Spannung
Kreisfrequenz
– Zahlen –
e
j
π
1
1
1
Í
Eulersche Zahl e = k∞=0 k1!
imaginäre Einheit (j2 = −1)
Ludolfsche Zahl
8
Literatur
[1]
C. A. Balanis: Advanced Engineering Electromagnetics. Chichester: John Wiley & Sons, 1989.
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[5]
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rutgers.edu/~orfanidi/ewa/ (visited on 08/02/2016).
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Berlin: Springer, 2000.
9