E2: Spektrale Zerlegung von Licht

UNIVERSITÄT REGENSBURG
Institut für Physikalische
und Theoretische Chemie
Prof. Dr. B. Dick
PHYSIKALISCH-CHEMISCHES PRAKTIKUM (Teil Ic)
(Spektroskopie)
Versuch E2
Spektrale Zerlegung von Licht
(Monochromatoren, dispergierende Elemente, Filter)
0
http://www-dick.chemie.uni-regensburg.de/studium/praktikum1c.html
1
1 Grundlagen
Optische Anordnungen, die der Erzeugung (annähernd) monochromatischen Lichtes dienen, heißen Monochromatoren. Sie zerlegen polychromatisches Licht in ein Spektrum,
aus dem der gewünschte Wellenlängenbereich ausgeblendet werden kann.
Die Zerlegung polychromatischen Lichtes erreicht man entweder mit Hilfe der spektralen
Dispersion von Prismen oder durch Beugung an Transmissions- bzw. Reflexionsgittern.
Filter sondern aus polychromatischem Licht einen oder mehrere Wellenlängenbereiche
aus.
1.1
Prisma
In der Abb. 1.1 ist die Ablenkung eines parallelen, monochromatischen Strahlenbündels
bei symmetrischem Durchgang durch ein Prisma dargestellt. Sowohl das ein- als auch
das austretende Lichtbündel schließen mit der jeweiligen Flächennormalen den Winkel
α ein.
Abbildung 1.1: Ablenkung eines parellelen monochromatischen Lichtbündels bei symetrischem Durchgang parallel zur Hauptebene eines Prismas
Im Falle des symmetrischen Durchganges ist, wie sich beweisen läßt, der Ablenkwinkel
Θ minimal ( Stellung minimaler Ablenkung“). Zwischen dem Ablenkwinkel Θ, dem
”
2
Prismenwinkel φ und dem Brechungsindex n gilt dann die folgende Beziehung:1
n=
sin Θ+φ
2
sin φ2
(1.1)
n nimmt für verschiedene Wellenlängen λ1 und λ2 i. a. unterschiedliche Werte an, was
nach Gl. 1.1 zu unterschiedlichen Ablenkwinkeln führt. Dadurch ist es möglich, Licht
verschiedener Wellenlängen λ1 und λ2 voneinander zu trennen. Nachfolgend werden
einige häufig vorkommende Begriffe definiert.
• Dispersion2
dn
λ
dλ
Hierdurch wird die Änderung dn des Brechungsindex n bei einer kleinen Wellenlängen- änderung dλ beschrieben. Da die Absorption und der Brechungsindex
n miteinander verknüpft sind, steigt der Brechungsindex n mit abnehmender Wellenlänge an, wenn man sich dem Absorptionsgebiet der brechenden Substanz von
der langwelligen Seite her nähert: dn/dλ < 0. Dieses Verhalten bezeichnet man
als normale“ Dispersion, weil die meisten Substanzen das sichtbare Licht auf die”
se Art brechen (Die meisten Substanzen absorbieren im UV.). Ein Prisma lenkt
demnach z.B. blaues Licht stärker ab als rotes (im Gegensatz zur Ablenkung durch
ein Gitter, siehe 1.2).
• Winkeldispersion
Θ
dΘ
λ
dλ
Hierdurch wird die Änderung des Ablenkwinkels dΘ bei einer kleinen Änderung
der Wellenlänge dλ beschrieben. Es gilt folgender Zusammenhang
dΘ
dΘ dn
=
·
dλ
dn dλ
(1.2)
Durch Differentiation von Gl. (1.1) erhält man für die Winkeldispersion des Prismas
2 sin φ2 dn
dΘ
=
·
dλ
dλ
cos Θ+φ
2
• Lineardispersion
(1.3)
λ
dλ
ds
Zwei Parallellichtbündel der Wellenlängen λ und λ + dλ werden um den Winkel dΘ
unterschiedlich abgelenkt und von einer Linse (oder einem Hohlspiegel) auf eine
Ebene F abgebildet (Abb. 1.2).
1
Eine Ableitung der Gl. 1.1 ist z.B. in [3] gegeben. Für nichtsymmetrischen Durchgang ist der
Zusammenhang zwischen n und Θ komplizierter.
2
Auch Materialdispersion genannt.
3
Abbildung 1.2: Zur Erläuterung der Lineardispersion
Diese befindet sich in der Brennebene im Abstand f des abbildenden Systems. Es
entstehen zwei Bilder im Abstand ds. Die Lineardisperion 3 ist definiert als dλ
.
ds
Wegen der Beziehung ds = f · dΘ, vgl. Abb. 1.2, kann dafür geschrieben werden
dλ
1
= dΘ
ds
f dλ
(1.4)
Die Lineardispersion gibt die Differenz dλ zweier Wellenlängen an, deren Abbildungen den Abstand ds haben. Befindet sich in der Abbildungsebene ein Spalt
der Öffnungsbreite ds, so ist dλ die Größe des Wellenlängenintervalls, das eben
noch vom Spalt durchgelassen wird. - Die Lineardispersion wird i. a. in Å/mm
angegeben.
Für die Beschreibung der Eigenschaften eines Prismas ist ferner dessen Auflösungsvermögen maßgebend:
• Auflösungsvermögen A =
λ
λ
∆
Unter dem (spektralen) Auflösungsvermögen A einer optischen Anordnung versteht
man allgemein die Größe
A=
λ
∆λ
(1.5)
in der ∆λ die Differenz zweier Wellenlängen λ und λ + ∆λ ist, die in der optischen Anordnung eben noch getrennt werden. Ein Prisma erreicht sein maximales
Auflösungsvermögen, wenn
– es in der Stellung minimaler Ablenkung ist,
3
Gelegentlich wird auch der Kehrwert Lineardispersion genannt.
4
– das Licht die Prismenfläche voll ausleuchtet.
In diesem Falle ergibt sich 4
dn λ
A=
= b · ∆λ
dλ
(1.6)
Dabei ist b die Basislänge des Prismas und dn/dλ die Dispersion des Prismenmaterials.
Um einen Begriff von der Größe des Auflösungsvermögens zu geben, sei ein Beispiel
angeführt. Für schweres Flintglas ist bei λ = 5890Å |dn/dλ| = 1730 cm−1 . Bei einem
sehr großen Prisma mit der Basislänge b = 10 cm ist A = 17300. D.h., das Prisma löst
im Bereich der angegebenen Wellenlänge eben noch zwei Wellenlängen im Abstand von
0,3 Å auf.
In Abb. 1.3 ist eine einfache Bauform eines Prismenmonochromators dargestellt. Andere,
aufwendigere Bauformen findet man in [3].
Abbildung 1.3: Strahlengang in einem Prismenmonochromator; S1 , S2 : Ein-, Austrittsspalt; L1 , L2 : Sammellinsen; P: Prisma; A: Blende
1.2
Gitter
Beugungsgitter sind Flächen, auf denen in regelmäßigen Abständen Furchen eingeprägt
sind. Man unterscheidet Reflexions- und Durchlichtgitter. In Wellenlängenbereichen,
für die keine transparenten Materialien bekannt sind ( λ < 1200 Å, λ > 50 µm), kommen
als Dispersionselemente nur Reflexionsgitter zur Anwendung.
Die Beugungseigenschaften eines Gitters werden anhand der Abb. 1.4 erläutert. Fällt
ein paralleles monochromatisches Strahlenbündel unter dem Winkel α auf ein Durchlichtgitter, so findet man - aufgrund von Interferenz - in der Intensitätsverteilung des
gestreuten Lichtes hinter dem Gitter in Abhängigkeit vom Beugungswinkel Θ eine Folge
4
Für eine Ableitung der Gl. 1.6 siehe [3].
5
Abbildung 1.4: Beugung durch ein planes Rastergitter
von Maxima und Minima. Die Interferenzbedingung für ein Maximum ist erfüllt, wenn
der Gangunterschied zwischen zwei an benachbarten Gitterfurchen gestreuten Lichtwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ beträgt:
AB + BC = D(sin α + sin Θ) = ±kλ; k = 0, 1, 2, ...
(1.7)
D ist die Gitterkonstante, k die Ordnung des Beugungsspektrums. Eine entsprechende
Beziehung läßt sich für Reflexionsgitter ableiten.
Nach Gleichung 1.7 wächst mit zunehmender Wellenlänge (bei festem Einfallswinkel
α) der Beugungswinkel Θ an, d.h., rotes Licht wird stärker als blaues abgelenkt - im
Gegensatz zum Prisma (im Bereich normaler Dispersion).
Für die Winkeldispersion des Gitters erhält man durch Differentiation (bei Annahme
eines konstanten Einfallswinkels α) aus Gl. 1.7)
dΘ
k
=
dλ
D · cos Θ
(1.8)
d.h., die Winkeldispersion nimmt mit wachsender Ordnung k zu.
Für die Lineardispersion erhält man mit Gl. (1.4) und Gl. (1.8)
dλ
D
=
· cos Θ
ds
f ·k
(1.9)
Dabei ist f wieder die Brennweite des abbildenden Systems (s. Abb. 1.2).
Das Auflösungsvermögen des Gitters ergibt sich zu5
A≡
5
λ
=k·N
∆λ
Eine Ableitung dieser Beziehung findet man in [3].
6
(1.10)
wobei N die Gesamtzahl der ausgeleuchteten Gitterfurchen bedeutet. Somit hängt das
Auflösungsvermögen eines Gitters von der gewählten Beugungsordnung k und der Zahl
der ausgeleuchteten Gitterfurchen ab. Das Auflösungsvermögen ist — im Gegensatz zu
dem des Prismas — unabhängig von der Wellenlänge. Gitter können mit ca. 105 Furchen
hergestellt werden, so daß sich ein Auflösungsvermögen von mehreren 105 erreichen läßt.
Dem im Vergleich zum Prisma i. a. wesentlich größeren Auflösungsvermögen steht bei
einfacher Bauart der Gitter der Nachteil relativ geringer Lichtstärke gegenüber, denn die
eingestrahlte Energie wird auf mehrere Ordnungen verteilt. In den letzten Jahrzehnten
ist es gelungen, durch bestimmte Formgebung der Gitterfurchen den größten Teil der
Strahlungsleistung auf eine bestimmte Ordnung (z.B. die erste) zu lenken. Diese Gitter
heißen Echelette–Gitter (s. Abb. 1.5). Der Furchenwinkel φ wird Blazewinkel genannt.
(to blaze (engl.) = leuchten). Die Bedingung für die Neigung des Furchenwinkels φ
(s. Abb. 1.5) ist, daß die regulär reflektierte Strahlung die gleiche Richtung hat wie
die gebeugte Strahlung der Wellenlänge λ. Es gilt die Beziehung φ = (α + Θ)/2. Die
Wellenlänge, die bei gegebenem φ diese Beziehung erfüllt und die der Richtung mit
maximaler Intensität zugeordnet wird, heißt Blaze–Wellenlänge.
Abbildung 1.5: Zum Prinzip des ECHELETTE-Gitters
Echelette-Gitter sind bei gleichem Auflösungsvermögen in der Lichtstärke den Prismen
überlegen. Die meisten hochwertigen Gittermonochromatoren werden heute mit ge”
blazten“ Gittern ausgestattet.
Auf eine Besonderheit von Gittern muß hingewiesen werden. Die verschiedenen Ordnungen können sich überlappen. So ist z.B. der Ablenkwinkel Θ (s. Gl. 1.7) gleich für
λ1 = 9000 Å in der 1. Ordnung, λ2 = 4500 Å in der 2. Ordnung und λ3 = 3000 Å
in der 3. Ordnung. Unerwünschte Ordnungen kann man jedoch durch geeignete Filter
eliminieren.
In Abb. 1.6 ist eine häufig vorkommende Bauform eines Gittermonochromators angegeben.
7
Abbildung 1.6: Monochromator in Czerny-Turner-Aufspaltung.
G: Gitter; K1 , K2 :
Hohlspiegel; S1 , S2 : Spalte
1.3
Transmission von Filtern
Optische Bauelemente für eine selektive Transmission in einem mehr oder weniger breiten
Spektralbereich heißen Filter. Zwei Arten lassen sich unterscheiden: Farbgläser und
Interferenzfilter (vgl. [1]).
• Farbgläser
Die Farbgläser kann man in zwei Klassen einteilen. Bei der ersten ist die Färbung
durch einfache oder komplexe Übergangsmetallionen (z.B. Nickeloxyd: purpur, Kobaltoxyd: blau, Chromoxyd: grün) im Glas bedingt. Auf Grund der relativ breiten
Absorptionsbanden der Metallionen besitzen diese Filter große Halbwertsbreiten.
Bei der zweiten Klasse, den sogenannten Anlaufgläsern, sind ausgeschiedene submikroskopische Kristalle (Schwefel, Cadmiumsulfid, Gold usw.) als Farbträger
anzusehen, deren optische Wirkung nicht nur von ihrer Zusammensetzung, sondern auch von ihrer Größe entscheidend beeinflußt wird. Es sind Kantenfilter, die
die kurzwellige Strahlung jenseits einer Kantenwellenlänge infolge der stärkeren
Streuung an den kleinen Kristallen nicht mehr durchlassen.
• Interferenzfilter
Interferenzfilter zeichnen sich aus durch hohe Maximaldurchlässigkeit bei sehr geringer Halbwertsbreite. Den Aufbau eines solchen Filters zeigt Abb. 1.7.
N ist eine auf einem Träger G aufgebrachte durchsichtige Distanzschicht der Dicke
d zwischen zwei halbdurchlässigen Metallfilmen M1 und M2 . Dem Schutz der
dünnen Schichten dient eine aufgekittete Deckplatte D aus Farbglas. Die Wirkungsweise des Filters beruht auf folgendem Zusammenhang: Ein senkrecht auffallendes paralleles Strahlenbündel wird an jeder der beiden Spiegelschichten M1
und M2 in einen durchgehenden und reflektierten Anteil aufgespalten. Infolge der
Mehrfachreflexion tritt Interferenz auf, wobei maximale Transmission durch das
8
Abbildung 1.7: Schematischer Aufbau eines Interferenzfilters. G: Glasträger; N: Distanzschicht; D: farbige Deckschicht; M1 , M2 : Metallfilme
Filter bei der Wellenlänge erreicht wird, bei der die Schichtdicke d der Distanzschicht ein ganzes Vielfaches von λ/2 ist.
Bei allen übrigen Wellenlängen führt die Interferenz zu einer bevorzugten Rückreflexion des Lichts vom Interferenzfilter. Das Farbglas D isoliert schließlich ein
einziges der vielen möglichen Maxima der Transmission.
Macht man die Distanzschicht keilförmig, so erhält man sogenannte Verlauffilter
mit denen man — in Kombination mit einem Spalt — durch Verschieben des
Filters für jede gewünschte Wellenlänge maximale Durchlässigkeit erreichen kann.
1.4
Intensitäten
Über die eingeführten Begriffe Dispersion und Auflösungsvermögen hinaus ist es für
die Beurteilung von Spektralapparaten bzw. Monochromatoren sehr wichtig zu wissen,
welche Strahlungsleistung Φ bei der eingestellten Bandbreite ∆λ durch das Gerät hindurchgelassen wird 6 . Hier soll nur auf den Zusammenhang zwischen Strahlungsleistung
und Spaltbreite eingegangen werden. ∆λ ist nach Gl. 1.4
∆λ =
∆s
f dΘ
dλ
mit der Spaltbreite ∆s verknüpft. Es läßt sich zeigen [2], daß bei einem gegebenen
Monochromator und einer Lichtquelle mit kontinuierlichem Spektrum die Strahlungsleistung proportional dem Quadrat der eingestellten Spaltbreite von Eintrittspalt und
Austrittsspalt ist:
Φ = const · (∆s)2
(1.11)
Aus diesem Zusammenhang ergibt sich, daß das Auflösungsvermögen eines Gerätes nicht
immer voll ausgenutzt werden kann: Um maximale Auflösung zu erreichen, muß die
Spaltbreite ∆s möglichst klein sein. Die Strahlungsleistung kann wegen Gl. (1.11)
6
Siehe Versuch E1
9
dann allerdings so gering werden, daß ein Detektor nicht mehr anspricht. Insofern besteht bei Spektralapparaten praktisch immer eine Beziehung zwischen Auflösung und
Signal-Rausch-Verhältnis. Da dieses von der Dämpfung abhängt (siehe Versuch E1),
die wiederum mit der Registriergeschwindigkeit eines Spektrums verbunden ist, besteht
eine direkte Beziehung zwischen der Auflösung und der Registriergeschwindigkeit von
Spektren. Das gilt besonders bei sehr schwachen Lichtquellen, z.B. bei der Aufnahme
von Emissionsspektren. Je höher die gewünschte Auflösung eines Spektrums sein soll,
desto geringer muß i. a. die Registriergeschwindigkeit gewählt werden.
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2 Versuchsausführung
Zur Durchführung des Versuchs steht ein Teilkreisspektrometer zur Verfügung, das mit
verschiedenen 60◦ Prismen bzw. einem Transmissionsstrichgitter ausgestattet werden
kann. In der Abb. 2.1 ist das Gerät schematisch dargestellt.
Hinweis: Nicht auf optische Flächen von Gittern, Prismen oder Linsen fassen!
Abbildung 2.1: Teilkreisspektrometer: L1 , L2 , L3 : Linsen; E.Sp.: Eintrittsspalt; Bl:
Blende; F: Augenschutzfilter; A.Sp.: Austrittsspalt; Ok: Okular
2.1
2.1.1
Versuche mit einem Transmissionsgitter
Bestimmung der Gitterkonstanten D
Bestimmen Sie die Gitterkonstante D sowie die Anzahl der Striche pro mm mit Hilfe der
Gleichung 1.7. Richten Sie dazu das Gitter so aus, daß es senkrecht zum Beleuchtungsstrahlengang steht. Das geschieht am besten mit einem He-Ne-Laser (λ = 6328 Å). Der
rückwärtige Reflex muß in die Austrittsöffnung des Lasers zurücklaufen. Messen Sie die
Winkel zu den Beugungsbildern in +l. und -1. Ordnung. Die Beobachtung erfolgt so,
daß hinter das Okular ein Stück weißes Papier gehalten wird, auf dem dann das Beugungsbild zu sehen ist. Abgelesen wird die Goniometeranzeige (Nonius) entsprechend
Abb. 2.2 in der +l. und -1. Ordnung. Die Differenz dieser Winkel ergibt 2Θ.
!!! Niemals direkt in den Laserstrahl sehen !!!
11
2.1.2
Bestimmung einiger Wellenlängen
Bestimmen Sie möglichst genau die Wellenlängen der 8 Emissionslinien einer gegebenen
Spektrallampe HgCd/10. Die Wellenlängen sollen in Å (= 10−8 cm) oder in nm (=
10−7 cm) angegeben werden. Gegenüber 2.1.1 wird der Laser durch die Spektrallampe
ersetzt und die Optik nach Abb. 2.1 aufgebaut und justiert. Achten Sie beim Justieren
der Spektrallampe auf eine gute Ausleuchtung des Eintrittsspaltes. Der Eintrittsspalt
wird über die Linsen L2 und L3 scharf in die Ebene des Austrittsspaltes abgebildet. Mit
Hilfe der Blende Bl, vgl. Abb. 2.1, kann die ausgeleuchtete Gitterfläche variiert werden.
Vor Beginn der Messung muß die Spektrallampe ca. 15 Minuten brennen. Das Gitter
darf gegenüber dem Versuch aus Abschnitt 2.1.1 nicht verändert werden! Abgelesen
wird wieder die Goniometeranzeige wie in 2.1.1.
2.1.3
Bestimmung der Lineardispersion
Bestimmen Sie die Lineardispersion der grünen Linie für die 1. Beugungsordnung nach
Gl. 1.9. Geben Sie sie in Å/mm an. Die Brennweite des abbildenden Systems beträgt
20 cm.
Abbildung 2.2: Schematischer Aufbau zur Bestimmung der Gitterkonstanten
2.1.4
Bestimmung des Auflösungsvermögens eines Gitters
Schätzen Sie das Auflösungsvermögen der vorgegebenen optischen Anordnung nach Gl.
1.10 ab.
Hinweis: Beachten Sie die Breite der Ausleuchtung des Gitters und notieren Sie diese
Größe!
12
Abbildung 2.3: Schematischer Aufbau zur Bestimmung der Brechungsindices eines Prismas
2.2
2.2.1
Versuche mit Prismen
Bestimmung der Brechungsindices
Bestimmen Sie für zwei 60◦ Prismen mit Hilfe der Gl.1.1 den Kurvenverlauf n(λ). Dazu
müßte für jede einzelne Linie der Spektrallampe die Minimalstellung ermittelt und dafür
der Ablenkwinkel gemessen werden. Zur Abkürzung der Messung soll nur die Minimalstellung für die Mitte des zu untersuchenden Spektralbereichs eingestellt werden. Für
diese mittlere Stellung sind dann die Ablenkwinkel der verschiedenen Spektrallinien zu
bestimmen, vgl. Abb. 2.3. Öffnen Sie dazu die Blende Bl so weit, daß in jeder der
beiden Positionen I und II die Prismenfläche gut ausgeleuchtet, aber nicht überstrahlt
wird. Es ist dabei darauf zu achten, daß die Stellung des Prismas auf dem Messingtisch
nicht verändert werden darf, wenn der Messingtisch zwischen Pos. I und Pos. II gedreht
wird. Lassen Sie vor der Messung die richtige Justierung des Prismas vom Assistenten überprüfen! Abgelesen werden - wie in Abb. 2.3 - die Winkel ΨI und ΨII in den
Postionen I bzw. II. Der Ablenkwinkel ist dann
Θmin =
ΨI − ΨII
2
(2.1)
Verwenden Sie für die graphische Darstellung von n(λ) für beide Prismen den gleichen
Ordinatenmaßstab!
Hinweis: Das eine der zu untersuchenden Prismenmaterialien ist schweres Flintglas
(Nr.72).
13
2.2.2
λ
Bestimmung der Dispersion dn/dλ
2.2.3
Bestimmung des Auflösungsvermögens eines Prismas
, für das Prisma mit dem größeren Anstieg im
Bestimmen Sie den Kurvenverlauf dn
(λ)
dλ
Kurvenverlauf n(λ).
Hinweis:
Sie sollen die in 2.2.1 erhaltene Kurve graphisch differenzieren, d.h. punktweise ∆n/∆λ
(für gleich große Schrittweiten ∆λ) bestimmen.
Schätzen Sie das Auflösungsvermögen des Spektralapparates für schweres Flintglas nach
Gl. 1.6 ab. Geben Sie die Größe von A für drei Wellenlängen an (rot, gelb, blau).
Hinweis: Nicht vergessen, die ausgenutzte Prismenbasislänge abzuschätzen; diese ist
nicht gleich der Basislänge des Prismas (= 30mm), wenn es nicht vollständig ausgeleuchtet wird.
2.3
Intensität als Funktion der Spaltbreite
Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Strahlungsleistung Φ als Funktion der Spaltbreite
∆s für ein Prisma mit niedriger Dispersion und überprüfen Sie die Gültigkeit von Gl.
1.11, indem Sie den Signalstrom gegen (∆s)2 auftragen. Benutzen Sie als Lichtquelle
eine Lampe mit kontinuierlichem Spektrum (Halogen-Lampe). Führen Sie die Beobachtung im Grünen durch. Das Okular wird gegen die Photodiode ausgetauscht. Die Diode
wird direkt an den Spalt herangeschoben.
Hinweise:
• Um das Amperemeter nicht zu zerstören, wird zunächst der unempfindlichste Meßbereich eingestellt und dann, je nach Anzeige, empfindlicher gestellt.
• Die Halogen-Lampe wird bei 12 V betrieben.
• Die Breiten von Eintritts- und Austrittsspalt werden jeweils gleich gewählt. Beachten Sie deren unterschiedliche Maßeinteilungen.
• Achten Sie darauf, daß der Wert der Anzeige, der durch Streulicht entsteht, von der
jeweiligen Meßanzeige abgezogen wird. Der vom Streulicht hervorgerufene Strom
wird für die jeweils eingestellte Spaltbreite ermittelt, indem die Lampe z.B. mit
einem Stück schwarzen Papiers abgedunkelt wird.
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2.4
Transmission von Farbgläsern
• Messen Sie am Zeiss-Spektralphotometer die Transmission eines Farbglasfilters im
Spektralbereich 750 nm bis 300 nm.
• Tragen Sie die Transmission gegen die Wellenlänge λ auf.
• Um welchen Filtertyp handelt es sich?
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Literaturverzeichnis
[1] G. Kortüm: Kolorimetrie, Photometrie und Spektrometrie, Springer-Verlag, 1962.
[2] F. Kohlrausch: Praktische Physik, Bd. I, B. G. Teubner, Stuttgart, 1968.
[3] Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. III, Optik, Walter de
Gruyter, Berlin-New York, 1974.
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