9 Graphtraversierung

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9 Graphtraversierung
Ausgangspunkt oder Baustein fast jedes nichtrivialen Graphenalgorithmus
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Graphtraversierung als Kantenklassifizierung
forward
s
tree
backward
cross
2
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9.1 Breitensuche
b
s
0
e
g
c
d
f
1
2
3
tree
backward
cross
forward
3
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9.2 Tiefensuche
tree
backward s
cross
forward
b
d
e
g
c
f
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Tiefensuchschema für G = (V, E)
unmark all nodes; init
foreach s ∈ V do
if s is not marked then
mark s
root(s)
DFS(s, s)
// make s a root and grow
// a new DFS-tree rooted at it.
Procedure DFS(u, v : NodeId)
// Explore v coming from u.
foreach (v, w) ∈ E do
if w is marked then traverseNonTreeEdge(v, w)
else
traverseTreeEdge(v, w)
mark w
DFS(v, w)
backtrack(u, v)
// return from v along the incoming edge
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DFS Nummerierung
init:
dfsPos=1
root(s):
dfsNum[s]:= dfsPos++
traverseTreeEdge(v, w):
dfsNum[w]:= dfsPos++
: 1..n
u≺v ⇔ dfsNum[u] < dfsNum[v] .
Beobachtung:
Knoten auf dem Rekursionsstapel sind bzgl., ≺ sortiert
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Fertigstellungszeit
init:
finishingTime=1
backtrack(u, v):
finishTime[v]:= finishingTime++
: 1..n
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Kantenklassifizierung bei DFS
type
dfsNum[v] <
finishTime[w] <
w is
(v, w)
dfsNum[w]
finishTime[v]
marked
tree
yes
yes
no
forward
yes
yes
yes
backward
no
no
yes
cross
no
yes
yes
forward
s
tree
backward
cross
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Topologisches Sortieren mittels DFS
Satz:
G ist kreisfrei (DAG) ⇔ DFS finded keine Rückwärtskante.
In diesem Fall liefert
t(v):= n − finishTime[v]
eine topologische Sortierung,
d.h.
∀(u, v) ∈ E : t(u) < t(v)
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Topologisches Sortieren mittels DFS
Satz: G kreisfrei (DAG) ⇔ DFS finded keine Rückwärtskante.
In diesem Fall liefert t(v):= n − finishTime[v] eine topologische
Sortierung, d.h. ∀(u, v) ∈ E : t(u) < t(v).
Beweis “⇒”: Annahme ∃ Rückwärtskante.
Zusammen mit Baumkanten ergibt sich ein Kreis.
Widerspruch.
forward
s
tree
backward
cross
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Topologisches Sortieren mittels DFS
Satz: G kreisfrei (DAG) ⇔ DFS finded keine Rückwärtskante.
In diesem Fall liefert t(v):= n − finishTime[v] eine topologische
Sortierung, d.h. ∀(u, v) ∈ E : t(u) < t(v).
Beweis “⇐”:
Keine Rückwärtskante
Kantenklassifizierung
z}|{
⇒
∀(v, w) ∈ E : finishTime[v] > finishTime[w]
⇒ finishTime definiert umgekehrte topologische Sortierung.
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Starke Zusammenhangskomponenten
∗
Betrachte die Relation ↔ mit
∗
u ↔ v falls ∃ Pfad hu, . . . , vi und ∃ Pfad hv, . . . , ui.
∗
Beobachtung: ↔ ist Äquivalenzrelation
Übung
∗
Die Äquivalenzklassen von ↔ bezeichnet man als starke
Zusammenhangskomponenten.
e
d
h
i
e
i
g
c, d, f , g, h
f
c
a
b
a
b
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Starke Zusammenhangskomponenten –
Abstrakter Algorithmus
Gc := (V, 0/ = Ec )
foreach edge e ∈ E do
invariant SCCs of Gc are known
Ec := Ec ∪ {e}
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Schrumpfgraph
Gsc = (V s , Ecs )
Knoten: SCCs von Gc .
Kanten: (C, D) ∈ Ecs
⇔ ∃(c, d) ∈ Ec : c ∈ C ∧ d ∈ D
e
d
h
i
e
i
g
c, d, f , g, h
f
c
a
b
a
Beobachtung: Der Schrumpfgraph ist azyklisch
b
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Auswirkungen einer neuen Kante e auf Gc , Gsc
SCC-intern: Nichts ändert sich
zwischen zwei SCCs:
Kein Kreis: Neue Kante in Gsc
Kreisschluss: SCCs auf Kreis kollabieren.
e
d
h
i
e
i
g
c, d, f , g, h
f
c
a
b
a
b
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Konkreter: SCCs mittels DFS
Vc = markierte Knoten
Ec = bisher explorierte Kanten
Aktive Knoten: markiert aber nicht finished.
SCCs von Gc :
nicht erreicht: Unmarkierte Knoten
offen: enthält aktive Knoten
abgeschlossen: alle Knoten finished
component[w] gibt Repräsentanten einer SCC an.
Knoten von offenen (abgeschl.) Komponenten heißen offen (abgeschl.)
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Invarianten von Gc
1. Kanten von abgeschlossenen Knoten gehen zu abgeschlossenen
Knoten
2. Offene Komponenten S1 ,. . . ,Sk bilden Pfad in Gsc .
3. Repräsentanten partitionieren die offenen Komponenten bzgl. ihrer
dfsNum.
S1
r1
S2
r2
open nodes ordered by dfsNum
Sk
rk
current
node
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Lemma: Abgeschlossene SCCs von Gc sind SCCs von G
Betrachte abgeschlossenen Knoten v
und beliebigen Knoten w
in der SCC von v bzgl. G.
z.Z.: w ist abgeschlossen und
v
in der gleichen SCC von Gc wie v.
Betrachte Kreis C durch v, w.
Inv. 1: Knoten von C sind abgeschlossen.
Abgeschl. Knoten sind finished.
Kanten aus finished Knoten wurden exploriert.
Also sind alle Kanten von C in Gc .
C
w
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eplacements
Repräsentation
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offener Komponenten
Zwei Stapel aufsteigend sortiert nach dfsNum
oReps: Repräsentanten offener Komponenten
oNodes: Alle offenen Knoten
S1
r1
S2
r2
open nodes ordered by dfsNum
Sk
rk
current
node
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init
component : NodeArray of NodeId
oReps=hi
: Stack of NodeId
oNodes=hi : Stack of NodeId
// SCC representatives
// representatives of open SCCs
// all nodes in open SCCs
Alle Invarianten erfüllt.
(Weder offene noch geschlossene Knoten)
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root(s)
oReps.push(s)
oNodes.push(s)
{s} ist die einzige offene Komponente.
Alle Invarianten bleiben gültig
// new open
// component
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traverseTreeEdge(v, w)
oReps.push(w)
oNodes.push(w)
{w} ist neue offene Komponente.
dfsNum(w) > alle anderen.
Alle Invarianten bleiben gültig
// new open
// component
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traverseNonTreeEdge(v, w)
if w ∈ oNodes then
while w ≺ oReps.top do oReps.pop
Lemma(∗)
w 6∈ oNodes w is abgeschlossen
Kante uninteressant
w ∈ oNodes: kollabiere offene SCCs auf Kreis
Si
ri
Sk
rk
w
v
current
node
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backtrack(u, v)
if v = oReps.top then
// close
// component
oReps.pop
repeat
w:= oNodes.pop
component[w]:= v
until w = v
Si
ri
z.Z. Invarianten bleiben erhalten. . .
Sk
rk
current
node
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backtrack(u, v)
if v = oReps.top then
oReps.pop
// close
// component
repeat
w:= oNodes.pop
component[w]:= v
until w = v
Inv. 1: Kanten von abgeschlossenen Knoten gehen zu
abgeschlossenen Knoten.
Sk
Si
OK
ri
rk
nein
u
OK
current
node
nein
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backtrack(u, v)
if v = oReps.top then
oReps.pop
// close
// component
repeat
w:= oNodes.pop
component[w]:= v
until w = v
Inv. 2: Offene Komponenten S1 ,. . . ,Sk bilden Pfad in Gsc
OK. (Sk wird ggf. entfernt)
Si
Sk
ri
rk
current
node
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backtrack(u, v)
if v = oReps.top then
oReps.pop
// close
// component
repeat
w:= oNodes.pop
component[w]:= v
until w = v
Inv. 3: Repräsentanten partitionieren die offenen Komponenten bzgl.
ihrer dfsNum.
OK. (Sk wird ggf. entfernt)
Si
ri
Sk
rk
current
node
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Beispiel
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
root(a) traverse(a,b) traverse(b,c)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
29
i
j
k
root(a) traverse(a,b) traverse(b,c)
traverse(c,a)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
30
i
j
k
backtrack(b,c) backtrack(a,b)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
31
i
j
k
backtrack(a,a)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
32
i
j
k
root(d) traverse(d,e) traverse(e,f) traverse(f,g)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
backtrack(f,g)
e
f
g
h
33
i
j
k
backtrack(e,f)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
traverse(e,g)
d
e
f
g
h
traverse(e,h)
34
i
j
k
traverse(h,i)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
35
i
j
k
traverse(i,e)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
traverse(i,j) traverse(j,c)
h
36
i
j
k
traverse(j,k)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
37
i
j
k
traverse(k,d)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
38
i
j
k
backtrack(j,k) backtrack(i,j) backtrack(h,i)
backtrack(e,h) backtrack(d,e)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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a
b
c
d
e
f
g
h
39
i
j
k
backtrack(d,d)
unmarked marked finished
nonrepresentative node
representative node
nontraversed edge
closed SCC
traversed edge
open SCC
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Zusammenfassung: SCC Berechnung
Einfache Instantiierung des DFS-Musters
Nichttrivialer Korrektheitsbeweis
Laufzeit O(m + n): (Jeweils max. n push/pop Operationen)
Ein einziger Durchlauf
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2-zusammenhängende Komponenten
(ungerichtet)
Bei entfernen eines Knotens bleibt die Komponente
zusammenhängend.
(Partitionierung der Kanten)
Geht in Zeit O(m + n) mit Algorithmus ähnlich zu SCC-Algorithmus
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Mehr DFS-basierte Linearzeitalgorithmen
3-zusammenhängende Komponenten
Planaritätstest
Einbettung planarer Graphen
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