Experimentalphysik für ET Aufgabensammlung 1. Wellen Eine an

Experimentalphysik für ET
Aufgabensammlung
1. Wellen
Eine an einem Draht befestigte Stimmgabel schwinge senkrecht zum Draht und erzeuge so auf
diesem eine Transversalwelle. Die Amplitude der Stimmgabelschwingung betrage 0, 5 mm, die
Frequenz 400 Hz. Die Kraft durch die Spannung im Draht sei 1 kN und die Massenbelegung des
Drahtes 0, 01 kg/m. Angenommen werden soll, dass keine Reflexionen auftreten.
a) Wie groß sind die Periode und die Frequenz der Wellen auf dem Draht? (T = 1/f =
1/(400 Hz) = 2.5 ms)
b) Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen? (v = 316 m/s)
c) Wie groß sind die Wellenlänge und die Wellenzahl? (λ = 0.791 mk = 7.95 m−1 )
d) Wie lautet die Wellenfunktion?
e) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit? (vmax = 1.26 m/s)
f ) Wie groß ist die maximale Beschleunigung? (amax = 3.16 ∙ 103 m/s2 )
2. Wellen
Eine sinusförmige Welle breite sich entlang der positiven x-Achse aus.
x = 0.025 m
0.02
0.02
0.01
0.01
y [m]
y [m]
t=0
0.0
-0.01
0.0
-0.01
-0.02
-0.02
0
0.025
0.05
x [m]
0.075
0.1
0
2.5
5
7.5
10
t [s]
a) Ermitteln Sie anhand der Abbildung die Funktion y(x, t), die die Welle beschreibt.
b) Geben Sie die Beträge des Wellenvektors und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle an.
(v = 10−2 m/s, k = 125.6m−1 )
Ein Draht mit der Länge ` = 5 m schwinge mit der Frequenz f . Der Draht werde durch eine
Kraft von 5 kN gespannt.
c) Eine Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ergibt v = 500 m/s. Wie schwer ist
der Draht? (m = 10−1 kg)
d) Ist die Wellenlänge der Welle in der umgebenden Luft dieselbe wie die Wellenlänge auf dem
Draht (Begründen Sie Ihre Antwort)?
3. Wellen
Es sollen Wellen auf einer 80 cm langen beidseitig eingespannten C-Saite eines Klaviers untersucht werden. Die Saite hat eine Masse von 7 g.
a) Wie groß sind die Wellenlänge und die Wellenzahl der Grundschwingung der Saite? (λ =
1.6 mk = 3.92 m−1 )
b) Der Ton c besitzt eine Frequenz von 261, 63 Hz. Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der zugehörigen Welle auf der Saite? (v = 418.6 m/s)
c) Wie groß muss die Zugkraft in der Saite sein, um die Ausbreitungsgeschwindigkeit aus Aufgabe b) zu erreichen? (F = 1533.3 N)
d) Welche Frequenzen gehören zur 1. und 2. Oberwelle der Saite? (f1 = 523.3 Hz, f2 = 784.9 Hz)
Ein 5 m langes, schweres Seil hänge frei beweglich von der Decke.
e) Zeigen Sie, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit transversaler Wellen auf dem Seil nicht von
dessen Masse und Länge abhängt, aber eine Funktion des Abstandes y vom unteren Punkt
√
des Seiles ist, und zwar gemäß v = gy.
f ) Wie lange dauert es, bis ein Wellenberg vom unteren Ende des Seiles zum Aufhängepunkt
und wieder zurückgewandert ist? (t = 2.85 s)
4. Wellen
Eine 2 m lange Saite mit einer Gesamtmasse von m = 9, 81 g werde durch ein herabhängendes
Gewichtstück der Masse M = 11, 25 kg gespannt. Der Abstand zwischen dem Befestigungspunkt
und der Umlenkrolle sei d = 0.75 m.
a) Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf der Saite? (v = 150 m/s)
b) Wie groß ist die Wellenlänge der Grundwelle der Saite? (λ = 1.5 m)
c) Welche Frequenz hat die Grundwelle? (f = 100 Hz)
d) Ist die Wellenlänge der Grundwelle in der umgebenden Luft dieselbe wie die Wellenlänge auf
der Saite ? (Begründen Sie Ihre Antwort.)
5. Wellen
Eine Stahlsaite hat eine Länge von ` = 40 cm und der verwendete Stahl eine Dichte von % =
7, 8 g/cm3 .
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf
einer gespannten Saite an?
b) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit, der Frequenz und der Wellenlänge von Wellen an?
c) Wie hängen die Länge des Stahlseils und die Wellenlänge der Grundschwingung zusammen?
d) Bei welcher mechanischen Spannung σ der Saite erzeugt sie in ihrer Grundschwingung einen
Ton mit der Frequenz f = 200 Hz? (σ = 200 MPa)
e) Welcher Zugkraft F entspricht die Spannung aus d) bei einem Saitendurchmesser von d =
0, 5 mm? (F = 39.2 N)
f ) Welche Grundfrequenz ergibt sich, wenn die Saite halb so lang und doppelt so dick ist und
unter einem Viertel der Zugkraft steht? (f = 100 Hz)
6. Wellen
Eine 4 m lange Saite mit einer Gesamtmasse von m = 9, 81 g werde durch eine verschiebbare
Halterung starr fixiert und durch zwei herabhängende Gewichtstücke der Masse m1 = 76, 8 kg
und m2 auf der jeweils anderen Seite gespannt. Der Abstand zwischen den beiden Umlenkrollen
sei ` = 3 m. Ein Beobachter verschiebt die Halterung soweit, bis er f ür die Frequenzen der
Grundschwingungen der beiden Abschnitte `1 und `2 den gleichen Wert erhält. Für die Strecke
`2 ergibt sich so ein Wert von 1 m.
a) Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf
einer gespannten Saite an?
b) Welcher Zahlenwert ergibt sich für die Wellenlänge der Grundwelle auf der Saite `2 ? (λ =
2 m)
c) Welcher Wert ergibt sich für die Frequenz der Grundwelle? (f = 138.5 Hz)
d) Welcher Zahlenwert ergibt sich für die Masse m2 ? (m2 = 19.2 kg)
7. Wellen
Ein langes, schweres Seil der Masse m und Länge L hänge frei beweglich von der Decke herab.
Am unteren Ende des Seils sei eine Masse M = 4m befestigt.
a) Zeigen Sie, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit transversaler Wellen auf dem Seil eine Funktion despAbstandes y vom unteren Ende des Seils ist, und zwar gemäß
v(y) = (M gL/m + gy).
b) Geben Sie den Ausdruck für die Schwingungsdauer der Grundwelle an. Berechnen Sie dazu
die Laufzeit eines Wellenberges vom unteren Ende des Seils zum Aufhängepunkt und wieder
zurück.
RL
c) Leiten Sie über v = L−1 0 vdy den Ausdruck für die mittlere Geschwindigkeit der Welle auf
dem Seil ab.
d) Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit, der Schwingungsdauer und der Wellenlänge der Welle auf dem Seil an. Berechnen Sie den Wert der Wellenlänge in Vielfachen der Länge L, der sich hier ergibt.
8. Interferenz
Die Lautsprecher L1 und L2 befinden sich in den Ecken eines rechteckigen Raumes mit Wänden
der Längen a bzw. b. Beide strahlen phasengleich einen Ton der Frequenz f ab. Ein Beobachter
(B) startet in einer Ecke des Raumes und bewegt sich entlang der Diagonalen zur Mitte des
Raumes. An den Punkten x1 = 0, 887 m, x2 = 2, 041 m und x3 = 2, 935 m hat die vom
Beobachter gemessene Leistung Minima.
a) Geben Sie den Ausdruck für die Weglängendifferenz Δs der beiden emittierten Wellen am
Ort des Beobachters als Funktion von a, b, x und α an.
b) Geben Sie die Bedingung für die Weglängendifferenz Δs für ein Minimum am Ort x an. Wie
weit liegen zwei Minima auseinander?
c) Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus a) und b), um die Zahlenwerte der Wellenlänge und der Frequenz der emittierten Schallwellen zu ermitteln. Nehmen Sie f ür die Schallgeschwindigkeit
vs = 330 m/s und für die Längen der Wände a = 3 m und b = 6 m an. (λ = 1 m,
f = 330 Hz)
d) Geben Sie Ausdruck und Zahlenwert für den Betrag des Wellenvektors der emittierten Schallwellen an. (k = 6.283 m−1 )
9. Interferenz
Die Lautsprecher L1 und L2 sind im Abstand d = 7, 5 m voneinander angeordnet. Beide strahlen
phasengleich einen Ton der Frequenz f ab. Ein Beobachter startet am Lautsprecher L2 und
bewegt sich senkrecht zur Verbindungslinie L2 L1 . An den Punkten y1 = −0, 3848 m, y2 =
−1, 224 m und y3 = −2, 1875 m hat die vom Beobachter gemessene Leistung Minima.
a) Geben Sie den Ausdruck für die Weglängendifferenz der beiden emittierten Wellen am Ort
des Beobachters an.
b) Lautsprecher L2 hat eine Leistung von P2 = 20 W, die homogen in den Raum abgestrahlt wird. Welche Leistung hat Lautsprecher L1 , wenn der Beobachter am Punkt y3
eine vollständige Auslöschung misst? Gesucht ist der Zahlenwert. (P1 = 255 W)
c) Nutzen Sie den Ausdruck aus a), um die Zahlenwerte der Wellenlänge und der Frequenz
der emittierten Schallwellen zu ermitteln. Nehmen Sie für die Schallgeschwindigkeit vs =
330 m/s an. (λ = 0.75 m, f = 440 Hz)
10. Interferenz
An einer Wand, die in der y,z-Ebene liegt, sind zwei
Schallquellen befestigt. Quelle S1 befinde sich am Ort
(x, y, z) = (0, 0, 3) und S2 am Ort (0, 2.5, 1). Die Quellen strahlen phasengleiche Schallwellen mit der selben
Frequenz und Amplitude ab. Ein Detektor (D) befinde
sich am Ort (2, 1, 1).
a) Berechnen Sie die drei größten Wellenlängen, die der Detektor nicht registrieren kann. (λ =
(1; 1/3; 1/5) m)
Die Quelle S2 werde abgeschaltet. Die abgestrahlte mittlere Leistung von Quelle S1 sei 50 W.
b) Berechnen Sie die vom Detektor aufgezeichnete Intensität unter der Annahme, dass Quelle
S1 seine gesamte Leistung gleichmäßig in eine Halbkugel in x-Richtung abstrahlt. (I =
0.88 W/m2 )
c) Streichen Sie die nicht zutreffenden Antworten: (1 Punkt)
Stehende Wellen entstehen bei der Überlagerung von zwei Wellen ...
- mit gleicher Amplitude, gleicher Kreisfrequenz und gleicher Ausbreitungsrichtung.
- mit gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und entgegengesetzten Ausbreitungsrichtungen.
- mit gleicher Amplitude, etwas anderen Frequenzen und gleicher Ausbreitungsrichtung.
- mit gleicher Amplitude, etwas anderen Kreisfrequenzen und entgegengesetzten Ausbreitungsrichtungen.
11. Interferenz
Die sogenannte Kundtsche Methode ist ein Verfahren zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit
verschiedener Gase. In ein horizontales, zylindrisches Glasrohr wird gleichmäßig ein leichtes
Pulver gestreut. Eine Seite des Rohres ist durch einen Kolben geschlossen, der durch einen
Oszillator mit bekannter Frequenz angetrieben wird.
Auf der gegenüberliegenden Seite befindet sich ein Kolben
mit dem die Länge der Gassäule im Rohr eingestellt werden
kann. Während der erste Kolben schwingt, wird der zweite
langsam so lange bewegt, bis der Resonanzfall eintritt. Dann
sammelt sich das Pulver in kleinen, gleichmäßig über den
Röhrenboden verteilten Häufchen.
a) Warum ordnet sich das Pulver so an?
b) Leiten Sie eine Gleichung für die Schallgeschwindigkeit in einem Gas in Abhängigkeit von
der Frequenz f und dem Abstand der Pulverhäufchen her?
Der erste Kolben sei an einen Stahlstab der Länge ` = 1, 20 m gekoppelt und die Röhre sei
mit Wasserstoff gefüllt. Bei Anregung des Stabes wird zwischen den Häufchen ein Abstand von
0, 288 m gemessen
c) Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in Wasserstoff, wenn diejenige im verwendeten Stahl
vs = 5300 m/s ist? (v = 1272 m/s)
12. Interferenz
Zwei im Abstand d = 9, 00 m symmetrisch zum Nullpunkt
angeordnete Lautsprecher Q1 und Q2 strahlen phasengleich
einen Messton ab. Der Ton wird zunächst im Punkt P0 =
(x0 , 0) auf der x-Achse bei x0 = 10, 00 m mit einem Mikrofon
aufgenommen. Bewegt man das Mikrofon von P0 nach P1 =
(x0 , y1 ) um die Strecke y1 = 1, 85 m, so nimmt die Lautstärke
ab und erreicht in P1 ein Minimum.
a) Welche Frequenz f0 hat der Messton (Die Schallgeschwindigkeit sie c = 345 m/s)? Gesucht
sind Ausdruck und Zahlenwert. (f = 115 Hz)
b) Das Mikrofon werde entlang der Kurve minimaler Lautstärke vom Punkt P1 zum Punkt
P2 = (0, y2 ) auf der y-Achse bewegt. Welchen Abstand y2 hat dann das Mikrofon vom
Koordinaten-Nullpunkt? (d1 = 0.75 m)
c) Bewegt man das Mikrofon von P2 aus auf der y-Achse in Richtung auf Q1 , so findet man
weitere Bereiche minimaler Lautstärke. Wie viele derartige Punkte und in welchem Abstand
vom Nullpunkt findet man, zusätzlich zum Punkt P2 , bevor der Lautsprecher Q1 erreicht
wird? (d2 = 2.25 m, d3 = 3.75 m)
13. Interferenz
Zwei Rechteckpulse bewegen sich auf einer Saite aufeinander zu.
a) Zeichnen Sie die sich ergebenden Wellenfunktionen für t = 1 s , 2 s und 3 s.
b) Geht Energie verloren oder wird Energie gewonnen, wenn zwei Wellen konstruktiv bzw.
destruktiv interferieren? (Erläutern Sie Ihre Antwort.)