2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren

2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
2.7
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Definition 2.7.1 Sei A eine n × n-Matrix. Dann heißt λ ∈ R Eigenwert von A, wenn es ein ~x ∈ Rn mit
~x 6= ~0 gibt, so dass gilt
A~x = λ~x.
Jedes ~x 6= ~0, das diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ.
Bemerkung∗ : wegen A~0 = λ~0 für alle λ ∈ R y ~x 6= ~0 wesentlich!
Beispiele : f : R3 → R3 Drehung um den Winkel θ > 0 um die x-Achse
früher:
 
 
f1 (x, y, z)
1
0
0
x
~ = f2 (x, y, z) = 0 cos θ − sin θ y  = Af ξ~
f (ξ)
0 sin θ
cos θ
f3 (x, y, z)
z
|
{z
}

z
y
~
f (ξ)
Af
 
1
y Af hat Eigenwert λ = 1, Eigenvektor ~u = 0:
0

 
 
1
0
0
1
1
Af ~u = 0 cos θ − sin θ 0 = 1 0
0 sin θ
cos θ
0
0
θ
ξ~
x
Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
λ Eigenwert, ~u Eigenvektor von A ⇐⇒ A~u = λ~u ⇐⇒ (A − λI)~u = ~0, ~u 6= ~0
y suchen nicht-triviale Lösung ~u des linearen Gleichungssystems
=⇒
det(A − λI) = 0
{z
}
Satz 2.4.5 |
Polynom in λ
Definition 2.7.2 Seien A eine n × n-Matrix und λ ∈ R. Die Gleichung
det(A − λI) = 0
heißt charakteristische Gleichung für A und das Polynom
pA (λ) = det(A − λI)
nennt man charakteristisches Polynom von A.
y suchen also Nullstellen des charakteristischen Polynoms als Eigenwerte von A
µ
¶
µ
¶
a b
a−λ
b
Beispiel : Sei A =
y A − λI =
c d
c
d−λ
y pA (λ) = det(A − λI) = (a − λ)(d − λ) − bc = λ2 − λ(a + d) + ad − bc
| {z }
det A
q
sµ
¶2
2
(a + d) − 4(ad − bc)
a+d
a+d
a+d
±
±
− (ad − bc) =
y λ1,2 =
2
2
2
2
q
2
(a − d) + 4bc
a+d
=
±
2
2
50
2 Lineare Algebra
allgemeine Berechnungsmethode
1. Schritt: Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms pA (λ) und ihrer Vielfachheiten
2. Schritt: Bestimmung der Lösungsräume L(A − λI|~0) des homogenen linearen Gleichungssystems
(A − λI)~x = ~0
99K
Eigenvektoren ~u
Bezeichnung: U (λ) = L(A − λI|~0) = {~x ∈ Rn : (A − λI)~x = ~0}
Definition 2.7.3 Seien A eine n × n-Matrix, λ0 ∈ R eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms pA (λ),
d.h. mit pA (λ0 ) = 0.
(i) Die Vielfachheit der Nullstelle λ0 von pA (λ) heißt algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ0 .
(ii) Man nennt den linearen Teilraum
U (λ0 ) = {~x ∈ Rn : (A − λ0 I)~x = ~0} ⊂ Rn
Eigenraum der Matrix A zum Eigenwert λ0 , seine Dimension dim U (λ0 ) heißt geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ0 .
Bemerkung :
• A sei n × n-Matrix y pA (λ) Polynom n-ten Grades in λ y pA (λ) besitzt genau n
Nullstellen in C, d.h.
∃ λ1 , . . . , λn ∈ C : pA (λj ) = det(A − λj I) = 0
y es gibt höchstens n verschiedene (reelle) Eigenwerte von A
• geometrische Vielfachheit von λ ≤ algebraische Vielfachheit von λ ≤ n
• U (λ) Eigenraum, denn alle ~u ∈ U (λ) mit ~u 6= ~0 sind Eigenwerte zu λ
µ
Beispiel : A =
q
¶
a b
c d
=⇒ λ1,2
s.o.
a+d
=
±
2
2
(a − d) + 4bc
2
2
• falls (a − d) + 4bc > 0 y λ1,2 ∈ R, λ1 6= λ2 , beide haben algebraische und geometrische
Vielfachheit 1
2
• falls (a − d) + 4bc = 0 y λ1 = λ2 ∈ R, algebraische Vielfachheit 2, möglich:
– dim U (λ1 ) = 2
⇐⇒
λ1 hat geometrische Vielfachheit 2
– dim U (λ1 ) = 1
⇐⇒
λ1 hat geometrische Vielfachheit 1
2
• falls (a − d) + 4bc < 0 y pA (λ) besitzt keine reellen Nullstellen (aber zwei konjugiert
komplexe, λ1 = λ2 mit algebraischer Vielfachheit 1)
2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiele : (a) A =
µ
−1
0
51
¶
0
1
Spiegelung bezüglich der y-Achse im R2
y pA (λ) = (−1 − λ)(1 − λ) = 0 ⇐⇒ λ1,2 = ±1 y λ1 = 1, λ2 = −1
µ
¶µ ¶ µ ¶
−2 0
u1
0
• U (λ1 ) : (A − λ1 I)~u =
=
y dim U (λ1 ) = 1,
u2
0 0
0
½
µ ¶¾
µ ¶
0
0
2
U (λ1 ) = ~x ∈ R : ~x = γ
, Eigenvektor ~u1 =
= ~e2
1
1
µ
¶µ ¶ µ ¶
0 0
u1
0
• U (λ2 ) : (A − λ2 I)~u =
=
y dim U (λ2 ) = 1,
0 2
u2
0
½
µ ¶¾
µ ¶
1
1
U (λ2 ) = ~x ∈ R2 : ~x = γ
, Eigenvektor ~u2 =
= ~e1
0
0
µ
¶
2 0
(b) A =
⇐⇒ pA (λ) = (2 − λ)2 = 0 ⇐⇒ λ1 = λ2 = 2
0 2
¶µ ¶ µ ¶
µ
0
u1
0 0
y dim U (λ1 ) = 2, U (λ1 ) = R2 ,
=
• U (λ1 ) : (A − λ1 I)~u =
0
u2
0 0
µ ¶
µ ¶
1
0
~
jedes ~u 6= 0 Eigenvektor, z.B. ~u1 =
= ~e1 , ~u2 =
= ~e2
0
1
µ
¶
2 1
(c) A =
⇐⇒ pA (λ) = (2 − λ)2 = 0 ⇐⇒ λ1 = λ2 = 2
0 2
µ
¶µ ¶ µ ¶
0 1
u1
0
• U (λ1 ) : (A − λ1 I)~u =
=
y dim U (λ1 ) = 1,
0 0
u2
0
½
µ ¶¾
µ ¶
1
1
U (λ1 ) = ~x ∈ R2 : ~x = γ
, Eigenvektor ~u1 =
= ~e1
0
0
µ
¶
cos θ − sin θ
(d) A =
Drehung um den Winkel θ > 0 im R2
sin θ
cos θ
y pA (λ) = (cos θ − λ)2 + sin2 θ = 1 − 2λ cos θ + λ2 = 0
√
y λ1,2 = cos θ ± cos2 θ − 1
=⇒
λ1,2 6∈ R
0 < θ < 2π

1
0
(e) A = 0 cos θ
0 sin θ

0
− sin θ
cos θ
Drehung um den Winkel θ > 0 um die x-Achse im R3
det(A − λI) = (1 − λ)(cos θ − λ)2 + (1 − λ) sin2 θ = (1 − λ)(1 − 2λ cos θ + λ2 ) = 0
√
=⇒
λ2,3 6∈ R
y λ1 = 1, λ2,3 = cos θ ± cos2 θ − 1
0 < θ < 2π

0
0
• U (λ1 ) : (A − λ1 I)~u = 0 cos θ − 1
0
sin θ
y dim U (λ1 ) = 1,

 
1 

U (λ1 ) = ~x ∈ R3 : ~x = γ 0


0
   
0
u1
0
− sin θ  u2  = 0
cos θ − 1
u3
0
x-Achse,
 
1
Eigenvektor ~u1 = 0 = ~e1
0
52
2 Lineare Algebra
Anwendung auf Koordinatentransformation / Basiswechsel (Satz 2.6.9)
3
3
Beispiel : Seien©~u ∈ R3 , |~u| = 1,
ª und s : R → R die Spiegelung an der zu ~u orthogonalen Ebene
3
E = ~x ∈ R : ~u · ~x = 0 ,
z
y
s : R3 −→ R3 , s : ~x 7→ s(~x) = ~x − 2(~x · ~u)~u,
s(~x)
suchen möglichst einfache Abbildungsmatrix für s (in neuen
Koordinaten): sei w
~ ∈ R3 , |w|
~ = 1, w
~ ∈E
y
w⊥~
~ u
~u × w
~ ⊥ span(~u, w),
~
|w
~ × ~u| = 1
¡
¢
~ ~u × w
~
betrachten B = (~u, w,
~ ~u × w)
~ bzw. B = ~u w
y s(~u) = −~u,
~x
~xE
y
E
~u
s(w)
~ = w,
~
s(~u × w)
~ = ~u × w
~
 
 
−1
¡
¢ −1
~ ~u × w
~  0  y s(~u)B =  0 
y s(~u) = −~u = ~u w
|
{z
} 0
0
B
| {z }
s(~
u)B
 
 
0
0
analog: s(w)
~ B = 1, s(~u × w)
~ B = 1
0
0
¡
y As,B = (s(~u))B
(s(w))
~ B
(s(~u × w))
~ B
¢


−1 0 0
=  0 1 0 y det As,B = −1
0 0 1
Eigenwerte von As,B : λ1 = −1, λ2 = λ3 = 1


  
0 0 0
x1,B
0
• U (λ1 ) : (As,B − λ1 I)~xB = 0 2 0 x2,B  = 0
y dim U (λ1 ) = 1,
0 0 2
x3,B
0

 
1 

U (λ1 ) =
~x ∈ R3 : ~xB = γ 0
“neue x-Achse”


0
n
o ©
ª
= ~x ∈ R3 : ~x = B~xB = ~x ∈ R3 : ~x = γ~u , Eigenvektor : ~x1 = ~u
|{z}
Substiγ~
u
tutionsformel


  
−2 0 0
x1,B
0
• U (λ2 ) : (As,B − λ2 I)~xB =  0 0 0 x2,B  = 0
y dim U (λ2 ) = 2,
0 0 0
x3,B
0

 
 
0
0 

= span(w,
~ ~u × w)
~ = E,
U (λ2 ) = ~x ∈ R3 : ~xB = γ1 1 + γ2 0
 Substi
0
1
tutionsformel
Eigenvektoren: ~x2 = w,
~ ~x3 = ~u × w
~
x