Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen
1.
Anwendungen
a) Trigonometrie (Dreiecksberechnungen)
b) Periodische Vorgänge (Schwingungen, Wellen)
2.
Sinus und Cosinus
Gegenkathete
Ankathete
Definition: geometrisch, Dreiecke im Einheitskreis: sin ( α ) = --------------------------------- , cos ( α ) = ------------------------------- .
Hypothenuse
Hypothenuse
3.
Periodizität
sin(x+2 ) = sin(x), cos(x+2 ) = cos(x).
4.
Symmetrien
5.
Beziehungen zueinander
sin ( – x ) = – sin ( x ) , cos ( x ) = cos ( – x )
π
a) Phasenverschiebung: sin x + --- = cos ( x ) ,
2
sin ( x + π ) = – sin ( x ) , cos ( x + π ) = – cos ( x ) .
b) Pythagoras: sin2(x) +cos2(x) = 1
6.
Additionstheoreme
7.
Funktionen des doppelten Winkels
sin ( x + y ) = sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y ) ,
sin ( 2x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) ,
8.
cos ( x + y ) = cos ( x ) cos ( y ) – sin ( x ) sin ( y )
cos ( 2x ) = cos2 ( x ) – sin2 ( x )
Funktionen des halben Winkels
x
1
sin --- = +- --- ( 1 – cos ( x ) ) ,
2
2
x
1
cos --- = +- --- ( 1 + cos ( x ) )
2
2
Das richtige Vorzeichen muß entsprechend dem Wert des Arguments x/2 gewählt werden, s. Tabelle.
9.
Summe von Funktionen
x+y
x–y
sin ( x ) + sin ( y ) = 2 sin ------------ cos ------------ ,
2
2
10.
x+y
x–y
cos ( x ) + cos ( y ) = 2 cos ------------ cos -----------2
2
Produkte von Funktionen
1
sin ( x ) sin ( y ) = --- ( cos ( x – y ) – cos ( x + y ) ) ,
2
1
cos ( x ) cos ( y ) = --- ( cos ( x – y ) + cos ( x + y ) )
2
1
sin ( x ) cos ( y ) = --- ( sin ( x – y ) + sin ( x + y ) )
2
11.
12.
Abgeleitete Funktionen: Tangens und Cotangens
sin ( x )
cos ( x )
tan ( x ) = ---------------- , cot ( x ) = ---------------- . Beide haben die Periode
cos ( x )
sin ( x )
und sind ungerade.
Additionstheorem
tan ( x ) + tan ( y )
tan ( x + y ) = ----------------------------------------1 – tan ( x ) tan ( y )
Trigonometrische Funktionen
(1/2)
A. Kilian
13.
Graphen
tan(x)
cot(x)
sin(x)
cos(x)
14.
Ausdrücken einer trigonometrischen Funktion durch eine andere
sin x
sin x =
+- 1 – cos2 ( x )
cos x =
+- 1 – sin2 ( x )
tan x =
sin ( x )
------------------------------------+- 1 – sin2 ( x )
cot x =
+- 1 – sin2 ( x )
-----------------------------------sin ( x )
15.
16.
cos x
tan x
cot x
tan ( x )
------------------------------------+- 1 + tan2 ( x )
1
------------------------------------+- 1 + tan2 ( x )
1
------------------------------------+- 1 + cot2 ( x )
cot ( x )
------------------------------------+- 1 + cot2 ( x )
1
---------------cot ( x )
+- 1 – cos2 ( x )
---------------------------------cos ( x )
cos ( x )
-------------------------------------+- 1 – cos2 ( x )
1
---------------tan ( x )
Vorzeichen
Quadrant
I.
II.
III.
IV.
sin x
+
+
-
-
cos x
+
-
-
+
tan x
+
-
+
-
cot x
+
-
+
-
Umkehrfunktionen
Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es unendlich viele mögliche
Umkehrfunktionen. Üblicherweise werden die Intervalle, die die Null enthalten und in denen die jeweilige
Winkelfunktion monoton ist, zur Definition von arcsin, arccos, arctan und arccot verwendet. Man nennt
die so gelieferten Winkel (im Bogenmaß Arcus - daher die Funktionsbezeichnungen) die Hauptwerte.
Trigonometrische Funktionen
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A. Kilian