rd)t,r()t,r( rd)t,r( ψ ψ= ψ + ∈

2 Woche 21/22-4-15
B:
Schrödinger-Gleichung für die Bewegung eines qmT im äußeren Potenzial U(r,t).
Statistische Interpretation der Wellenfunktion (Max Born, 1927)
In 1925, Erwin Schrödinger, ´made an educated guess´und postulierte: Für die Bewegung des
qmT in U(r,t) lautet die gesuchte Gleichung für die (i.a. komplexe) Wellenfunktion ψ( r , t )
ih
∂ ψ( r , t )
h2 2
=−
∇ ψ ( r , t ) + U ( r , t )ψ ( r , t )
∂t
2m
→
Schrödinger-Gleichung
(1.2)
• Statistische Interpretation der Wellenfunktion (WF) als Wahrscheinlichkeitsamplitude
(Max Born, 1927):
ψ ( r , t ) d 3 r = ψ( r , t ) ψ ∗ ( r , t ) d 3 r
2
(1.3)
ist die Wahrscheinlichkeit, das qmT zum Zeitpunkt t ∈ ( t, t + dt ) im Volumenelement d3r
aufzufinden.
Wegen der statistischen Interpretation interessieren uns nur die normierbaren Lösungen ψ( r , t )
der SG (1.2), für die
∫
V
d 3r ψ( r , t )
2
= 1 (für alle t)
(1.4)
gilt, wobei V der zugängliche Raumbereich ist. Da mit ψ( r , t ) auch const ⋅ ψ ( r , t ) Lösung von
(1.2), ist die Forderung der Normierbarkeit unproblematisch, solange ψ( r , t ) quadratisch
integrabel ist.
Die statistische Interpretation der WF/QM ist eine der Ursachen für die konzeptionellen
Schwierigkeiten der QM; ihrer tiefere Analyse führt auf die Unschärfe-Relation, s.u.
1
• Statistische Interpretation und Zeitinvarianz
KM: NBG m
d2 r
= F für die Bahnkurve r(t) ist invariant gegen Zeitumkehr t → -t. Mit der
dt 2
Bewegung r(t) („Film vorwärts“) verstößt auch die Bewegung r(-t) („Film rückwärts“) gegen
kein einziges Gesetz der KM.
QM: Mit ψ( r , t ) ist auch ψ∗ ( r,− t ) (nicht jedoch ψ( r ,− t ) !) Lösung der SG, denn diese ist
invariant unter t → - t nur bei gleichzeitiger komplexer Konjugation. Damit ist aber die für die
Messung relevante Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte invariant gegenüber Zeitumkehr
t → −t
ψ( r, t ) ψ∗ ( r, t ) → ψ( r,− t ) ψ∗ ( r,− t ) = ψ∗ ( r,−( − t )) ψ∗∗ ( r,−( − t )) = ψ∗ ( r, t ) ψ( r, t ) ,
d.h. auch die SG beschreibt eine reversible Zeitentwicklung.
• Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
Nach einfachen Umformungen erhält man aus der SG
∂ ∗
ih
(
ψ ψ) =
∇ ⋅ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) also
∂t
2m
∂w
ih
+ div j = 0 mit w := ψ ∗ψ und j =
∇ ⋅ (ψ∇ψ∗ − ψ∗ ∇ψ ).
∂t
2m
(1.5)
Gleichung (1.5) ist die Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte w,
d.h. j ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Die Kontinuitätsgleichung kann als lokale
Formulierung der Normierungsbedingung (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit) interpretiert
werden.
Beweis Übungsblatt:
FAZIT: Die Gleichungen (1.2) bis (1.4) bilden die Basis der Schrödinger´schen
Wellendynamik. Es hat sich gezeigt, dass sie nichtrelativistische Teilchen ohne Spin korrekt
beschreiben.
2
• Bewegung im zeitunabhängigen Potenzial U(r)
KM: NBG
2

d2 r
dr
d 2 r dr dr
d  m  dr 
m 2 = −grad U( r ) ⋅
, m 2 ⋅ + ⋅ grad U( r ) = 0 ,
   + U( r )  = 0
dt
dt
dt dt dt
dt  2  dt 

→ Energieerhaltung bei Bewegung im zeitunabhängigen Potenzial.
QM: SG
(
∂ ψ( r , t )
h2 2 (
(
ih
=−
∇ ψ ( r , t ) + U ( r )ψ ( r , t )
∂t
2m
(
Lösung durch Trennung der Variablen (Separationsansatz): ψ( r, t ) = ψ( r ) T( t )
dT
h2
2
ih ψ
=−
T∇ ψ + UψT
dt
2m

1 dT 1  h 2 2
: ψ T ≠ 0 → ih
=  −
∇ ψ + U ψ  = const =: E
dt
ψ  2m
1
4T
24
3 1
444
424444
3
r − unabhängig
t − unabhängig
i
− Et
1 dT
h
linke Seite: ih
= E → T( t ) = T0 e
.
T dt
Vergleichen wir das mit dem de-Broglie-Postulat ψ( r , t ) = ψ 0 e i ( k⋅r −ωt ) für das freie qmT folgt
E = h ω , d.h., die Separationskonstante entspricht der Energie.
rechte Seite: Der ortsabhängige Anteil der Wellenfunktion genügt
−
h2 2
∇ ψ( r ) + U ( r ) ψ( r ) = E ψ( r ) → stationäre Schrödinger-Gleichung.
2m
(1.6)
i
~ ( r , t ) = ψ( r ) e − h E t ,
FAZIT: Bei Bewegung im zeitunabhängigen Potenzial ist die WF ψ
wobei ψ (r ) die Lösung der stationären SG und E die (zulässigen Werte für die) Energie des
qmT sind. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ist zeitunabhängig, denn
~ (r, t )
ψ
i
2
i
~ (r, t ) ψ
~ ∗ (r, t ) = ψ(r ) e − h E t ψ ∗ (r ) e + h E t = ψ( r ) ψ ∗ (r ) = ψ( r )
=ψ
2
;
wir sprechen von stationären Zuständen.
3
Bemerkungen:
(i) Kompakte Schreibweise der SG unter Verwendung des Hamilton-Operators Ĥ
∂ ψ( r , t )
h2 2
ih
= Ĥ ψ( r, t ) , Ĥ := −
∇ + U ( r, t ) → Hamilton-Operator
2m
∂t
(1.2a)
Formal kann Ĥ aus der klassischen Hamilton-Funktion des physikalischen Systems
H ( p, r , t ) =
p
2
2m
+ U( r, t ) über die Ersetzung H( p, r, t ) → Ĥ( p̂, r̂, t ) unter Verwendung von
p → p̂ = − ih ∇ , r → r̂ = r gebildet werden.
(ii) Werden in der Energie-Impulsrelation des klassischen Teilchens
E=
p
2
2m
+ U ( r, t ) bzw. " Eψ =
p
2
2m
ψ + U ( r , t )ψ "
Energie und Impuls durch die Operatoren
E ↔ ih
∂
, p ↔ − ih ∇ = p̂
∂t
ergibt sich die SG
ih
∂ ψ( r , t )
h2 2
=−
∇ ψ ( r , t ) + U ( r , t )ψ ( r , t )
2m
∂t
(die damit natürlich nicht hergeleitet worden ist).
4
2.
Quanten in Kästen und Töpfen: Potenzialtopf, Potenzialstufe, Potentialschwelle
(Tunneleffekt)
2.1
Eindimensionale Bewegung eines qmT im zeitunabhängigen Potenzial U(x)
Bei eindimensionaler Bewegung im zeitunabhängigen Potenzial U(x) ist die WF
i
~ ( x, t ) = ψ( x ) e − h E t wobei ψ( x ) die Lösung der stationären SG
ψ
h 2 d 2 ψ( x )
−
+ U(x ) ψ(x ) = E ψ(x )
2m dx 2
(2.1)
und E die der WF ψ( x ) entsprechende Energie des qmT ist. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (AWD) (und die qm Erwartungswerte, s.u.) sind zeitunabhängig (stationärer
Zustand). Als WF kommen nur die normierbaren, eindeutigen, stetigen und stetig
differenzierbaren Lösungen von (2.1) in Frage.
•
Stetigkeit der WF. Beachte:
(i) Ist U(x) stetig in x = a, dann ist wegen (2.1) ψ′′
a
stetig in a. Damit sind ψ′
a
und ψ(a)
stetig differenzierbar in a.
(ii) Hat U(x) einen endlichen Sprung in x = a, sind ψ′
lim ψ (a − ε) = lim ψ(a + ε) , lim ψ′
ε →0
ε→0
ε→0
a −ε
= lim ψ′
ε→0
a +ε
a
und ψ(a) stetig und es gilt
oder kurz ψ I (a ) = ψ II (a ) , ψ′I (a ) = ψ′II (a ) .
Beweis durch Annahme des Gegenteils: Hätte ψ( x ) einen Sprung bei x = a, also
ψ( x ) ~ θ( x − a ) , folgte ψ′′(a ) ~ δ′( x − a ) . Hätte ψ′( x ) einen Sprung bei x = a, also
ψ′( x ) ~ θ( x − a ) , folgte ψ′′(a ) ~ δ( x − a ) . Beides stünde im Widerspruch zu
ψ′′( x ) = −
2m
[ E − U(x ) ] ψ( x ) , denn links hätten wir einen unendlich, rechts einen endlich
h2
großen Sprung an der Stelle x = a.
5
•
Entartung der WF
Wenn zu einem Zustand mit der Energie E mehrere WF ψi(x), i = 1, 2, …, n existieren, dann
nennt man den Zustand n-fach entartet.
Bei der eindimensionalen Bewegung eines qmT in U(x) sind alle Energieniveaus nicht
entartet.
Beweis durch Annahme des Gegenteils: Seien ψ1 und ψ2 Lösungen zwei verschiedene von
(2.1) zum selben Wert der Energie E . Dann gilt (Punkte mit ψ1/2 = 0 ausgenommen)
ψ1′′ 2m
ψ′′
= 2 ( U − E ) = 2 , also ψ1′ ψ 2 − ψ′2 ψ1 = const .
ψ1 h
ψ2
Strebt die WF am Rand des zugänglichen Raumbereichs gegen Null, folgt
ψ′1 ψ′2
=
d.h. ψ1 = C ψ 2 .
ψ1 ψ 2


 +∞

+∞
2
2
2

Da die WF normiert sein müssen, ist C = 1.
dx ψ1 ( x ) = C ∫ dx ψ 2 ( x )  .
 −∫∞

−∞
4244
3
14
4244
3
 14
1
1


•
Symmetrie/Parität der WF
Für symmetrische Potenziale U(x), U(x) = U(-x), ist mit ψ( x ) auch ψ(− x ) Lösung von (2.1)
zum Energiewert E, denn wegen der fehlenden Entartung der WF folgt
 ψ(− x )
ψ( x ) = C ψ (− x ) = C C ψ(− (− x ) ) = C 2 ψ ( x ) , also C = ± 1 und damit ψ( x ) = 
.
− ψ ( − x )
Also sind die WF bei Bewegung in U(x) = U(-x) entweder gerade oder ungerade Funktionen
von x.
•
Reellwertige WF
Da U(x) reell, sind mit ψ( x ) auch ψ ∗ ( x ) und die beiden reellen Kombinationen
ψ( x ) + ψ∗ ( x ) oder i [ψ ( x ) − ψ ∗ ( x )] Lösungen der linearen (!) stationären SG (2.1). Damit
können wir uns im vorliegenden Fall auf reelle WF beschränken.
6
FAZIT: Bei der eindimensionaler Bewegung eines qmT im Potential U(x) sind die
normierbaren (quadratisch integrablen), eindeutigen (wenigstens ψ ψ ∗ sei eindeutig), stetigen
und stetig differenzierbaren, nicht entarteten, reellen Lösungen von (2.1) physikalisch
relevant; im Fall U(x) = U(-x) sind die Wellenfunktionen entweder gerade oder ungerade.
2.2
Eindimensionale Bewegung qmT im stückweise konstanten Potenzial U(x) = U0
→ „Quanten in Kästen und Töpfen“, Approximation ortsabhängiger durch stückweise
konstante Potenziale … . Die SG lautet in diesem Fall
−
h2
ψ′′( x ) + ( U 0 − E) ψ( x ) = 0 ,
2m
hat also die Form der Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators (lineare ODE
zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten).
Wie üblich verwenden wir den Exponentialansatz ψ( x ) ~ eλ x und finden
h2 2
1
−
λ + ( U 0 − E) = 0 → λ1 / 2 = ± λ , λ =
2m ( U 0 − E ) .
2m
h
Offensichtlich sind zwei Fälle zu unterscheiden:
A:
E > U0 → klassisch erlaubter Bewegungsbereich
λ imaginär → setze λ = i k , k :=
ψ( x ) = A ei kx + B e − i kx
123 123
nach rechts
1
2m ( U 0 − E ) reell
h
de Broglie-Wellen mit p = h k = ± 2 m ( E − U 0 ) .
nach links
p2
Wie in der KM gilt
= E − U0 .
2m
Wie zu erwarten, ist die WF die eines freien qmT; lediglich E ist durch E – U0 zu ersetzen.
Merke: oszillatorisches Verhalten der WF im klassisch erlaubten Bereich.
7
B:
E < U0 → klassisch verbotener Bewegungsbereich
λ reell → ψ( x ) = A eλx + B e − λx .
Merke: Exponentielles (abklingendes) Verhalten der WF im klassisch verbotenen Bereich.
Ist der klassisch verbotene Bereich x0 < x < ∞ , folgt aus der Normierungsbedingung A = 0,
also ψ( x ) = B e − λx . Das kann zu endlichen AWD im klassisch verbotenen Bereich führen.
QmT können in diese Bereiche eindringen und u.U. Potentialbarrieren überwinden.
Fazit: Bei Bewegung in stückweise konstanten Potenzialen ist die Lösung der stationären SG
 A ei kx + B e − i kx , h k = 2 m( E − U 0 ) , ( klassisch erlaubte Bewegung )

.
ψ( x ) = 
 A eλx + B eλx , h λ = 2 m( U − E ) , ( klassisch verbotene Bewegung )
0

(2.2)
8
2.3
Eindimensionale Bewegung qmT im Potenzialtopf. Diskrete Energienieveaus.
A: Zunächst betrachten wir einen Potenzialtopf mit ∞ hohen Wänden
0 , x < a
U( x ) = U( − x ) = 
.
∞, x ≥ a
WF außerhalb des Topfes, x ≥ a :
E < U0, also ψ( x ) = A eλx + B e − λx . Da λ =
1
2m( U 0 − E ) → ∞ folgt unter
h
Berücksichtigung der Normierungsbedingung ψ( x ) = 0 , x ≥ a .
WF innerhalb des Topfes, x < a :
E > U0 = 0, also ψ( x ) = A ei kx + B e − i kx mit k =
1
2 mE .
h
Wie erwartet, sind die WF reell sowie gerade oder ungerade.
Bei x = ± a müssen die Stetigkeitsbedingungen erfüllt sein.
Gerade WF: Aus ψ(x) = ψ(-x) folgt A = B und ψ(x) = 2A cos(kx).
Stetigkeitsforderung ergibt cos(ka) = 0, also k =
nπ
, n = 1, 3, 5, ... diskret !!
2a
Ungerade WF: Aus ψ(x) = - ψ(-x) folgt A = -B und ψ(x) = - 2 i A sin(kx)
Stetigkeitsforderung ergibt sin(ka) = 0, also k =
nπ
, n = 2, 4, 6, ... diskret !!
2a
Aufgrund der diskreten Werte für k sind auch die Werte für die zu den WF gehörenden Werte
der Energie diskret, d.h. aus k → k n folgt
E → En =
h 2 k 2n h 2 π 2 n 2
=
, n = 1, 2, 3, ... , → diskretes Energiespektrum
2m
8ma 2
für die Bewegung qmT im unendlich tiefen Potenzialtopf.
9
Normierung der WF: Wegen
∞
a
∫ dx C cos k x
1=
C cos k n x =: I = C
n
2
−∞
∫ dx cos
a
2
knx = C
−a
a
2
1
∫ k d(sin k x )cos k x =
n
−a
a
n
n
a
C2
C2
sin k n x cos k n x −
dx sin k n x (− k n sin k n x )dx = C 2 ∫ dx sin 2 k n x =
∫
kn
kn − a
−a
−a
144424443
0
∫ dx (1 − cos
a
C
2
2
k n x ) also 2 I = 2 = C
−a
a
2
∫ dx = C 2a
2
bzw. C =
−a
1
a
finden wir für die geraden WF den Normierungsfaktor C = 1 / a ; das gleiche Resultat ergibt
sich für die ungeraden WF.
Fazit: Im unendlich tiefen Potenzialtopf gilt
(i)
Das Energiespektrum E n =
h 2 π2 n 2
, n = 1, 2, 3, ...
8ma 2
→ ist diskret
→ der Abstand zwischen benachbarten Energieniveaus wächst proportional zu n
→ je breiter der Topf, desto enger liegen benachbarte Energieniveaus beieinander
(ii)
 1

 nπx 
cos
 , n = 1,3,5,... 

 2a 
 a


 für x < a


Die Wellenfunktionen ψ n ( x ) =  1
 nπx 
sin
, n = 2,4,6,... 

 a  2a 




0 , für x ≥ a
→ sind reell, gerade oder ungerade und besitzen n -1 Knoten.
(iii)
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte





*
ψn (x) ψ n (x) = 





1
 nπ x 
cos 2 
 , n = 1, 3, 5, ... 
a
 2a 

 für x < a

1 2  nπ x 
sin 
 , n = 2, 4, 6, ... 
a
 2a 

0 , für x ≥ a _____________________
→ hat n Maxima innerhalb |x| < a.
10
Beispiele:
■
E1 =
n = 1 → Grundzustand
h 2π2
1
1
 πx 
 πx 
≠ 0 (!) ; ψ1 ( x ) =
cos  → kein Knoten) ; ψ12 ( x ) = cos 2  
2
8ma
a
a
 2a 
 2a 
→ maximal im Zentrum x = 0 des Potenzialtopfes
■
E2 =
n = 2 → erster angeregter Zustand
h 2π2
1
1
 πx 
 πx 
; ψ 2 (x) =
sin  → ein Knoten) ; ψ 22 ( x ) = sin 2   → Maxima der
2
2ma
a
a  a 
 a 
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte bei x = ±
a
2
11
B:
 0, x < a
Endlich tiefer Potenzialtopf U( x ) = 
.
U 0 , x ≥ a
Analoge Rechnungen im Fall des endlich tiefen Potenzialtopfes (→ Übungsblatt) führen auf
die gleichen Schlussfolgerungen (i) – (iii) oben mit modifizierten Ergebnissen für En und
ψn(x); im Grenzfall U0 → ∞ ergeben sich die hier diskutierten Ausdrücke (einschließlich der
Rechtfertigung der Randbedingung ψ(± a ) = 0 .
12
Einfache Abschätzungen:
■
Proton im Atomkern: mp ~ 91,7 10-27 kg, a ~ 2 10-15 m
Wir finden E2 – E1 ~ 5 10-12 J ~ 30 MeV.
■
Elektron im Potenzialtopf atomarer Abmessungen: me ~ 9,1 10-31 kg, a ~ 10-10 m
Es ergibt sich En ~ 1,5 10-18 n2 J. Die Energiedifferenz zwischen Grundzustand und erstem
angeregten Zustand ist E2 – E1 ~ 4,5 10-18 J ~ 28 eV.
Die Wellenlänge eines beim Übergang E2 – E1 emittierten Photons betrüge λ ~ 4,4 10-7 m, das
ist die richtige Größenordnung vieler atomarer Übergänge.
■
Salzkorn: m ~ 10-10 kg, a ~ 10-6 m
En ~ 1,4 10-46 n2 J (!). Zum Vergleich die mittlere thermische Energie pro Freiheitsgrad bei
1 K (also nur Grad über dem absoluten Nullpunkt der Temperatur) ist kT ~ 10-23 J, das
entspräche n ~ 3 1011 und einem Abstand zwischen benachbarten Niveaus von ~ 8 10-35 J.
Diese feine Energiequantelung ist experimentell nicht auflösbar …
13