Quantenfeldtheorie II - Friedrich-Schiller
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Quantenfeldtheorie II Wintersemester 2014/15, Friedrich-Schiller Universität Jena Übungsblatt 1 Aufgabe 1: Spinor Darstellung der Lorentz algebra Zeigen Sie, dass J µν = i µ ν [γ , γ ] 4 (1) eine Darstellung der Lorentz algebra [J µν , J ρσ ] = i (η µρ J νσ − η νρ J µσ + η νσ J µρ − η µσ J νρ ) (2) formen, sofern die Dirac Matrizen γ µ die Clifford algebra erfüllen. Aufgabe 2: Chirale Basis versus Majorana Basis Im Folgenden betrachten wir für die Dirac Matrizen die bereits in der Vorlesung eingeführte chirale Basis 0 σµ µ γ = (3) σ̄ µ 0 wobei σ µ = (−1, ~σ ), σ̄ µ = (−1, −~σ ) und ~σ ein Vektor bestehend aus den üblichen Pauli Spin Matrizen ist, sowie die Majorana Basis 0 σ2 iσ3 0 γ0 = , (4) γ1 = σ2 0 0 iσ3 0 −σ2 −iσ1 0 γ2 = . (5) γ3 = σ2 0 0 −iσ1 (i) Zeigen Sie, dass beide Basen die Clifford Algebra erfüllen. (ii) Berechnen Sie in beiden Fällen γ5 . (iii) Die Matrix C ist wie folgt definiert C † γ µ C = − (γ µ ) , ⋆ C †C = 1 . (6) C wird auch als Ladungskonjugation bezeichnet. Zeigen Sie, dass im Fall der chiralen Basis C = iγ 2 die obigen Bedingungen erfüllt, während in der Majorana Basis man C = 1 setzen kann. (iv) Sogenannte Majorana Spinoren1 sind durch die Bedingung ψ (c) = ψ gegeben, wobei ψ (c) der Ladungskonjugierte Spinor ψ (c) = Cψ ⋆ ist. Zeigen Sie, dass in der Majorana Basis der Majorana Spinor reell ist. Wie sieht der Majorana Spinor in der chiralen Basis aus? 1 Bitte halten Sie Majorana Spinoren und Majorana Basis auseinander. Majorana Spinoren können für alle Basen von Dirac Matrizen in 4 dimensionalem Minkowski Raum definiert werden. In der Majorana Basis nehmen diese Spinoren lediglich eine einfache Form an. 1
