Exercise 4 - Goethe

Goethe-Universität Frankfurt
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Roser Valentı́
Dr. Harald O. Jeschke
Frankfurt, 5. November 2013
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik V – Thermodynamik und Statistische Mechanik
Wintersemester 2013/14
Blatt 4
(Abgabetermin: Montag, 11. 11. 2013)
Name(n), Übungsgruppe
Verwendete
Hilfsmittel
Aufgabe 9 (Entropie) (10 Punkte)
Wir betrachten ein System, dessen Entropie durch
3
3
3
S(U, V , N) = NkB ln V + NkB ln U − NkB ln NkB
2
2
2
(1)
gegeben ist.
(a) Schreiben Sie die innere Energie U und den Druck P als Funktion von Volumen V ,
Temperatur T und Teilchenzahl N.
(b) Dem System wird Wärme zugeführt, wobei der Zustand des Systems auf zwei verschiedene
Arten geändert wird:
(i) Der Druck wird bei konstantem Volumen V1 von P1 auf P2 erhöht. Danach wird das
Volumen bei konstantem Druck P2 von V1 nach V2 vergrößert.
(ii) Der Druck wird bei einem konstanten Verhältnis X = P/V von (P1 , V1 ) nach (P2 , V2 )
geändert.
Berechnen Sie die Wärme, die bei diesen zwei Prozessen zugeführt werden muss. Die
Teilchenzahl N wird bei beiden Prozessen konstant gehalten.
(c) Zwei unterscheidbare Gase A und B haben die gleiche Temperatur T und dieselbe Anzahl
von Teilchen N. Sie befinden sich in thermisch isolierenden Behältern und sind durch eine
Wand voneinander getrennt. Das Volumen von Gas A sei VA , das von Gas B VB . Nach
Entfernen der Wand werden die Gase in einem Volumen VC = VA +VB zusammengeführt.
Zeigen Sie, dass die Entropie SC größer ist als die Summe der Entropien SA + SB der zwei
Gase A und B. Verwenden Sie Gleichung (1) für die Entropie der zwei Gase.
Aufgabe 10 (Extrema unter Nebenbedingungen) (4 Punkte)
Maximieren Sie das Volumen eines Quaders, der gerade in das Innere eines durch
x2 y2 z2
+
+
=1
a2 b2 c2
gegebenen Ellipsoids passt und zeigen Sie,
√ daß das Verhältnis des maximalen Volumen des
Quaders zum Volumen des Ellipsoids 2/ 3π ≈ 0.368 ist.
Hinweis: Extrema unter Nebenbedingungen kann man mithilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren finden. Um ein Maximum oder Minimum der Funktion f(x, y, z) unter
der Bedingung Φ(x, y, z) = const zu bestimmen, betrachtet man die Funktion
F = f + λΦ
(mit Lagrangeschem Multiplikator λ) und setzt die drei partiellen Ableitungen von F nach x,
y, z gleich Null. Diese drei Gleichungen sowie Φ(x, y, z) = const werden dann nach x, y, z
und λ aufgelöst.
Aufgabe 11 (Legendretransformation) (6 Punkte)
Die Entropie des idealen Gases kann als Funktion der unabhängigen Variablen innere Energie
U, Teilchenzahl N und Volumen V als
N 5/2 U 3/2 V 0
S(N, V , U) = NkB s0 (N0 , V0 , U0 ) + ln
N
U0
V0
geschrieben werden.
(a) Bestimmen Sie die Helmholtzsche freie Energie F = F(T , V , N), indem Sie die Legendretransformation
F = U − TS
explizit durchführen.
(b) Bestimmen Sie aus der Helmholtzschen freien Energie die Zustandsgleichungen
∂F S(T , V , N) = −
∂T N,V
∂F µ(T , V , N) =
∂N T ,V
∂F P(T , V , N) = −
.
∂V T ,N