Aufgabe 4 (Gedämpfte Schwingung) Lösung zu

Physik 1, WS 2015/16
— Musterlösung —
12. Aufgabenblatt (KW 3)
Aufgabe 4 (Gedämpfte Schwingung)
Die Amplitude eines Federschwingers (Masse m = 10 kg, Federkonstante k) ist nach
N = 10 Schwingungen innerhalb von ∆t = 8 s von x0 = 10 cm auf die Hälfte abgeklungen. Stellen Sie die Differentialgleichung der Schwingung unter Annahme einer
geschwindigkeitsproportional angenommenen Reibungskraft (FR = −bẋ) auf. Gehen
Sie nachfolgend von der (nicht komplexen) Lösung x(t) = x0 exp(−γt) cos(ωt) aus.
(a) Berechnen Sie die Federkonstante k und die Abklingkonstante Γ = 2γ =
b
!
m
(b) Nach welcher Zeit t1 ist die Schwingungsenergie auf die Hälfte abgeklungen?
(c) Überprüfen Sie das Ergebnis von (b) durch Berechnen der mechanischen Energie
zum Zeitpunkt t1 !
Lösung zu Aufgabe 4
Die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung lautet
b
,
ẍ(t) + Γẋ(t) + ω0 x(t) = 0 mit Γ =
m
r
ω0 =
k
.
m
(a) Für die maximale Amplitude xm der Schwingung gilt xm (t) = x0 exp(−γt). Da
die maximale Amplitude nach der Zeit ∆t auf die Hälfte abgeklungen ist, gilt
xm (0 + ∆t) = 12 xm (0)
x0 exp(−γ∆t) = 12 x0 exp(0)
⇐⇒
x0 6=0
exp(−γ∆t) = 12
⇐⇒ −γ∆t = ln 12
ln 2
⇐⇒ γ =
= 0.087 s−1 .
∆t
⇐⇒
Die Abklingkonstante beträgt somit Γ = 2γ = 0.173 s−1 .
Während der Zeitdauer ∆t werden N volle Schwingungsperioden ausgeführt, somit
betragen Schwingungsdauer T und Kreisfrequenz ω der gedämpften Schwingung
T =
∆t
8s
=
= 0.8 s ,
N
10
ω=
2π
2π
=
= 2.5π s−1 .
T
0.8 s
Die ungedämpfte Kreisfrequenz ω0 lautet ω02 = ω 2 + γ 2 , so dass für die gesuchte
Federkonstante der Wert
h
2
2 i
k = mω02 = m(ω 2 + γ 2 ) = 10 kg · 2.5π s−1 + 0.087 s−1
= 617 kg s−2
herauskommt.
Jens Patommel <[email protected]>
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(b) Nun soll die Halbwertzeit der in der Schwingung gespeicherten mechanischen
Energie bestimmt werden. Dazu berechnen wir die zum Zeitpunkt t vorhandene
potenzielle und kinetische Energie. Für die potenzielle Energie benötigen wir die
Auslenkung x(t) der Feder, für die kinetische Energie muss man die Geschwindigkeit
v(t) = ẋ(t) der schwingenden Masse kennen:
x(t) = x0 exp(−γt) cos(ωt) ,
v(t) = x0 exp(−γt) γ cos(ωt) − ω sin(ωt) .
Damit ergeben sich die Energieanteile und die Gesamtenergie zu
Epot (t) = 12 kx20 exp(−2γt) cos2 (ωt) ,
2
Ekin (t) = 21 mx20 exp(−2γt) γ cos(ωt) − ω sin(ωt) ,
2 .
Eges (t) = 21 x20 exp(−2γt) k cos2 (ωt) + m γ cos(ωt) − ω sin(ωt)
Epot
Ekin
Eges
0
2
4
6
8
t/s
Die Abbildung zeigt die potenzielle und die kinetische Energie sowie deren Summe
in Abhängigkeit der Zeit. Wie man sieht, ist der Verlauf der mechanischen Gesamtenergie eine exponentiell abfallende Kurve mit einer überlagerten Undulation. Dies
ist natürlich zu erwarten, denn die Abnahme der mechanischen Gesamtenergie ist
immer dann am stärksten, wenn die Reibung am größten ist, also immer dann, wenn
die Geschwindigkeit maximal ist. Zu den Zeitpunkten, an denen die Geschwindigkeit
gleich Null ist (an den Umkehrpunkten), gibt es gar keine Reibung und folglich bleibt
dort die mechanische Gesamtenergie konstant, die schwarze Kurve verläuft dort also
horizontal.
Jens Patommel <[email protected]>
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Wir wollen im Folgenden die überlagerte Undulation vernachlässigen und betrachten
folgende Näherung, die in der Abbildung als grüne Kurve dargestellt ist:
Eges (t) ≈ Ẽges (t) = 12 kx20 exp(−2γt) ,
Epot
Ekin
Eges, exakt
Eges, genŠhert
0
1
2
3
4
t/s
Wir suchen nun also die Zeitdauer tH , nach der die mechanische Gesamtenergie auf
die Hälfte abgefallen ist, d. h.
=⇒
Ẽges (0 + tH ) = 12 Ẽges (0)
1
kx20 exp(−2γtH ) = 14 kx20
2
⇐⇒ −2γtH = ln 12
ln 2
⇐⇒ tH =
= 12 ∆t = 4 s .
2γ
(c) Das Ergebnis aus (b) wird jetzt durch explizites Nachrechnen überprüft. Hierzu
setzt man tH in Eges ein und beachtet, dass wegen tH = 12 ∆t die Beziehung ωtH = 10π
gilt (5 volle Schwingungsperioden in 4 s):
2 Eges (tH ) = 12 x20 exp(−2γtH ) k cos2 (ωtH ) + m γ cos(ωtH ) − ω sin(ωtH )
= 21 x20 exp(−2γtH ) k + mγ 2
= 21 x20 exp(− ln 2) k + mγ 2
= 21 · 12 x20 k + mγ 2 = 12 Eges (0) .
Trotz der Näherung Eges (t) ≈ Ẽges (t) haben wir tH exakt bestimmt, was daran liegt,
dass ∆t ein ganzzahliges Vielfaches einer vollen Schwingungsperiode T ist.
Jens Patommel <[email protected]>
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