1 Vollständige Induktion

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1 Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist eine machtvolle Methode, um Aussagen zu beweisen, die
für alle natürlichen Zahlen gelten sollen. Sei A(n) so eine Aussage, die zu beweisen ist. Bei
der vollständigen Induktion wird nun die Aussage für n = 1 (manchmal auch für andere
n, je nach Aussage) überprüft Ô Induktionsanfang. Dann wird davon ausgegangen, dass
die Aussage für ein beliebiges n ∈ N richtig ist Ô Induktionsannahme. Meistens wird auch
gleich angenommen, dass die Aussage für alle m ∈ N mit m ≤ n richtig ist, um mehr
Möglichkeiten in der Beweisführung zu haben. Die eigentliche Arbeit steckt im letzten
Teil: aus der Richtigkeit für n soll die Richtigkeit der Aussage für n + 1 gefolgert werden
Ô Induktionsschritt. Gelingt dies, ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen gezeigt.
Bemerkung 1.1
ˆ Eine häufige Fehlerquelle bei der vollständigen Induktion liegt bei der korrekten
Anwendung des Induktionsschritts. Obwohl von der Korrektheit für n auf die Korrektheit der Aussage für n + 1 geschlossen werden soll, ist der Ausgangspunkt der
Beweisführung stets die allgemeine Aussage für n + 1, die durch geschicktes Umformen mit der Aussage für n kombiniert wird.
ˆ Im Induktionsanfang wird die Aussage immer für die kleinste Zahl überprüft, für
die man die Aussage geltend machen will, im Normalfall ist dies n = 0 oder n = 1.
ˆ Will man sich im Induktionsschritt immer auf beide vorangegangenen Aussagen für
n − 1 und n berufen, dann müssen beim Indukationsanfang auch die Aussagen für
die ersten beiden Zahlen überprüft werden.
Beispiel 1.2
Eine Formel für die Summe der ungeraden Zahlen:
n
X
(2i − 1) = n2
i=1
P1
2
Induktionsanfang: n = 1 :
i=1 (2i − 1) = 1 = 1 X
Induktionsannahme: Aussage gilt für beliebiges k ∈ N
Induktionsschritt: Für n = k + 1 gilt:
Pk+1
Pk
(IA) 2
2
i=1 (2i − 1) =
i=1 (2i − 1) + (2k + 1) = k + 2k + 1 = (k + 1) X
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2 Relationen und Funktionen
2.1 Relationen
Definition 2.1
Sei k ∈ N mit k ≥ 2. Eine k-stellige Relation über den Mengen A1 , . . . , Ak ist eine
Teilmenge R ⊆ A1 × · · · × Ak . Eine zweistellige Relation nennt man auch binäre Relation.
Eine binäre Relation R ⊆ M × M heißt
ˆ reflexiv, wenn für alle a ∈ M gilt: (a, a) ∈ R,
ˆ irreflexiv, wenn für alle a ∈ M gilt: (a, a) 6∈ R,
ˆ symmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R, dann (b, a) ∈ R,
ˆ asymmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R, dann (b, a) 6∈ R,
ˆ antisymmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R und (b, a) ∈ R, dann
a = b,
ˆ transitiv, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R, dann
(a, c) ∈ R.
Abkürzung: a ∼R b
Definition 2.2
Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, nennt man partielle Ordnung. Eine Relation, die irreflexiv und symmetrisch ist, nennt man Graph. Eine Relation,
die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man Äquivalenzrelation.Die Menge aller
Elemente aus M , die zu a äquivalent sind heißt Äquivalenzklasse von a und wird mit
[a]R := {b ∈ M : aRb}
bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge und wird mit
M/ ∼R := {[a]R : a ∈ M }
bezeichnet.
Proposition 2.3
Sei R eine Äquivalenzrelation über der Menge M . Dann bilden die Äquivalenzklassen eine
Partition von M . Genauer:
Für zwei beliebige Elemente a, b ∈ M gilt: [a]R ∩ [b]R 6= ∅
⇔
[a]R = [b]R
⇔
(a,b) ∈ R
Beispiel 2.4
Sei M = Z und eine Relation R gegeben durch aRb ⇔ |a| = |b| für a, b ∈ Z.
Dann ist R reflexiv, symmetrisch und transitiv, also Äquivalenzrelation. Es gilt: [a]R =
{a, −a} für ein a ∈ Z und Z/ ∼R = {[0]R , [1]R , [2]R , [3]R , [4]R , . . .}
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2.2 Funktionen
Definition 2.5
Sei f ⊆ A × B eine binäre Relation mit der Eigenschaft, dass jedem Element a ∈ A durch
f genau ein Element b ∈ B zugeordnet wird, d.h. dass
∀a ∈ A :
|{b ∈ B : (a, b) ∈ f }| = 1
gilt. In diesem Fall nennt man f eine Abbildung oder Funktion.
Eine Funktion f : A → B heißt
ˆ injektiv, wenn für alle b ∈ B gilt: |f −1 (b)| ≤ 1,
ˆ surjektiv, wenn für alle b ∈ B gilt: |f −1 (b)| ≥ 1,
ˆ bijektiv, wenn für alle b ∈ B gilt: |f −1 (b)| = 1.
Für jedes a ∈ A ist das eindeutige Element f (a) := b ∈ B mit (a, b) ∈ f das Bild von a
unter f . Das Urbild von b ∈ B ist definiert als f − 1(b) := {a ∈ A : f (a) = b} ⊆ A und
muss nicht notwendigerweise aus genau einem Element bestehen (kann übrigens auch leer
sein). Analog: Bild und Urbild einer Menge.
Proposition 2.6
Es seien A und B nichtleere, endliche Mengen und f : A → B eine Funktion. Dann gilt:
(i) Wenn f bijektiv, dann |A| = |B|.
(ii) Wenn |A| = |B|, dann gilt:
f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv.
Beispiel 2.7
Sei die Funktion f : D → B gegeben durch f : x 7→ |x|. Dann ist
f : Z → N surjektiv, aber nicht injektiv,
f : N\{0} → N injektiv, aber nicht surjektiv,
f : N → N injektiv und surjektiv, also bijektiv.
2.3 Partielle Ordnungen
Definition 2.8
Sei R = (M, ) eine partielle Ordnung.
(i) Zwei Elemente a, b ∈ M heißen vergleichbar, wenn a b oder b a.
(ii) Wenn a und b nicht vergleichbar sind, heißen sie unvergleichbar.
(iii) R heißt vollständig oder linear, wenn alle a, b ∈ M vergleichbar sind.
(iv) R0 = (M, 0 ) heißt lineare Erweiterung von R = (M, ), wenn R ⊆ R0 und R0 linear
ist.
(v) Das Element a wird von b überdeckt, wenn a b und es kein c ∈ M mit c 6= a, b
gibt, so dass a c und c b.
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(vi) Das Hasse-Diagramm von R ist ein Diagramm des Graphen
M, {{a, b} : a wird von b überdeckt } ,
bei dem für jedes Paar a b der Knoten a unterhalb des Knoten b gezeichnet wird.
(vii) Eine Kette in R ist eine Menge K ⊆ M mit der Eigenschaft, dass alle a, b ∈ K
vergleichbar sind. Eine Antikette in R ist eine Menge L ⊆ M mit der Eigenschaft,
dass alle a, b ∈ L mit a 6= b unvergleichbar sind.
(viii) Ein Element a ∈ M heißt größtes Element, wenn es kein b ∈ M mit b 6= a und a b
gibt. Ein Element a ∈ M heißt kleinstes Element, wenn es kein b ∈ M mit b 6= a
und b a gibt.
Satz 2.9
Es sei M eine endliche, nichtleere Menge und R = (M, ) eine partielle Ordnung. Dann
gilt:
(i) Die maximale Anzahl von Elementen in einer Antikette von R ist gleich der minimalen Anzahl von Ketten aus R, mit denen man M partitionieren kann.
(ii) Die minimale Anzahl von Antiketten aus R, mit denen man M partitionieren kann,
ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen in einer Kette von R.
Beispiel 2.10
Sei M = {{1}, {2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} und die Relation R gegeben durch R = (M, ⊆).
Dann gilt:
R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch, also R partielle Ordnung. Aber R nicht linear,
da zum Beispiel {1} * {2, 3} und {2, 3} * {1}.
Betrachte nun die Relation R0 = (M, ) mit A B ⇔ |A| ≤ |B|. Dann gilt:
R0 reflexiv, transistiv und antisymmetrisch. Außerdem ist R0 linear und es gilt R ⊆ R0 .
Damit ist R0 eine lineare Erweiterung von R.
Beispiel 2.11
Sei M = {2, 4, 5, 15, 20, 30, 60} und (a, b) ∈ R ⇔ a T eiler von b. R = (M, ) ist partielle
Ordnung. Es gilt:
2 und 30 vergleichbar, aber 2 und 15 unvergleichbar. Also R nicht linear. 2 wird von 30
überdeckt, denn @ a ∈ M : 2 a und a 30. 2 und 5 sind kleinste Elemente, 60 einziges
größtes Element.
Hasse-Diagramm:
Kette in R: {5, 15, 30, 60}. Antikette in R: {20, 30}
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3 Erzeugende Funktionen
Definition 3.1
Es
reellen Zahlen. Dann heißt
P sei (ann)n∈N = a0 , a1 , a2 , . . . eine unendlichePFolge von
n
n≥0 an x , formale Potenzreihe. Mit A(x) :=
n≥0 an x wird der Grenzwert der Reihe bezeichnet, unter der Voraussetzung, dass dieser existiert.
Definition
P 3.2 n
P
Es seien n≥0 an x und n≥0 bn xn zwei formale Potenzreihen.
P
P
(i) P
Die Summe von n≥0 an xn und n≥0 bn xn ist definiert als die formale Potenzreihe
n
n≥0 cn x mit cc := an + bn für alle n ∈ No
P
P
(ii) Das Produkt zweier formaler Potenzreihen n≥0 an xn und n≥0 bn xn ist definiert
durch
n
X
X
n
C(x) := A(x) · B(x) :=
cn x
mit
cn =
ak bn−k .
n≥0
k=0
P
P
n
n
(iii) Die Potenzreihe
n≥0 bn x heißt inverse Potenzreihe von
n≥0 an x , wenn für ihr
P
n
Produkt n≥0 cn x (das wie in (ii) definiert ist) gilt: c0 = 1 und cn = 0 für alle
n ∈ N.
P
(iv) Die Ableitung von n≥0 an xn ist definiert als die formale Potentreihe
X
X
nan xn−1 =
(n + 1)an+1 xn .
n≥0
n≥0
Betrachtet man formale Potenzreihen als Funktionen, dann leisten die obigen Operationen
das, was ihre Namen suggerieren.
Satz 3.3
P
P
Es seien A(x) = n≥0 an xn und B(x) = n≥0 bn xn für x ∈ R konvergent.
P
(i) Wenn C(x) = n≥0 cn xn mit cn = an + bn ist, dann gilt C(x) = A(x) + B(x).
P
P
(ii) Wenn C(x) = n≥0 cn xn mit cn = nk=0 ak bn−k ist, dann gilt C(x) = A(x) · B(x).
(iii) Wenn A(x) inPx differenzierbar ist und wir die Ableitung mit A0 (x) bezeichnen, dann
gilt A0 (x) = n≥0 (n + 1)an+1 xn .
Satz
P 3.4 n
P
inverse Potenzreihe n≥0 bn xn , wenn a0 6= 0 ist. In diesem
n≥0 an x hat genau dann eineP
∀n ∈ N.
Fall gilt b0 = a10 und bn = − a10 nk=1 ak bn−k
Satz 3.5
Taylor Sei A : R → R eine Funktion, die in 0 unendlich oft differenzierbar ist, und
bezeichne mit A(k) (x) die k-te Ableitung an der Stelle x. Dann gilt:
A(x) =
X A(n) (0)
n≥0
vorausgesetzt, die Summe konvergiert.
n!
xn ,
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Wichtige Formeln von Potenreihen:
P
1
i i
(i)
i≥0 γ x = 1−γx für γx < 1
i
P
i+k
1
x = (1−x)
(ii)
k+1
i≥0
k
(iii)
k
i≥0 i
P
i
x = (1 + x)k
Verfahren für das Aufstellen von erzeugenden Funktionen:
Gesucht: explizite Formel für (an )P
n∈N0 aus rekursiver Vorschrift.
i
1) Potenreihe aufstellen: F (x) = ∞
i=0 ai x
2) Anfangswerte und Rekursionsformel in Potenzreihe einsetzen
3) Auftretende ai -Terme durch F (x) ersetzen
4) Explizite Formel für F (x) aufstellen (rational gebrochene Funktion)
5) Mittels Partialbruchzerlegung in Potenzreihe umformen
6) Koeffizientenvergleich ergibt explizite Formel.
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4 Zählen
4.1 Summen- und Produktregel, Inklusion - Exklusion
Summenregel:
P
˙ k , dann |M | = |M1 | + . . . + |Mk | = ki=1 |Mi |.
wenn M = M1 ∪˙ . . . ∪M
Produktregel:
Q
wenn M = M1 × · · · × Mk , dann |M | = |M1 | · . . . · |Mk | = ki=1 |Mi |.
Bei der Summenregel waren disjunkte Mengen vorausgesetzt. Ist dies nicht gegeben, muss
anders gerechnet werden:
Proposition 4.1
Für endliche Mengen M1 , . . . , Mn gilt:
|
n
[
Mi | =
i=1
n
X
X
r−1
(−1)
r=1
|
r
\
Mij |.
1≤i1 <···<ir ≤n j=1
Beispiel 4.2
Für den Fall n = 3 ergibt diese Formel:
|M1 ∪ M2 ∪ M3 | = |M1 | + |M2 | + |M3 | − |M1 ∩ M2 | − |M1 ∩ M3 | − |M2 ∩ M3 | + |M1 ∩ M2 ∩ M3 |
Zählen durch Bijektion:
Wenn A undB zwei endliche Mengen, und wenn f : A → B eine Bijektion ist, dann
|A| = |B|.
Doppeltes Abzählen:
Es sei R ⊆ A × B eine binäre Relation. Dann gilt
X
X
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}|
a∈A
b∈B
4.2 Teilmengen zählen
Aus einer Menge M = {m1 , . . . , mn } sollen k Elemente c1 , . . . , ck ausgewählt werden. X
bezeichne dabei die Menge an möglichen Kombinationen. Dann sind vier verschiedene
Fälle zu unterscheiden:
Proposition 4.3
Die Anzahl der Möglichkeiten ist gegeben durch:
mit Zurücklegen
ohne Zurücklegen
geordnet ungeordnet
M = n+k−1
nk
k
k
n
nk
k
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Proposition 4.4
Es seien
x, yn ∈
R und m, n, k ∈ N0 mit k ≤ n und k ≤ m. Dann gilt:
n
a) k = n−k ,
b) n−1
+ n−1
= nk für n, k ≥ 1,
k−1 P
k n
, c) 2n = ni=0
i
P
n
m
n+m
,
d) k = i=0 ni k−i
Pn n i n−i
n
e) (x + y) = P i=0 i x y ,
f) (x + y)n = ni=0 ni xi y n−i ,
g) xn+k = xn (x − n)k ,
4.3 Partitionen zählen
Definition 4.5
Es seien k, n ∈ N0 und M Menge mit |M | = n. Eine k-Partition der Menge M ist eine
˙ k . Die Anzahl von
Zerlegung von M in k disjunkte, nichtleere Mengen: M = M1 ∪˙ . . . ∪M
k-Partitionen einer n-elementigen Menge wird mit Sn,k bezeichnet. Man setzt S0,0 = 1.
Proposition 4.6
Es seien k, n ∈ N0 .
a) Für k > n gilt: Sn,k = 0.
b) Für n ≥ 1 gilt: Sn,0 = 0.
c) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: Sn,k = Sn−1,k−1 + k · Sn−1,k .
Satz 4.7
Für 1 ≤ k ≤ n gilt:
Sn,k =
k
X
(k − r)n
.
(−1)r
r!(k
−
r)!
r=0
Beispiel 4.8
˙
˙
Sei M = {1, 2, 3}. Dann ist offensichtlich S3,2 = 3: M = {1, 2}∪{3}
= {1, 3}∪{2}
=
˙
{2, 3}∪{1}.
Definition 4.9
Es seien k, n ∈ N0 . Eine k-Partition der Zahl n ist eine Zerlegung von n in k Summanden:
n = n1 + · · · + nk mit ni ∈ N für alle i ∈ [k]. Bei einer geordneten Partition kommt es
auf die Reihenfolge der Summanden an, bei einer ungeordneten nicht. Die Anzahl von
ungeordneten k-Partitionen der Zahl n wird mit Pn,k bezeichnet, man setzt P0,0 := 1.
Proposition 4.10
Es seien k, n ∈ N0 .
a) Für k > n gilt: Pn,k = 0.
b) Für n ≥ 1 gilt: Pn,0 = 0.
P
c) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: Pn+k,k = k−1
i=0 Pn,k−i
.
d) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: Es gibt genau n−1
geordnete k-Partitionen der Zahl n.
k−1
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Beispiel 4.11
n = 5 und k = 3. Dann gibt es zwei ungeordnete 3-Partitionen von 5, nämlich 5 =
1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1, also P5,3 = 2. Es gibt sechs geordnete 3-Partitionen von 5.
Proposition 4.12
n Bälle werden in k Körbe geworfen. Dann gibt es folgende Verteilungsmöglichkeiten:
beliebig
inj.
surj.
bij.
kn
kn
k
k!Sn,k
n−1
n!
n
k−1
1
a) Bälle unterscheidbar, Körbe unterscheidbar
b) Bälle nicht unterscheidbar, Körbe unterscheidbar
n+k−1
n
c) Bälle unterscheidbar, Körbe nicht unterscheidbar
Pk
Sn,i
1
Sn,k
1
d) Bälle nicht unterscheidbar, Körbe nicht unterscheidbar
Pk
Pn,i
1
Pn,k
1
i=1
i=1
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5 Graphentheorie
5.1 Grundbegriffe und planare Graphen
Definition 5.1
Ein Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E ⊆
V
2
.
ˆ Nachbarschaft eines Knotens: N (v) := {w ∈ V : {v, w} ∈ E}. Die Anzahl der
Nachbarn von x heißt der Grad von x und wird mit deg(x) := |N (x)| notiert.
ˆ Minimalgrad δ(G) ist der kleinste in G auftretende Grad, der Maximalgrad ∆(G)
der größte.
ˆ Zwei Graphen G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) heißen isomorph (G1 ∼
= G2 ), falls
es eine Bijektion f : V1 → V2 gibt, so dass für alle Knoten u, v ∈ V1 gilt: {u, v} ∈
E1 ⇔ {f (u), f (v)} ∈ E2 . Die Funktion f nennt man in diesem Fall einen (Graphen-)
Isomorphismus.
ˆ Ein Graph H = (W, F ) ist ein Subgraph von G = (V, E), wenn
W ⊆ V und F ⊆ E.
H ist ein induzierter Subgraph, wenn W ⊆ V und F = E∩ W2 . Schreibe: H = G [W ].
ˆ Ein x, y-Pfad W in G ist eine Folge (v0 , v1 , . . . , v` ) von Knoten mit x = v0 , y = v`
und der Eigenschaft, dass {vi−1 , vi } ∈ E für alle i = 1, . . . , `. Sind die Knoten eines
Weges paarweise verschieden, spricht man von einem x, y-Weg. Gilt außerdem, dass
` ≥ 2 und auch die Kante {v` , v0 } existiert, dann heißt W Kreis in G. Die Länge
eines Weges, Kreises oder Pfades, ist definiert als die Anzahl der beteiligten Kanten.
ˆ G = (V, E) heißt zusammenhängend, wenn zu je zwei v, w ∈ V ein v, w-Pfad existiert. Die inklusionsmaximalen zusammenhängenden Subgraphen werden als Zusammenhangskomponenten bezeichnet.
ˆ Ein Baum ist ein kreisfreier und zusammenhängender Baum.
ˆ Spezielle Graphen:
Pn := ({0, . . . , n} , E) mit E := {{i − 1, 1} : i ∈ [n]} , für n ≥ 0,
Cn := ([n] , E) mit E := {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} , für n ≥ 3,
Kn := ([n] , [n]
) und
2
En := ([n] , ∅) für n ≥ 1.
Satz 5.2
SeiP
G = (V, E) ein Graph. Dann gilt:
a) v∈V deg(v) = 2 |E| .
b) G hat eine gerade Anzahl von Knoten ungeraden Grades.
c) Wenn |V | ≥ 2, dann hat G mindestens zwei Knoten gleichen Grades.
Satz 5.3
Für einen Graphen G = (V, E) mit n = |V | und m = |E| sind äquivalent:
a) G ist ein Baum,
b) G ist zusammenhängend und m = n − 1,
c) G ist Kanten-maximal kreisfrei,
d) G ist Kanten-minimal zusammenhängend,
e) für je zwei Knoten x, y aus V gibt es genau einen x, y-Weg in G.
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Definition 5.4
G = (V, E) heißt planar, wenn er sich so in die Ebene zeichnen lässt, dass sich seine
Kanten nur in den Knoten berühren. G = (V, E, R), R bezeichnet die Gebiete von G.
Satz 5.5
Euler Sei G = (V, E, R) ein ebener zusammenhängender Graph. Dann gilt:
|V | − |E| + |R| = 2
Folgerung.Sei G = (V, E, R) ein ebener, zusammenhängender Graph mit |V | ≥ 4. Dann
gilt
a) |E| ≤ 3 |V | − 6.
b) G hat mindestens einen Knoten vom Grad kleiner gleich 5.
5.2 Cliquen und stabile Mengen
Definition 5.6
Ein induzierter Subgraph H = (VH , EH ) von G = (V, E) heißt Clique, falls für alle
v, w ∈ VH gilt: {v, w} ∈ EH . Die Cliquenzahl eines Graphen G ist definiert als:
ω(G) := max{k ∈ N : G enthält eine k-Clique als induzierten Subgraphen}
H = (VH , EH ) heißt stabile Menge, falls für alle v, w ∈ VH gilt: {v, w} ∈
/ EH . Die Stabilitätszahlzahl eines Graphen G ist definiert als:
α(G) := max{k ∈ N : G enthält eine k-stab. Menge als induzierten Subgraphen}.
Beispiel 5.7
Betrachte folgenden Graphen:
Es gilt:
G planar. G nicht bipartit. ω(G) = 3, α(G) = 3, χ(G) = 3, ν(G) = 3, τ (G) = 3.
G besitzt Hamilton Kreis.
5.3 Bipartitheit und Färbungen
Definition 5.8
Ein Graph G = (V, E) heißt bipartit genau dann, wenn es eine Partition seiner Knoten˙ gibt, so dass G[A] und G[B] stabile Mengen sind.
menge V = A∪B
Satz 5.9
König G ist genau dann bipartit, wenn er keine ungeraden Kreise enthält.
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Definition 5.10
Sei k ∈ N. G = (V, E) heißt k-färbbar, wenn es eine Abbildung f : V → [k] gibt mit
der Eigenschaft, dass benachbarte Knoten nicht die gleiche Farbe erhalten: ∀{x, y} ∈ E :
f (x) 6= f (y).
Die chromatische Zahl von G ist definiert als χ(G) := min{k ∈ N : G ist k-färbbar }.
Satz 5.11
Jeder planare Graph ist 5-färbbar.
5.4 Exkurs: Diskrete Optimierung
Definition 5.12
Ein gewichteter Graph G = (V, E, l) ist duch einen Graphen G und eine Gewichtsfunktion
l:E→R
Pgegeben. Dadurch erhält jeder Subgraph H = (W, F ) ⊆ G sein eigenes Gewicht
l(H) := e∈F l(e).
Beispiele für Optimierunsprobleme
ˆ kürzeste Wege. Gegeben: G = (V, E, l) und s, t ∈ V . Gesucht: s, t − W eg H als
Subgraph von G, der l(H) mminimiert.
ˆ Minimal aufspannende Bäume. Gegeben: G = (V, E, l). Gesucht: Baum H =
(V, F ) als Subgraoh von G, der l(H) minimiert.
ˆ Kürzeste Rundreisen. Gegeben: G = (V, E, l). Gesucht: Kreis H = (V, F ) als
Subgraph von G, der l(H) minimiert und dabei alle Knoten enthält.
ˆ Optimale Färbungen. Gegeben: G = (V, E). Gesucht: k-Färbung von G, die k
minimiert.
5.5 Euler-Touren und Hamilton-Kreise
Definition 5.13
Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Kantenzug in G ist eine Folge (v0 , . . . , vk ) von Knoten
vi ∈ V , so dass {vi−1 , vi } ∈ E für alle i ∈ [k]; und man sagt, dass der Kantenzug die
Kante {vi−1 , vi } benutzt.(kann Knoten und Kanten mehrfach benutzen).
Ein Kantenzug heißt geschlossen, wenn v0 = vk ist.
Eine Euler-Tour von G ist ein geschlossener Kantenzug in G, der jede Kante aus E genau
einmal benutzt.
Satz 5.14
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Dann sind äquivalent:
a) Es gibt eine Euler-Tour von G.
b) Alle Knoten von G haben geraden Grad.
c) Es gibt eine Partition von E in kantendisjunkte Kreise.
Definition 5.15
Sei G = (V, E) ein Graph mit |V | = n. Ein Kreis der Länge n in G heißt Hamilton Kreis.
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Lemma 5.16
Seien v, w zwei Knoten in G = (V, E) mit deg(v) + deg(w) ≥ n und {v, w} ∈
/ E. Dann
0
gilt: G hat genau dann einen Hamilton Kreis, wenn G = (V, E ∪ {v, w}) einen Hamilton
Kreis hat.
Satz 5.17
Sei G = (V, E) ein Graph mit |V | ≥ 3.
a) Wenn für alle Paare x, y mit {x, y} ∈
/ E gilt, dass deg(x) + deg(y) ≥ |V |, dann hat G
einen Hamilton Kreis.
b) Wenn für jeden Knoten x gilt, dass deg(x) ≥ |V | /2, dann hat G einen Hamiltonkreis.
Satz 5.18
Sei G = (V, E) ein Graph und V = [n] mit n ≥ 3. Wir bezeichnen mit di der Grad von
Knoten i für alle i ∈ [n] und mehmen an, dass d1 ≤ . . . ≤ dn . Dann gilt: Wenn für alle
1 ≤ i ≤ n/2 gilt, dass di ≥ i + 1 oder dn−i ≥ n − i, dann hat G einen Hamilton-Kreis.
5.6 Matchings
Definition 5.19
Sei G = (V, E) Graph. Eine Teilmenge M ⊆ E heißt Matching von G, wenn gilt:
e1 ∩ e2 = ∅ ∀e1 6= e2 ∈ M .
M maximales Matching, wenn M ∪ {e} kein Matching ∀e ∈ E\M .
M größtes Matching, wenn für alle Matchings M 0 gilt: |M | ≥ |M 0 |.
M perfektes Matching, wenn |M | = |V |/2.
Die Matchingzahl eines Graphen ist definiert als: ν(G) := max {|M | : M ist M atching in G}.
Ein M-augmentierender Pfad ist ein Pfad in G, der abwechselnd Matching- und NichtmatchingKanten benützt und dessen Endknoten nicht von M überdeckt werden.
Satz 5.20
˙ E) ein bipartiter Graph. Dann besitzt G genau dann ein Matching
Hall Sei G = (A∪B,
das alle Knoten aus A überdeckt, wenn |N (S)| ≥ |S| ∀S ⊆ A.
˙ E) bipartit. Dann gilt: G besitzt genau dann ein perfektes
Folgerung. Sei G = (A∪B,
Matching, wenn |A| = |B| und für jede Menge S ⊆ A gilt: |N (S)| ≥ |S|.
Lemma 5.21
Sei M ein Matching in G = (V, E) und P = (W, F ) ein M -augmentierender Weg in G.
Dann ist M 0 := M ∆F ein Matching in G mit |M 0 | = |M | + 1.
Satz 5.22
Sei G = (V, E) ein Graph mit einem Matching M . M ist genau dann ein größtes Matching
in G, wenn es keinen M-augmentierenden Pfad in G gibt.
Definition 5.23
Sei G = (V, E) Graph. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt Knotenüberdeckung, wenn gilt:
e ∩ U 6= ∅ ∀e ∈ E.
Die Knotenüberdeckungszahl ist definiert als: τ (G) = min{|U | : U ist Knotenüberdeckung von G}
Lemma 5.24
Für jeden Graphen G gilt: ν(G) ≤ τ (G) ≤ 2ν(G).
Satz 5.25
˙ E) gilt: ν(G) = τ (G).
Für jeden bipartiten Graphen G = (A∪B,
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Sarina Krämer
TU München
März/ April 2009
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6 Ramsey- und Codierungstheorie
6.1 Ramseytheorie
endliches Schubfachprinzip:
Sei N und M zwei endliche Mengen mit Kardinalität n = |N | und m = |M |, und sei
f : N → M eine beliebige
n Funktion. Dann existiert eine Menge S
subsetN mit |S| ≥ m und ein Element c0 ∈ M , so dass die Funktion f alle Elemente
von S auf c0 abbildet.
Einfacher: Verteilt man n Elemente auf r Fächer, n > r, so existiert ein Fach, dass mindestens zwei Elemente enthält.
unendliches Schubfachprinzip:
Wenn die Elemente einer unendlichen Menge mit einer endlichen Anzahl von Farben
gefärbt werden, dann existiert eine unendliche einfarbige Teilmenge - also eine Teilmenge,
deren Elemente alle die gleiche Farbe enthalten.
Definition 6.1
Die Ramseyzahl R(k) bezeichnet die kleinste natürliche Zahl n mit der Eigenschaft, dass
jede Färbung der Kanten des vollständigen Graphen Kn mit zwei Farben einen einfarbigen
Kk erzwingt.
Satz 6.2
Für k ∈ N gilt:
2k/2 ≤ R(k) ≤ 22k−2 .
Satz 6.3
Für beliebige natürliche Zahlen k, l und r existiert eine kleinste natürliche Zahl R(k, l, r),
so dass für jede Menge N mit |N | geqR(k, l, r) und jede Färbung
N
f:
→ [r]
l
eine Menge K ∈ Nk und eine Farbe r0 ∈ [r], so dass
K
f (L) = r0 ∀L ∈
.
l
etwas anschaulicher:
Jede Färbung der l-elementigen Teilmengen aus der Menge N erzwingt eine Menge K ⊂
[n] der Größe k, deren l-Mengen alle die gleiche Farbe haben.
noch eine andere Version:
In jeder Gruppe von s+t−2
Personen gibt es entweder s Personen, die sich alle gegenseitig
s−1
kennen, oder t Personen, die sich nicht kennen.
Satz 6.4
Für jede natürliche Zahl k existiert eine kleinste natürliche Zahl ES(k), so dass jede
Menge auf mindestens ES(k) Punkten in allgemeiner Lage in der Ebene k Pukte enthält,
die ein konvexes Polygon bilden.
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6.2 Codierungstheorie
Problemstellung:
Nachricht (W)
Codierung
−→
Codewort (X)
Ü bertragungsf ehler
−→
Wort (Y)
Reperatur
−→
Codewort (X’)
Decodierung
−→
Nachricht (W’)
Ziel: Rekonstruktion von W, also W = W’
Definition 6.5
Sei A eine Menge der Kardinalität |A| = q ≥ 2 (das sogenannte Codierungsalphabet), und
seien t, n ∈ N. Die Hammingdistanz zwischen a = (a1 , . . . , an ) ∈ An und b = (b1 , . . . , bn ) ∈
An ist definiert durch ∆(a, b) := |{i ∈ [n] : ai 6= bi }|. Ein Code ist eine Menge C ⊆ An .
C t-fehlerentdeckend : ∀a 6= b ∈ C : ∆(a, b) ≥ t + 1.
C t-fehlerkorrigierend, ∀a 6= b ∈ C : ∆(a, b) ≥ 2t + 1.
Die Distanz von C ist definiert durch d(C) := min{∆(a, b) : a, b ∈ C}. Einen Code über
dem Alphabet {0, 1} nennt man binär.
Beispiel 6.6
Nehmen wir an, bei einem Code werden Buchstabengruppen der Länge 5 übermittelt und
der Code besteht aus den Codewörtern STUHL, SCHAL und PFAHL. Damit ist der Hammingabstand zwischen zwei Wörtern ∆(a, b) = 3 und der Code damit 1-fehlerkorrigierend
und 2-fehlerentdeckend. Empfängt man zum Beispiel das Wort SCAHL, ist klar, dass
zwei Zeichen falsch übertragen wurden, aber nicht, an welcher Stelle sie stehen. Weiß man
hingegen, dass nur höchstens ein Zeichen fehlerhaft ist und empfängt das Wort STAHL,
kann leicht das ursprüngliche (eindeutige) Codewort STUHL rekonstruiert werden.
Angenommen, das Wort a ∈ C werde gesendet, das Wort b ∈ An werde empfangen,
und maximal t Zeichen sind unterwegs gestört worden, also ∆(a, b) ≤ t.
ˆ C t-fehelerentdeckend: entweder b = a, oder b ∈
/ C.
ˆ C t-fehlerkorrigierend: es gibt außer a kein Wort a0 ∈ C mit ∆(b, a0 ) ≤ t. (Also ist
a das einzige Wort in C mit Abstand höchstens t zu b.
Bemerkung 6.7
Ziel: zu gegebenem Alphabet A und Wortlänge n suchen wir einen Code C ⊆ An mit
möglichst großem d(C) und möglichst großem |C|.
Definition 6.8
Seien n, d, q ∈ N. Wir setzen
C(n, d, q) := {C ⊆ {0, . . . , q − 1}n : d(C) ≥ d} und
M (n, d, q) := max{|C| : C ∈ C(n, d, q).}
Die Menge C(n, d, q) beschreibt also die Menge aller Codes mit Wörtern der Länge n über
einem q-elementigen Alphabet, die paarweise Abstand mindestens d haben müssen, und
M (n, d, q) ist die maximale Anzahl von Codewörtern in einem solchen Code.
Satz 6.9
Hamming-Schranke Seien n, t, q ∈ N und d = 2t + 1. Dann gilt
M (n, d, q) ≤ Pt
i=0
qn
.
n
i
(q
−
1)
i