1 Grundlagen

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Sarina Krämer
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1 Grundlagen
1.1 Mengen und Mengenoperationen
Definition 1.1
Seien M , sowie M1 , M2 , . . . , Mk Mengen.
Wichtige Mengenoperationen:
ˆ Vereinigung:
k
S
Mn := {m : ∃n ∈ [k] : m ∈ Mn }
n=1
k
T
ˆ Schnitt:
Mn := {m : ∀n ∈ [k] : m ∈ Mn }
n=1
ˆ kartesisches Produkt: M1 × . . . × Mk := {(x1 , . . . , xk ) : xn ∈ Mn ∀n ∈ [k]}
ˆ k-elementige Teilmengen: M
k := {S : S ⊂ M, |S| = k}
ˆ Potenzmenge: P(M ) := {S : S ⊂ M }
1.2 Induktion
Induktion besteht aus drei Teilen:
ˆ IA (Induktionsanfang): die Aussage wird für das kleinste n bewiesen, für das die Aussage
zu zeigen ist
ˆ IV (Induktionsvorraussetzung): hier wird angenommen, dass die Aussage für ein festes,
aber beliebiges n ∈ N gilt
ˆ IS (Induktionsschluss): mit Hilfe der IV wird die Aussage für n + 1 gezeigt.
ACHTUNG: Beim IS wird die Behauptung für n + 1 so umgeformt, dass die IV angewendet
werden kann und damit dann die Behauptung gezeigt werden kann!
Will man sich im Induktionsschritt zB auf die beiden vorangegangen Aussagen für n − 1 und n
berufen, dann müssen beim Indukationsanfang auch die Aussagen für die ersten beiden Zahlen
überprüft werden.
1.3 Relationen und Funktionen
Definition 1.2
Sei k ∈ N mit k ≥ 2. Eine k-stellige Relation über den Mengen A1 , . . . , Ak ist eine Teilmenge
R ⊆ A1 × · · · × Ak . Eine zweistellige Relation nennt man auch binäre Relation. Eine binäre
Relation R ⊆ M × M heißt
ˆ reflexiv, wenn für alle a ∈ M gilt: (a, a) ∈ R,
ˆ irreflexiv, wenn für alle a ∈ M gilt: (a, a) 6∈ R,
ˆ symmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R, dann (b, a) ∈ R,
ˆ asymmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R, dann (b, a) 6∈ R,
ˆ antisymmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R und (b, a) ∈ R, dann a = b,
ˆ transitiv, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt: wenn (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R, dann (a, c) ∈ R.
Abkürzung: a ∼R b
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Definition 1.3
Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, nennt man partielle Ordnung.
Eine Relation, die irreflexiv und symmetrisch ist, nennt man Graph. Eine Relation, die reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist, nennt man Äquivalenzrelation.Die Menge aller Elemente aus M ,
die zu a äquivalent sind heißt Äquivalenzklasse von a und wird mit
[a]R := {b ∈ M : aRb}
bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge und wird mit
M/ ∼R := {[a]R : a ∈ M }
bezeichnet.
Satz 1.4
Sei R eine Äquivalenzrelation über der Menge M . Dann bilden die Äquivalenzklassen eine Partition von M . Genauer:
Für zwei beliebige Elementea, b ∈ M gilt: [a]R ∩ [b]R 6= ∅ ⇔ [a]R = [b]R ⇔ (a, b) ∈ R.
Definition 1.5
Sei f ⊆ A × B eine binäre Relation mit der Eigenschaft, dass jedem Element a ∈ A durch f
genau ein Element b ∈ B zugeordnet wird, d.h. dass
∀a ∈ A :
|{b ∈ B : (a, b) ∈ f }| = 1
gilt. In diesem Fall nennt man f eine Abbildung oder Funktion.
Eine Funktion f : A → B heißt
ˆ injektiv, wenn für alle b ∈ B gilt: |f −1 (b)| ≤ 1,
ˆ surjektiv, wenn für alle b ∈ B gilt: |f −1 (b)| ≥ 1,
ˆ bijektiv, wenn für alle b ∈ B gilt: |f −1 (b)| = 1.
Für jedes a ∈ A ist das eindeutige Element f (a) := b ∈ B mit (a, b) ∈ f das Bild von a unter
f . Das Urbild von b ∈ B ist definiert als f − 1(b) := {a ∈ A : f (a) = b} ⊆ A und muss nicht
notwendigerweise aus genau einem Element bestehen (kann übrigens auch leer sein). Analog:
Bild und Urbild einer Menge.
Proposition 1.6
Es seien A und B nichtleere, endliche Mengen und f : A → B eine Funktion. Dann gilt:
a) Wenn f bijektiv, dann |A| = |B|.
b) Wenn |A| = |B|, dann gilt: f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv.
2 Zählen
2.1 Elementares Zählen
Summenregel:
P
˙ k , dann |M | = |M1 | + . . . + |Mk | = ki=1 |Mi |.
wenn M = M1 ∪˙ . . . ∪M
Produktregel:
Q
wenn M = M1 × · · · × Mk , dann |M | = |M1 | · . . . · |Mk | = ki=1 |Mi |.
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Inklusion-Exklusion
Bei der Summenregel waren disjunkte Mengen vorausgesetzt. Ist dies nicht gegeben, muss anders
gerechnet werden: Für endliche Mengen M1 , . . . , Mn gilt:
|
n
[
i=1
Mi | =
n
X
X
(−1)r−1
r=1
|
r
\
Mij |.
1≤i1 <···<ir ≤n j=1
Zählen durch Bijektion:
Wenn A und B zwei endliche Mengen, und wenn f : A → B eine Bijektion ist, dann |A| = |B|.
Doppeltes Abzählen:
Es sei R ⊆ A × B eine binäre Relation. Dann gilt
X
X
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}|
a∈A
b∈B
2.2 Teilmengen zählen
Aus einer Menge M = {m1 , . . . , mn } sollen k Elemente c1 , . . . , ck ausgewählt werden. X bezeichne dabei die Menge an möglichen Kombinationen. Dann sind vier verschiedene Fälle zu
unterscheiden:
Proposition 2.1
Die Anzahl der Möglichkeiten ist gegeben durch:
geordnet
mit Zurücklegen
nk
ohne Zurücklegen
nk
ungeordnet
M k = n+k−1
k
n
k
Proposition 2.2
Es seien
x, yn ∈ R und m, n, k ∈ N0 mit k ≤ n und k ≤ m. Dann gilt:
n
a) k = n−k ,
n
b) n−1
+ n−1
k−1 P
k = k für n, k ≥ 1,
n
c) 2n = ni=0
Pni , n m n+m
d) k = i=0 i k−i ,
P
e) (x + y)n = P ni=0 ni xi y n−i ,
f) (x + y)n = ni=0 ni xi y n−i ,
g) xn+k = xn (x − n)k .
2.3 Partitionen zählen
Definition 2.3
Es seien k, n ∈ N0 und M Menge mit |M | = n. Eine k-Partition der Menge M ist eine Zerlegung
˙ k . Die Anzahl von k-Partitionen
von M in k disjunkte, nichtleere Mengen: M = M1 ∪˙ . . . ∪M
einer n-elementigen Menge wird mit Sn,k bezeichnet. Man setzt S0,0 = 1.
Proposition 2.4
Es seien k, n ∈ N0 .
a) Für k > n gilt: Sn,k = 0.
b) Für n ≥ 1 gilt: Sn,0 = 0.
c) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: Sn,k = Sn−1,k−1 + k · Sn−1,k .
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Satz 2.5
Für 1 ≤ k ≤ n gilt:
Sn,k
k
X
(k − r)n
=
(−1)r
.
r!(k − r)!
r=0
Definition 2.6
Es seien k, n ∈ N0 . Eine k-Partition der Zahl n ist eine Zerlegung von n in k Summanden:
n = n1 + · · · + nk mit ni ∈ N für alle i ∈ [k]. Bei einer geordneten Partition kommt es auf die
Reihenfolge der Summanden an, bei einer ungeordneten nicht. Die Anzahl von ungeordneten
k-Partitionen der Zahl n wird mit Pn,k bezeichnet, man setzt P0,0 := 1.
Proposition 2.7
Es seien k, n ∈ N0 .
a) Für k > n gilt: Pn,k = 0.
b) Für n ≥ 1 gilt: Pn,0 = 0.
P
c) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: Pn+k,k = k−1
i=0 Pn,k−i
.
d) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: Es gibt genau n−1
k−1 geordnete k-Partitionen der Zahl n.
Proposition 2.8
n Bälle werden in k Körbe geworfen. Dann gibt es folgende Verteilungsmöglichkeiten:
beliebig
inj.
surj.
bij.
kn
kn
k
k!Sn,k
n−1
n!
a) Bälle unterscheidbar, Körbe unterscheidbar
b) Bälle nicht unterscheidbar, Körbe unterscheidbar
n+k−1
n
k−1
1
c) Bälle unterscheidbar, Körbe nicht unterscheidbar
Pk
1
Sn,k
1
d) Bälle nicht unterscheidbar, Körbe nicht unterscheidbar
Pk
1
Pn,k
1
n
i=1 Sn,i
i=1 Pn,i
3 Graphentheorie
3.1 Grundbegriffe und planare Graphen
Definition 3.1
Ein Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E ⊆
V
2
.
ˆ Nachbarschaft eines Knotens: N (v) := {w ∈ V : {v, w} ∈ E}. Die Anzahl der Nachbarn
von x heißt der Grad von x und wird mit deg(x) := |N (x)| notiert.
ˆ Minimalgrad δ(G) ist der kleinste in G auftretende Grad, der Maximalgrad ∆(G) der
größte.
ˆ Zwei Graphen G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) heißen isomorph (G1 ∼
= G2 ), falls es
eine Bijektion f : V1 → V2 gibt, so dass für alle Knoten u, v ∈ V1 gilt: {u, v} ∈ E1 ⇔
{f (u), f (v)} ∈ E2 . Die Funktion f nennt man in diesem Fall einen (Graphen-) Isomorphismus.
ˆ Ein Graph H = (W, F ) ist ein Subgraph von G = (V, E),wenn W ⊆ V und F ⊆ E. H ist
ein induzierter Subgraph, wenn W ⊆ V und F = E ∩ W
2 . Schreibe: H = G [W ].
ˆ Spezielle Graphen:
Pn := ({0, . . . , n} , E) mit E := {{i − 1, 1} : i ∈ [n]} , für n ≥ 0,
Cn := ([n] , E) mit E := {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} , für n ≥ 3,
Kn := ([n] , [n]
2 ) (n-Clique) und
En := ([n] , ∅) (stabile Menge) für n ≥ 1.
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ˆ Ein zu Pn isomorpher Graph G = (V, E) heißt Weg der Länge n. Wenn f : V → [n] der
Isomorphismus ist und f (x) = 0, f (y) = n für x, y, ∈ V , dann heißt G x, y-Weg.
ˆ Ein zu Cn isomorpher Graph heißt Kreis der Länge n.
ˆ G = (V, E) heißt zusammenhängend, wenn zu je zwei v, w ∈ V ein v, w-Weg existiert. Die
inklusionsmaximalen zusammenhängenden Subgraphen werden als Zusammenhangskomponenten bezeichnet.
ˆ Ein Baum ist ein kreisfreier und zusammenhängender Baum.
ˆ ω(G) := max{k ∈ N : G enthält Kk als induzierten Subgraphen} ist die Cliquenzahl.
ˆ α(G) := max{k ∈ N : G enthält Ek als induzierten Subgraphen} ist die Stabilitätszahl.
Satz 3.2
SeiP
G = (V, E) ein Graph. Dann gilt:
a) v∈V deg(v) = 2 |E| .
b) G hat eine gerade Anzahl von Knoten ungeraden Grades.
c) Wenn |V | ≥ 2, dann hat G mindestens zwei Knoten gleichen Grades.
Lemma 3.3
a) Die Zusammenhangskomponenten eines Waldes sind Bäume.
b) Jeder Baum mit mindestens zwei Knoten hat mindestens zwei Blätter.
c) Wenn G ein Baum und b ein Blatt ist, dann ist G − b ein Baum.
Satz 3.4
Für einen Graphen G = (V, E) mit n = |V | und m = |E| sind äquivalent:
a) G ist ein Baum,
b) G ist zusammenhängend und m = n − 1,
c) G ist Kanten-maximal kreisfrei,
d) G ist Kanten-minimal zusammenhängend,
e) für je zwei Knoten x, y aus V gibt es genau einen x, y-Weg in G.
Definition 3.5
G = (V, E) heißt planar, wenn er sich so in die Ebene zeichnen lässt, dass sich seine Kanten nur
in den Knoten berühren. G = (V, E, R), R bezeichnet die Gebiete von G.
Satz 3.6 (Polyederformel von Euler)
Sei G = (V, E, R) ein ebener zusammenhängender Graph. Dann gilt:
|V | − |E| + |R| = 2
Folgerung:Sei G = (V, E, R) ein ebener, zusammenhängender Graph mit |V | ≥ 4. Dann gilt
a) |E| ≤ 3 |V | − 6.
b) G hat mindestens einen Knoten vom Grad kleiner gleich 5.
3.2 Bipartitheit und Färbungen
Definition 3.7
Ein Graph G = (V, E) heißt bipartit genau dann, wenn es eine Partition seiner Knotenmenge
˙ gibt, so dass G[A] und G[B] stabile Mengen sind.
V = A∪B
Satz 3.8 (König)
G ist genau dann bipartit, wenn er keine ungeraden Kreise enthält.
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Definition 3.9
Sei k ∈ N. G = (V, E) heißt k-färbbar, wenn es eine Abbildung f : V → [k] gibt mit der
Eigenschaft, dass benachbarte Knoten nicht die gleiche Farbe erhalten: ∀{x, y} ∈ E : f (x) 6=
f (y).
Die chromatische Zahl von G ist definiert als χ(G) := min{k ∈ N : G ist k-färbbar }.
Satz 3.10
Jeder planare Graph ist 5-färbbar.
3.3 Exkurs: Diskrete Optimierung
Definition 3.11
Ein gewichteter Graph G = (V, E, l) ist duch einen Graphen G und eine Gewichtsfunktion
l : E →PR gegeben. Dadurch erhält jeder Subgraph H = (W, F ) ⊆ G sein eigenes Gewicht
l(H) := e∈F l(e).
Beispiele für Optimierunsprobleme
ˆ kürzeste Wege. Gegeben: G = (V, E, l) und s, t ∈ V . Gesucht: s, t−W eg H als Subgraph
von G, der l(H) mminimiert.
ˆ Minimal aufspannende Bäume. Gegeben: G = (V, E, l). Gesucht: Baum H = (V, F )
als Subgraph von G, der l(H) minimiert.
ˆ Kürzeste Rundreisen. Gegeben: G = (V, E, l). Gesucht: Kreis H = (V, F ) als Subgraph
von G, der l(H) minimiert und dabei alle Knoten enthält.
ˆ Optimale Färbungen. Gegeben: G = (V, E). Gesucht: k-Färbung von G, die k minimiert.
3.4 Euler-Touren und Hamilton-Kreise
Definition 3.12
Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Kantenzug in G ist eine Folge (v0 , . . . , vk ) von Knoten vi ∈ V ,
so dass {vi−1 , vi } ∈ E für alle i ∈ [k]; und man sagt, dass der Kantenzug die Kante {vi−1 , vi }
benutzt.(kann Knoten und Kanten mehrfach benutzen).
Ein Kantenzug heißt geschlossen, wenn v0 = vk ist.
Eine Euler-Tour von G ist ein geschlossener Kantenzug in G, der jede Kante aus E genau einmal
benutzt.
Satz 3.13
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Dann sind äquivalent:
a) Es gibt eine Euler-Tour von G.
b) Alle Knoten von G haben geraden Grad.
c) Es gibt eine Partition von E in kantendisjunkte Kreise.
Definition 3.14
Sei G = (V, E) ein Graph mit |V | = n. Ein Kreis der Länge n in G heißt Hamilton Kreis.
Lemma 3.15
Seien v, w zwei Knoten in G = (V, E) mit deg(v) + deg(w) ≥ n und {v, w} ∈
/ E. Dann gilt: G
hat genau dann einen Hamilton Kreis, wenn G0 = (V, E ∪ {v, w}) einen Hamilton Kreis hat.
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Satz 3.16
Sei G = (V, E) ein Graph mit |V | ≥ 3.
a) Wenn für alle Paare x, y mit {x, y} ∈
/ E gilt, dass deg(x) + deg(y) ≥ |V |, dann hat G einen
Hamilton Kreis.
b) Wenn für jeden Knoten x gilt, dass deg(x) ≥ |V | /2, dann hat G einen Hamiltonkreis.
Satz 3.17
Sei G = (V, E) ein Graph und V = [n] mit n ≥ 3. Wir bezeichnen mit di der Grad von Knoten
i für alle i ∈ [n] und nehmen an, dass d1 ≤ . . . ≤ dn . Dann gilt: Wenn für alle 1 ≤ i ≤ n/2 gilt,
dass di ≥ i + 1 oder dn−i ≥ n − i, dann hat G einen Hamilton-Kreis.
3.5 Matchings
Definition 3.18
Sei G = (V, E) Graph. Eine Teilmenge M ⊆ E heißt Matching von G, wenn gilt: e1 ∩ e2 =
∅ ∀e1 6= e2 ∈ M .
ˆ M heißt maximales Matching, wenn M ∪ {e} kein Matching ∀e ∈ E\M .
ˆ M heißt größtes Matching, wenn für alle Matchings M 0 gilt: |M | ≥ |M 0 |.
ˆ M heißt perfektes Matching, wenn |M | = |V |/2.
ˆ Die Matchingzahl eines Graphen ist definiert als: ν(G) := max {|M | : M ist M atching in G}.
ˆ Ein M -alternierender Weg ist ein Weg in G, der abwechselnd Matching- und NichtmatchingKanten benutzt.
ˆ Ein M -augmentierender Weg ist ein M -alternierender Weg dessen Endknoten nicht von
M überdeckt werden.
Satz 3.19 (Heiratssatz von Hall)
˙ E) ein bipartiter Graph. Dann besitzt G genau dann ein Matching das alle
Sei G = (A∪B,
Knoten aus A überdeckt, wenn |N (S)| ≥ |S| ∀S ⊆ A.
˙ E) bipartit. Dann gilt: G besitzt genau dann ein perfektes MatFolgerung 1: Sei G = (A∪B,
ching, wenn |A| = |B| und für jede Menge S ⊆ A gilt: |N (S)| ≥ |S|.
˙ E) bipartit mit |A| ≤ |B| und der Eigenschaft, dass jeder Knoten
Folgerung 2: Sei G = (A∪B,
aus A genau a Nachbarn und jeder Knoten aus B genau b Nachbarn hat. Dann besitzt G ein
Matching, das alle Knoten aus A überdeckt.
Lemma 3.20
Sei M ein Matching in G = (V, E) und P = (W, F ) ein M -augmentierender Weg in G. Dann ist
M 0 := M ∆F ein Matching in G mit |M 0 | = |M | + 1.
Satz 3.21
Sei G = (V, E) ein Graph mit einem Matching M . M ist genau dann ein größtes Matching in
G, wenn es keinen M-augmentierenden Weg in G gibt.
Definition 3.22
Sei G = (V, E) Graph. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt Knotenüberdeckung, wenn gilt: e ∩ U 6=
∅ ∀e ∈ E.
Die Knotenüberdeckungszahl ist definiert als: τ (G) = min{|U | : U ist Knotenüberdeckung von G}
Lemma 3.23
Für jeden Graphen G gilt: ν(G) ≤ τ (G) ≤ 2ν(G).
Satz 3.24
˙ E) gilt: ν(G) = τ (G).
Für jeden bipartiten Graphen G = (A∪B,
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4 Partielle Ordnungen
Definition 4.1
Sei R = (M, ) eine partielle Ordnung.
ˆ Zwei Elemente a, b ∈ M heißen vergleichbar, wenn a b oder b a.
ˆ Wenn a und b nicht vergleichbar sind, heißen sie unvergleichbar.
ˆ R heißt vollständig oder linear, wenn alle a, b ∈ M vergleichbar sind.
ˆ R0 = (M, 0 ) heißt lineare Erweiterung von R = (M, ), wenn R ⊆ R0 und R0 linear ist.
ˆ Das Element a wird von b überdeckt, wenn a b und es kein c ∈ M mit c 6= a, b gibt, so
dass a c und c b.
ˆ Das Hasse-Diagramm von R ist ein Diagramm des Graphen
M, {{a, b} : a wird von b überdeckt } ,
bei dem für jedes Paar a b der Knoten a unterhalb des Knoten b gezeichnet wird.
ˆ Eine Kette in R ist eine Menge K ⊆ M mit der Eigenschaft, dass alle a, b ∈ K vergleichbar
sind. Eine Antikette in R ist eine Menge L ⊆ M mit der Eigenschaft, dass alle a, b ∈ L
mit a 6= b unvergleichbar sind.
ˆ Ein Element a ∈ M heißt größtes Element, wenn es kein b ∈ M mit b 6= a und a b gibt.
Ein Element a ∈ M heißt kleinstes Element, wenn es kein b ∈ M mit b 6= a und b a gibt.
Satz 4.2
Es sei M eine endliche, nichtleere Menge und R = (M, ) eine partielle Ordnung. Dann gilt:
a) Die maximale Anzahl von Elementen in einer Antikette von R ist gleich der minimalen Anzahl
von Ketten aus R, mit denen man M partitionieren kann.
b) Die minimale Anzahl von Antiketten aus R, mit denen man M partitionieren kann, ist gleich
der maximalen Anzahl von Elementen in einer Kette von R.
Satz 4.3 (Sperner)
Sei X eine Menge mit |X| = n und R = (P(X), ⊂) und sei A eine Antikette in R. Dann ist
|A| ≤
n
b n2 c
.
5 Erzeugende Funktionen
Definition 5.1
P
Es sei (an )n∈N = a0 , a1 , a2 , . . . eine P
unendliche Folge von reellen Zahlen. Dann heißt n≥0 an xn ,
formale Potenzreihe. Mit A(x) := n≥0 an xn wird der Grenzwert der Reihe bezeichnet, unter
der Voraussetzung, dass dieser existiert.
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Wichtige Formeln für Potenzreihen:
P i i
1
ˆ
γ x = 1−γx
für γx < 1
i≥0
ˆ
P
i≥0
ˆ
P
i≥0
i+k
k
k
i
xi =
1
(1−x)k+1
xi = (1 + x)k
ˆ A0 (x) =
P
i≥0
nan xn−1 =
P
(n + 1)an+1 xn .
i≥0
Verfahren für das Aufstellen von erzeugenden Funktionen:
Gesucht: explizite Formel für (an )n∈N0 aus rekursiver Vorschrift.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
P
i
Potenreihe aufstellen: F (x) = ∞
i=0 ai x
Anfangswerte und Rekursionsformel in Potenzreihe einsetzen
Auftretende ai -Terme durch F (x) ersetzen
Explizite Formel für F (x) aufstellen (rational gebrochene Funktion)
Mittels Partialbruchzerlegung in Potenzreihe umformen
Koeffizientenvergleich ergibt explizite Formel.
6 Asymptotisches Zählen
Definition 6.1
Seien f, g : N → R zwei Funktionen. Dann ist
ˆ f (n) = O(g(n)) :⇔ ∃ c ∈ R≥0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |f (n)| ≤ c|g(n)|
ˆ f (n) = Ω(g(n)) :⇔ ∃ c ∈ R≥0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |f (n)| ≥ c|g(n)|
ˆ f (n) = Θ(g(n)) :⇔ ∃ c1 , c2 ∈ R≥0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : c1 |g(n)| ≤ |f (n)| ≤ c2 |g(n)|
ˆ f (n) = o(g(n)) :⇔ ∀ c ∈ R≥0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |f (n)| ≤ c|g(n)|
ˆ f (n) = ω(g(n)) :⇔ ∀ c ∈ R≥0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : |f (n)| ≥ c|g(n)|
Dabei gilt:
f (n) = o(g(n)) ⇔ lim
n→∞
f (n)
=0
g(n)
f (n)
existiert.
n→∞ g(n)
f (n) = O(g(n)) ⇐ lim