Technische Universit ¨at M ¨unchen Zentrum Mathematik Prop

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik – WS 10/11
Prof. Dr. A. Taraz, Dipl.-Math. S. König, Dipl.-Math. A. Würfl
Übungsblatt -2
Aufgabe -2.1
a) Ein einfacher ungerichteter Graph ist eine symmetrische, irreflexive Relation.
b) Jeder Graph mit mindestens zwei Knoten hat zwei Knoten gleichen Grades.
c) Jeder bipartite Graph mit mindestens vier Knoten hat drei Knoten gleichen Grades.
d) Jeder bipartite Graph G = (V, E) mit |E| ≥ 1 hat chromatische Zahl 2.
e) Kein Graph mit n Knoten und n2 /3 Kanten ist 2-färbbar.
f) Kein Graph mit n Knoten und n2 /3 Kanten ist 3-färbbar.
√
g) Ein dreiecksfreier Graph G auf n Knoten hat α(G) ≥ b nc.
ja nein
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Aufgabe -2.2
ja nein
a) Sei H ⊂ G mit |V (H)| = |V (G)|. Dann gilt: Ist H zusammenhängend, dann kann H
durch Löschen von Kanten zu einem aufspannenden Baum in G gemacht werden.
b) Sei G ein Graph mit mindestens drei Knoten, und seien x, y zwei Knoten in G. Wenn
für alle ungeordneten Paare von Knoten {x0 , y 0 } =
6 {x, y} genau ein x0 -y 0 -Pfad existiert,
dann ist G ein Baum.
c) Die Kantenmenge eines 2-regulären Graphen auf einer geraden Anzahl von Knoten
kann in zwei perfekte Matchings partitioniert werden.
d) Die Kantenmenge des K64 kann in 63 perfekte Matchings partitioniert werden.
2
2
2
2
2
2
2
2
Aufgabe -2.3
a) Es sei G = (V, E) ein Graph, der aus dem Graphen Kn durch Entfernen eines beliebigen Kreises
entsteht. Falls n ≥ 6, so besitzt G einen Hamilton Kreis.
wahr2 falsch2
b) Es sei G ein Graph, M ein Matching in G und P ein M -augmentierender Pfad. Sei M 0 das
Matching, das aus M durch Augmentieren entlang P entsteht und P 0 ein M 0 -augmentierender
Pfad. Dann gilt stets P 6⊂ P 0 .
wahr2 falsch2
c) Es sei G ein Graph, der aus dem K42 durch Löschen eines beliebigen perfekten Matchings entsteht.
Dann hat G eine Eulertour.
wahr2 falsch2
1
Aufgabe -2.4
Es sei G = (V, E) ein ebener Graph auf n Knoten. Dann gilt immer:
ja nein
2 2
a) G ist 5-färbbar.
b) G hat einen Knoten vom Grad kleiner oder gleich 4.
2
2
2
2
2
c) G ist Subgraph einer Triangulierung mit n Knoten.
d) G enthält keine Unterteilung des K5,2 .
2
Aufgabe -2.5
Sei G = (V, E) ein Graph, M1 , M2 seien Matchings in G mit |M2 | = |M1 | + 2.
a) Jeder Pfad im Graphen G0 = (V, M1 4 M2 ) ist ein M1 -augmentierender Pfad.
b) Es gibt immer mindestens zwei M1 -augmentierende Pfade in G.
c) Es gibt immer genau zwei M1 -augmentierende Pfade in G.
2
wahr falsch
2
2
2
2
2
2