Definitionen und Notationen der Graphtheorie

Definitionen und Notationen der Graphtheorie
Die unten beschriebenen Definitionen sind für die Vorlesungen angepasst. Einzelne Begriffe
werden in der Literatur zum Teil anders definiert.
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Ungerichtete Graphen
• Ein Graph ist ein Tupel (V, E), wobei V eine endliche Menge ist (Knotenmenge) und
E ⊆ {{a, b} | a, b ∈ V } die Kantenmenge.
• E(G) bezeichnet die Kantenmenge von G, V (G) die Knotenmenge von G.
• Zwei Knoten sind adjazent, genau dann wenn sie durch eine Kante verbunden sind.
• Ein Knoten v ist zu einer Kante e inzident, genau dann wenn v ∈ e.
• Wir benutzen die Schreibweise (a, b) für die Kante {a, b}.
• E(v) bezeichnet die Menge aller zu v inzidenten Kanten.
• Der Grad eines Knoten v (kurz, deg(v)) bezeichnet die Anzahl seiner inzidenten Kanten.
• Ein Graph G0 = (V 0 , E 0 ) heißt Teilgraph von G, genau dann wenn V (G0 ) ⊆ V (G) und
E(G0 ) ⊆ E(G).
• Ein Graph G0 = G[V 0 ] heißt durch V 0 ⊆ V induzierter Teilgraph von G, genau dann and
E(G0 ) = E(G) ∩ {{a, b} | a, b ∈ V 0 }.
• Ein Pfad P = (V, E) ist ein Graph mit Kantenmenge
E = {(v1 , v2 ), (v2 , v3 ), . . . , (vm−1 , vm )}.
Die Länge des Pfades entspricht der Anzahl seiner Kanten, also m − 1. v1 und vm heißen
Endpunkte von P . Wir sagen, P verbindet v1 und vm .
• Ein Kreis ist ein Pfad, in welchem die beiden Endpunkte übereinstimmen.
• Ein Pfad/Kreis heißt einfach, genau dann wenn kein Knoten doppelt besucht wird.
• Ein Pfad (Kreis) in einem Graphen G ist ein Teilgraph von G, welcher ein Pfad (Kreis)
ist.
• Der Abstand zweier Knoten u, v ∈ V (G) ist die Länge eines kürzesten Pfads in G, mit
Endpunkten u und v, bezeichnet mit d(u, v).
• Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn alle seine Knotenpaare durch einen Pfad in
G verbunden sind.
• Eine Menge U ⊆ V heißt Zusammenhangskomponente, genau dann wenn 1.) G[U ] ist
zusammenhängend, und 2.) für jedes W ) U gilt G[W ] ist nicht zusammenhängend.
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Gerichtete Graphen
• Ein gerichteter Graph ist ein Tupel (V, E), wobei V eine endliche Menge ist (Knotenmenge)
und E ⊆ V × V die Kantenmenge.
• Für einen Knoten u heißt (u, v) ausgehende Kante und (v, u) eingehende Kante.
• Der Eingrad eines Knotens bezeichnet die Anzahl seiner eingehenden Kanten, der Ausgrad
die Anzahl seiner ausgehenden Kanten.
• Pfad, Kreis, Abstand, sind wie bei ungerichteten Graphen definiert.
• Ein gerichteter Graph G heißt stark zusammenhängend, wenn alle seine Knotenpaare x, y
durch einen Pfad von x nach y, und einen Pfad von y nach x verbunden sind.
• Eine Menge U ⊆ V heißt starke Zusammenhangskomponente, genau dann wenn 1.) G[U ]
ist stark zusammenhängend, und 2.) für jedes W ) U gilt G[W ] ist nicht stark zusammenhängend.
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Gewichtete Graphen
• Ein gewichteter Graph ist ein Graph (gerichtet oder ungerichtet), der zusätzlich über eine
Funktion w verfügt, die jeder Kante ein Gewicht zuordnet. Gewichte sind im allgemeinen
Zahlen.
P
• Sei P ein Pfad oder Kreis (ohne doppelte Kanten) in G, dann ist w(P ) := e∈P w(e).
• Der Abstand zweier Knoten (u, v) ist definiert als d(u, v) := minπ∈Pu,v w(π), wobei Pu,v die
Menge aller Pfade von u nach v in G bezeichnet.
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Besondere Graphen
• Ein vollständiger Graph Kn ist der ungerichtete Graph mit n Knoten, in dem jede zwei
Knoten durch eine Kante verbunden sind.
• Ein ungerichteter Graph ist ein Wald, wenn es in ihm keine Kreise gibt.
• Ein ungerichteter Graph ist ein Baum, wenn er ein zusammenhängender Wald ist. Besitzen
Bäume einen als Wurzel ausgezeichneten Knoten, sprechen wir von gewurzelten Bäumen.
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