III Die Datenstruktur Graph

III Die Datenstruktur Graph
III Die Datenstruktur Graph
10 Kennzeichen von Graphen
In diesem Kapitel werden netzförmige Strukturen behandelt. Ähnliche Strukturen sind
schon aus dem Anfangsunterricht bei der Darstellung von Hyperstrukturen zwischen
Webseiten bekannt.
Navigationssysteme
L4
Navigationssysteme sind weit verbreitet. Nach der Eingabe von Ausgangspunkt und Zielort schlägt das System eine Route vor. Die Kriterien für diese Route können verschiedenartig sein:
• Route mit der kürzesten Strecke,
• zeitlich kürzeste Route,
• möglichst viel Autobahn.
Das System gibt detailliert den Verlauf
der Route aus, nach der sich der Benutzer richten soll.
Grundlage dieser Systeme sind umfangreiche Landkarten mit den befahrbaren
Strecken. Abbildung 1 zeigt zum Beispiel
das Autobahnnetz von Deutschland.
Andere Streckennetze sind Bahnnetze
(IC-Strecken Deutschland; S- und UBahn in der Region München), Flugstrecken, Telefonkabelnetze, Datenkabelnetze (Routing von Datenpaketen
im Internet), Hochspannungsleitungen,
Abwasserkanäle in einer Großstadt oder
Leitungen auf einer Platine. Alle diese
Netze werden anhand der Information
über Verbindungen zwischen Objekten
beschrieben.
Arten von Graphen
1 Autobahnnetz
Deutschland
U engl. vertices
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Erstellt man aufgrund der Landkarte in
Abbildung 1 eine vereinfachte Form des
Autobahnnetzes, in der nur die Orte
sowie Kreuzungen und Abzweigungen
als Kreise eingetragen sind und die Strecken dazwischen als Linien, so erhält man
eine Darstellung wie in Abbildung 2. Sie zeigt nur einen kleinen Ausschnitt aus dem gesamten Autobahnnetz; die größeren Orte sind mit ihren Kfz-Kennzeichen markiert und
einige der Verbindungsstrecken und Orte ohne Abzweigungen wurden weggelassen.
Es entsteht eine netzartige Struktur, die man Graph nennt. Ein Graph besteht aus einer
Menge von Knoten (nodes, oft auch U Ecken genannt), die durch Kanten (edges) mit-
10 Kennzeichen von Graphen
einander verbunden sind. Von einem Knoten können mehrere Kanten abgehen. Jeder
Knoten hat einen eindeutigen Bezeichner. Eine Kante wird durch die beiden Knoten, die
sie verbindet, eindeutig beschrieben. Die geometrische Lage der einzelnen Knoten und
die Wegführung der Kanten sind für die grafische Darstellung irrelevant – wichtig ist nur
die Information, welcher Knoten mit welchem verbunden ist.
2 Teilgraph aus dem Autobahnnetz Deutschland
Der Graph in Abbildung 2 hat 14 Knoten und 19 Kanten. In der Mengenschreibweise
lässt sich dieser Graph darstellen als:
• Menge der Knoten = {KA; F; S; WÜ; FD; UL; LI; A; M; N; HO; R; PA; RO} und
• Menge der Kanten = {KA/F; KA/S; S/WÜ; WÜ/UL; M/N; …}.
Ein Pfad oder Weg ist eine Folge von Knoten, wobei aufeinanderfolgende Knoten durch
eine Kante miteinander verbunden sind. M/N/WÜ/F ist zum Beispiel ein Pfad von M nach F.
Es gibt aber auch „Irrwege“ von M nach F, wie etwa: M/N/WÜ/UL/S/WÜ/F. Man
erkennt dies sofort daran, dass WÜ im Weg zweimal vorkommt. Ein einfacher Pfad ist
daher ein Pfad, auf dem sich zwischen Startpunkt und Zielpunkt kein Knoten wiederholt.
Ein anderer interessanter Pfad ist der Pfad N/WÜ/UL/A/M/N. Er hat denselben Startund Zielpunkt, verläuft also im Kreis. Ein Zyklus ist ein einfacher Pfad, bei dem der Startknoten und der Endknoten identisch sind.
Ein Graph ist zusammenhängend, wenn von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten
mindestens ein Pfad existiert. Das bedeutet: Es gibt keine isolierten Knoten bzw. keine
Inseln von Knoten. Im Folgenden werden nur zusammenhängende Graphen betrachtet.
Für das Navigationssystem ist es sehr wichtig,
welche Strecke zwischen den Knoten zurückzulegen ist. Üblicherweise trägt man im Graphen
die Entfernung in km entlang der Kanten ein.
Aufgrund dieser Information kann das Navigationssystem die kürzeste Entfernung zwischen
zwei Orten bestimmen.
Durch die Entfernungsangabe erhalten die Kanten ein unterschiedliches Gewicht, man spricht
von einem gewichteten Graphen (oder bewerteten Graphen). Ein Graph wie in Abbildung 2 heißt
ungewichteter Graph.
3 Teilgraph Autobahnnetz mit km-Angaben
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