Blatt 3 - TUM - Zentrum Mathematik - M9

Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik
(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15
Dr. René Brandenberg
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 3.1
a) Angenommen wir betrachten in Satz 2.27 Multigraphen anstelle der einfachen Graphen und
erlauben daher Parallelkanten. Formulieren Sie ein 2.27 entsprechendes Kriterium für die
Existenz von Eulertouren in Multigraphen.
b) Ist es für jeden beliebigen Graphen möglich durch Hinzunahme maximal eines Knotens und einer
beliebigen Anzahl von Kanten, die diesen Knoten enthalten, einen neuen Graph zu konstruieren
in dem jeder Knoten geraden Grad hat? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel mit
Begründung an.
c) Sei G ein beliebiger zusammenhängender Graph, welcher auch Knoten ungeraden Grades enthält.
Sie wissen aus der Vorlesung, dass Sie dann in jeder alle Kanten von G benutzenden geschlossenen
Kantenfolge mindestens eine Kante mehrfach benutzen müssen. Angenommen, Sie wollen die
Anzahl der Kantenmehrfachbenutzungen minimieren.
i) Beweisen oder widerlegen Sie: In jeder alle Kanten von G benutzenden und die Anzahl
aller Kantenmehrfachbenutzungen minimierenden geschlossenen Kantenfolge wird jede
mehrfach benutzte Kante genau zweimal benutzt.
ii) Führen Sie Ihr Minimierungsproblem auf die Suche nach einem kostenminimalen perfekten
Matching in einem Hilfsgraphen mit gewichteten Kanten zurück, ohne Begründung.
Aufgabe 3.2
Wir betrachten einen vollständigen Graphen G = (V, V2 ) und eine Funktion ` : V2 → R≥0 mit der
Eigenschaft, dass `({u, w}) ≤ `({u, v}) + `({v, w}) für jedes (u, v, w) ∈ V 3 . (Dreiecksungleichung für
gewichtete Graphen)
Sei H ein beliebiger Hamiltonkreis in G mit kleinster `-Gesamtlänge. Sei T ein beliebiger aufspannender
Baum in G mit kleinster `-Gesamtlänge. Bezeichne `(H) (bzw. `(T )) die `-Gesamtlänge von H (bzw.
von T ). Zeigen Sie:
a) `(T ) ≤ `(H),
b) `(H) ≤ 2`(T ).
Hinweis: Zeigen Sie, dass aus einem geschlossenen Kantenzug, der jeden Knoten mindestens
einmal besucht, in G ohne Gewichtszunahme ein Hamiltonkreis erzeugt werden kann.
Aufgabe 3.3
Sei G = (V, E) ein Graph. Zeigen Sie: Sind M ein maximales Matching und M ∗ ein größtes Matching
in G, so gilt 2|M | ≥ |M ∗ |.
Bitte wenden!
Aufgabe 3.4
˙
Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph mit zugehöriger Bipartition V = A∪B.
Beweisen Sie:
a) Gilt |A| ≤ |B| und deg(v) = a ∈ N für alle v ∈ A sowie deg(v) = b ∈ N für alle v ∈ B, dann
existiert ein Matching, das A vollständig überdeckt.
Hinweis: Betrachten Sie für beliebiges S ⊂ A den Graphen GS = G[S ∪ N (S)].
b) Existiert d ∈ N, sodass |N (S)| ≥ |S| − d für alle Teilmengen S ⊂ A gilt, dann existiert in G ein
Matching, das mindestens |A| − d Knoten aus A überdeckt.
Hinweis: Machen Sie den Beweis des Heiratssatzes nicht nach, sondern konstruieren Sie einen
Hilfsgraphen G∗ , auf den Sie den Heiratssatz anwenden können.
c) Gilt |A| = |B| = t ∈ N und |E| > t2 − t, dann existiert in G ein perfektes Matching.
Abgabe: bis Freitag, 10:00 Uhr im dafür vorgesehenen Kasten im Untergeschoss.
Bitte verwenden Sie das gestellte Deckblatt
oder notieren Sie auf Ihrer Abgabe:
• Name(n), Vorname(n),
• Matrikelnummer(n) und
• Rückgabeübungsgruppe
Bitte geben Sie in Zweier- oder Dreiergruppen ab.