1. Aufgabe 2. Aufgabe - fbi.h

Vorlesung Graphen und Optimierung
Sommersemester 2011
Prof. S. Lange
3. Übungsblatt
1. Aufgabe
Es sei G = (V, E) ein ungerichteter, bipartiter Graph und X, Y ⊆ V die zugehörige Zerlegung der Knoten in V . Es sei bekannt, dass es kein Matching der
Größe |X| für den Graphen G gibt.
Es seien X 0 ⊆ X und Y 0 ⊆ Y die Teilmengen, die beim Abbruch des ungarischen
Algorithmus markiert worden sind.
Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antworten kurz.
(i) Gibt es einen Knoten x ∈ X 0 , der unversorgt ist?
(ii) Gibt es einen Knoten y ∈ Y 0 , der unversorgt ist?
(iii) Gibt es zu jedem Knoten y ∈ Y 0 einen Kante {x, y} mit x ∈ X 0 ?
(iv) Warum gilt |X 0 | ≥ |Y 0 | und warum gilt sogar |X 0 | > |Y 0 |?
(v) Gibt es eine Kante {x, y} in G mit x ∈ X 0 und y ∈
/ Y 0?
(vi) Warum erfüllt der Graph G nicht die Hall-Bedinung?
2. Aufgabe
Es sei der folgende ungerichtete, bipartite Graph G gegeben.
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(i) Gibt es für den Graphen G ein Matching der Größe 4?
(ii) Gibt es für den Graphen G eine Eckenüberdeckung der Größe 3?
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3. Aufgabe
Es sei der folgende bipartite Graph G = (V, E) gegeben.
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(i) Bestimmen Sie den maximalen Eckengrad k von G!
(ii) Geben Sie einen k-regulären Obergraphen G0 = (V, E 0 ) an!
Hinweis: Da G0 = (V, E 0 ) gelten soll, muss G0 genauso viele Knoten wie G
haben und kann mehr Kanten als G besitzen.
4. Aufgabe
Es sei der folgende bipartite Graph G gegeben.
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(i) Bestimmen Sie eine minimale Kantenfärbung für den Graphen G!
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5. Aufgabe
Es sei G = (V, E) ein bipartiter Graph. Der Eckengrad einer Kante e = {u, v}
in E sei die Summe der Eckengrade der beiden Ecken u und v von e.
Eine naheliegende Heuristik, um ein maximales Matching in G zu bestimmen,
sieht wie folgt aus:
Man wählt als nächste Kante e = {u, v} stets eine, die im Graphen (bzw. Restgraphen) einen minimalen Eckengrad hat, und nimmt e in das gesuchte Matching M auf. Anschließend werden alle Kanten aus G gestrichen, die u oder
v als Ecke haben. Falls der Restgraph noch Kanten hat, wird genauso weiter
verfahren.
(i) Geben Sie einen Graphen G an, für welchen diese Heuristik nicht erfolgreich ist (d.h. mit dieser Heuristik findet man nicht ein maximales
Matching für G).
Hinweis: Bestimmen Sie unter Verwendung dieser Strategie ein maximales
Matching M für den folgenden Gaphen G = (V, E)!
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Gibt es noch andere Matchings M 0 für G mit |M 0 | = |M |?
Viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!
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