6.¨Ubung Kombinatorische Optimierung auf Graphen

Dr. Anja Fischer
Wintersemester 2013/14
6. Übung
zur Vorlesung
Kombinatorische Optimierung auf Graphen
1. Bestimmen Sie im folgenden bipartiten Graphen ein kardinalitätsmaximales Matching mittels eines Max-Flow-Algorithmus. Was ändert sich beim Vorgehen, wenn
Sie den Algorithmus von Edmonds zur Bestimmung von maximalen Matchings
in beliebigen Graphen benutzen? Bestimmen Sie außerdem ein minimales Vertex
Cover.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Besitzt der folgende Graph ein perfektes Matching? Falls nicht, geben Sie eine
entsprechende Tuttemenge an.
3. Bestimmen Sie im folgenden Graphen ein kardinalitätsmaximales Matching mithilfe des Algorithmus von Edmonds. (Gehen Sie vom bereits eingezeichneten Matching aus.)
4. Beweisen Sie, dass jeder reguläre bipartite Graph G ein perfektes Matching besitzt, falls E(G) 6= ∅. (Ein Graph heißt regulär, wenn alle Knoten denselben Grad
haben.) Folgern Sie daraus, dass jeder k-reguläre bipartite Graph k paarweise disjunkte perfekte Matchings besitzt (k ∈ N). (Ein Graph G heißt k-regulär, wenn
d(v) = k, v ∈ V (G).)
5. Sei G ein ungerichteter 3-regulärer Graph ohne Brücke. Zeigen Sie, dass G ein
perfektes Matching enthält. Geben Sie ein Beispiel für einen 3-regulären Graphen
an, der kein perfektes Matching enthält.
˙ 2 (G). Es seien S ⊂ V1 (G), T ⊂
6. Sei G ein bipartiter Graph mit V (G) = V1 (G)∪V
V2 (G) und es existieren ein S überdeckendes Matching sowie ein T überdeckendes
Matching. Zeigen Sie, dass dann auch ein S ∪ T überdeckendes Matching existiert.
7. Sei G ein zusammenhängender Graph mit |V (G)| = n und minimalem Knotengrad
k. Zeigen Sie das G ein Matching der Kardinalität min{k, b n2 c} besitzt.