8. ¨Ubung zur Vorlesung Graphentheorie

Prof. Dr. R. Schrader
S. Kousidis
WS 2007/2008
8. Übung zur Vorlesung Graphentheorie
Abgabe: 12. bzw. 13.12.2007
Besprechung: 09. bzw. 10.01.2008
jeweils in Ihrer Übungsgruppe
Aufgabe 29:
Sei G = (V, E) ein Graph. Für X ⊆ V bezeichne qG (X) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten mit ungerader Knotenanzahl in G \ X.
a) Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines perfekten Matchings in G ist, dass
jede Zusammenhangskomponente des Graphen eine gerade Anzahl an Knoten besitzt.
Zeigen Sie, dass diese Bedingung nicht hinreichend ist.
b) Zeigen Sie, für X ⊆ V und qG (X) wie oben beschrieben gilt
qG (X) − |X| ≡ |V (G)| (mod 2)
c) Zeigen Sie, falls X ⊆ V existiert mit qG (X) > |X|, so besitzt G kein perfektes
Matching.
Hinweis zu c): Verwenden Sie das Resultat von Tutte-Berge.
Aufgabe 30:
Die Aussage aus Aufgabe 29 (c) ist nicht nur hinreichend sondern sogar notwendig für die
Existenz eines perfekten Matchings. D.h. Sie können voraussetzen, dass folgendes gilt:
Ein Graph G = (V, E) hat genau dann ein perfektes Matching, wenn für jede
Teilmenge X ⊆ V gilt: qG (X) ≤ |X|.
Zeigen Sie nun,
a) dass jeder 2–zusammenhängende 3–reguläre Graph ein perfektes Matching besitzt.
b) es existiert ein nicht 2–zusammenhängender 3–regulärer Graph, in dem es kein perfektes Matching gibt.
Hinweis zu a): Wählen Sie eine beliebige Knotenmenge X und zeigen Sie, dass von X
aus zu jeder ungeraden Komponente mindestens 3 Kanten gehen. Andererseits, wieviele
Kanten gehen maximal von X aus zu allen ungeraden Komponenten?
Aufgabe 31:
Sie G = (V, E) ein Graph und bezeichne mG die Anzahl der perfekten Matchings von G.
Zeigen Sie für den vollständigen Graphen Kn mit n ≥ 2 gerade, dass folgende Gleichung
gilt
(n−2)/2
Q
(n − (2i + 1))
mKn =
i=0
Aufgabe 32:
Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph. Betrachten Sie folgende Matchingheuristik:
Wählen Sie eine beliebige Kante und löschen alle zu der gewählten Kante adjazenten Kanten. Wiederholen Sie diese Vorgang, bis keine Kante mehr gewählt
werden kann. Sei nun c die Kardinalität des dabei entstandenen Matchings von
G.
Zeigen sie, dass diese Heuristik gar nicht so schlecht ist, in dem Sinne dass für jedes maximale Matching M von G gilt
|M | ≤ 2c
Hinweis: Betrachten Sie oG (X) und damit zusammenhängende Resultate, wobei X die vom
heuristisch entstandenen Matching überdeckte Knotenmenge ist.
Achtung: Es werden alle Aufgaben dieses Übungsblatts korrigiert.