Grundlagen und Graphen

Graphentheoretische Grundlagen
Aufgabe 1
Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, A) mit Knoten V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und
Kanten A = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 7), (6, 8), (7, 4), (7, 6), (7, 8)}.
a) Zeichnen Sie G und bestimmen Sie die Vorgängermengen Vi und Nachfolgermengen Ni für i = 1, . . . , 8. Ist G ein Baum, ist G ein Digraph (= ein endlicher, gerichteter
Graph ohne parallele Kanten und Schlingen)? Enthält G Zyklen? Wenn ja, nennen Sie
ein Beispiel.
b) Nehmen Sie nun an, dass die Kanten in G ungerichtet sind und mit den folgenden
Kosten bewertet werden:
c12 = 2, c13 = 3, c24 = 3, c32 = 2, c43 = 1, c45 = 3, c46 = 6,
c53 = 6, c57 = 7, c68 = 2, c74 = 4, c76 = 5, c78 = 3.
Bestimmen Sie den minimal spannenden Baum mit Hilfe des Verfahrens von Kruskal.
Aufgabe 2
6
11
2
8
10
5
8
4
10
1
1
5
6
10
3
7
9
1
7
7
9
1
5
4
7
5
6
a) Bestimmen Sie den kürzesten Weg von 1 nach 10 mit Hilfe des Verfahrens von Bellman.
b) Bestimmen Sie den kürzesten Weg von 1 nach 10 mit Hilfe des Verfahrens von Dijkstra.
Aufgabe 3
Ein Laden für Tauchzubehör verkauft Schwimmflossen, wobei deren Bedarf für die nächsten 4 Wochen mit b1 = 40, b2 = 30, b3 = 80, b4 = 50 geschätzt wird. Für die Lagerung
nicht verkaufter Schwimmflossen entstehen Lagerhaltungskosten ct (GE pro Stück und
1
Woche) wobei davon ausgegangen wird, dass die gesamte Nachfrage einer Woche am Anfang der Woche anfällt. Bei einer Bestellung in Woche t entstehen Fixkosten von ft und
die Ware wird am Anfang der Woche geliefert. Wie viele Paare von Schwimmflossen sollen
zu Beginn jeder Woche bestellt werden, wenn der Preis der Flossen konstant bleibt und
die Lagerhaltungs- und Fixkosten wie folgt lauten:
Woche t 1
2
3
4
ft
50 20 60 30
ct
0.5 0.3 0.4 0.2
a) Bilden Sie für das angegebene Problem einen gerichteten Graphen, indem Sie für
jede Periode einen Knoten und für jede mögliche Bestellung einen Pfeil einführen. Geben
Sie sinnvolle Pfeilbewertungen an.
b) Lösen sie das Problem, indem Sie mit Hilfe des Verfahrens von Dijkstra einen
kürzesten Weg in Ihrem Graphen suchen.
Aufgabe 4
Ein bewerteter gerichteter Graph mit den Knoten V = {1, 2, 3, 4, 5} sei durch die folgende Entfernungsmatrix gegeben (eine Entfernung ∞ zwischen zwei Knoten zeigt an, dass
dieser Pfeil nicht existiert).
cij 1 2 3 4 5
1 0 ∞ 6 ∞ ∞
2 3 0 5 9 10
3 ∞ 4 0 7 2
4 ∞ ∞ 6 0 9
5 ∞ ∞ ∞ 8 0
Zeichnen Sie den Graphen und benutzen Sie den Tripel Algorithmus, um die kürzesten
Wege zwischen allen Knoten i und j in V zu ermitteln.
2