Aufgabenblatt 1

Aufgabenblatt 1
Theoretische Informatik 1, SS10
Ausgabe: 19.3.2010
Abgabe: 23.4.2010
1
Schreibweisen
(4 Punkte) Schreiben Sie formal korrekt folgende Mengen an, und geben Sie an wieviele Elemente jede Menge enthält bzw. ob sie abzählbar oder überabzählbar unendlich
ist.
• A ist die Menge aller positiven ganzen Zahlen, die durch 3 teilbar und kleiner als
99 sind.
• B ist die Menge alle jener Mengen von Ziffern (0-9), für die die arithmetische
Summe aller enthaltenen Ziffern gleich 38 ist.
• C ist die Menge aller Sprachen über dem Alphabet {a, b, c} die nur Wörter der
Länge 3 enthalten.
• D ist die Menge aller Graphen deren Knoten höchsten den Grad 3 haben.
2
Landau O Rechnung
(3 Punkte) Seien f (n) und g(n) je zwei beliebige der folgenden Funktionen. Entscheiden und beweisen Sie ob f (n) = O(g(n)) oder g(n) = O(f (n)).
n2
3
n3
n2 log n
2n
nn
nlog n
22
n
22
n+1
ungerichtete Graphen
(2 Punkte) Der Grad eines Knoten ist die Anzahl der Kanten, die mit diesem Knoten
verbunden sind. Beweisen Sie: Jeder (einfache, ungerichtete) Graph mit 2 oder mehr
Knoten enthält zumindest 2 Knoten gleichen Grades.
4
Gerichtete acyclische Graphen
Ein directed acyclic Graph (DAG) ist ein gerichteter Graph ohne geschlossene Pfade.
Eine Quelle ist ein Knoten ohne eingehende Kanten, eine Senke ist ein Knoten ohne
ausgehende Kanten.
• (2 Punkte) Beweisen Sie, daß jeder DAG eine Quelle und eine Senke hat.
• (3 Punkte) Beweisen Sie: Ein Graph mit n Knoten ist acyclisch, genau dann
wenn die Knoten des Graphen so mit 1 bis n nummeriert werden können, daß
alle Kanten von niedrigeren Nummern zu höheren Nummern gerichtet sind.
• (2 Punkte) Beschreiben Sie einen (asymptotisch) möglichst effizienten Algorithmus, der feststellt, ob ein gerichteter Graph acyclisch ist und stellen sie fest wieviele Schritte der Algorithmus im schlechtesten Fall benötigt.
1