Diskrete Mathematik (D-ITET) - Cadmo

ETH Zürich
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Angelika Steger
Dr. Uli Wagner
HS 2011
Lösungsvorschlag zu Übungsblatt 5
Diskrete Mathematik (D-ITET)
Aufgabe 1
Sei T ein beliebiger Baum der Tiefe t. Wir können T offenbar durch Anhängen von Knoten zu
einem Baum T 0 der Tiefe t ergänzen, bei dem jeder Knoten der Tiefe < t genau k Kinder hat.
Behauptung: T 0 hat mindestens so viele Blätter wie T .
Beweis: Sei v ein beliebiges Blatt in T . Betrachte den Teilbaum von T 0 , der v als Wurzel hat.
Dieser Teilbaum hat mindestens ein Blatt. Also haben wir zu jedem Blatt aus T mindestens ein
Blatt aus T 0 gefunden. Wir haben dabei auch keine Blätter aus T 0 mehrfach gezählt. Daher gibt
es in T 0 mindestens so viele Blätter wie in T .
Die Anzahl der Blätter in T 0 ist aber genau k t . Also folgt die Behauptung.
Aufgabe 2
Sei T ein Baum auf n Knoten. Wir fixieren einen beliebigen Knoten w als Wurzel dieses Baums.
Man erhält jede zulässige Knotenfärbung von T , indem man ausgehend von der Wurzel die Knoten
nacheinander färbt, wobei ein Knoten erst dann gefärbt wird, wenn auch sein Vorgängerknoten
(mit Bezug auf die Wurzelung von T am Knoten w) schon gefärbt ist. Somit stehen für den
Wurzelknoten alle r Farben zur Verfügung. Jeder der übrigen n − 1 Knoten hat genau einen schon
gefärbten Vorgängerknoten, also stehen für ihn noch r − 1 Farben zur Auswahl. Insgesamt hat der
Baum also r(r − 1)n−1 zulässige Färbungen.
Aufgabe 3
(a) Sei G = (A ] B, E) ein k-regulärer bipartiter Graph. Wir zählen die Kanten des Graphen G,
indem wir entweder die Grade aller Knoten in A aufsummieren, oder indem wir die Grade
aller Knoten in B aufsummieren (doppeltes Abzählen). Wir erhalten |E| = k|A| = k|B| und
damit |A| = |B|. Nach Satz 2.51 aus dem Skript (Satz von Hall) gibt es in G ein Matching
der Kardinalität |A| (das wegen |A| = |B| ein perfektes Matching ist), falls für jede Menge
A0 ⊆ A folgende Bedingung gilt: |Γ(A0 )| ≥ |A0 |. Sei A0 ⊆ A. Wir betrachten den bipartiten
GraphenP
G0 , der von A0 ∪ Γ(A0 ) induziert wird. Doppeltes Abzählen der Kanten von G0 ergibt
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k|A | = v∈Γ(A0 ) degG0 (v) ≤ |Γ(A0 )|k, da der Grad eines jeden Knotens in G0 nicht grösser
ist als der Grad in G. Division durch k liefert die gewünschte Ungleichung. Der Satz von
Hall liefert uns also zunächst ein perfektes Matching in G. Entfernen wir dieses, so verbleibt
ein (k − 1)-regulärer Graph, auf den wir das obige Vorgehen wiederholt anwenden können.
Insgesamt erhalten wir also eine Partition der Kantenmenge von G in k disjunkte perfekte
Matchings.
(b) Sei ein lateinisches r × n-Rechteck gegeben, so konstruieren wir daraus einen bipartiten Graphen G = (S ] {1, . . . , n}, E), wobei S := {s1 , . . . , sn } die Menge der Spalten ist, und eine
Spalte si mit genau denjenigen Zahlen aus der Menge {1, . . . , n} durch eine Kante verbunden
ist, die in dieser Spalte nicht vorkommen. Wir zeigen im Folgenden, dass alle Knoten in G
genau Grad n − r besitzen; dann können wir mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe (a) ebensoviele disjunkte perfekte Matchings in G finden. Jedes dieser Matchings gibt an, wie eine
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weitere Zeile des Ausgangsrechtecks ohne Widersprüche ausgefüllt werden kann (so dass am
Ende ein lateinisches n × n-Quadrat entsteht).
Zunächst einmal gilt in G sicherlich deg(si ) = n − r. Weiterhin kommt jede der Zahlen 1, . . . , n
in den ersten r Zeilen des Ausgangsrechtecks genau einmal vor, insgesamt also in genau r
Spalten (und in genau n − r Spalten nicht). Damit gilt also auch deg(i) = n − r für alle
i = 1, . . . , n, und G ist tatsächlich (n − r)-regulär.
Aufgabe 4
(a)
(b) Sei G = (V, E) ein Graph mit sechs Knoten und 13 Kanten. Dann gilt |E| = 13 > 12 =
3 · 6 − 6 = 3|V | − 6 und somit folgt aus Satz 2.57, dass der Graph nicht planar ist.
(c) Sei G =P
(V, E) ein planarer Graph, in dem jeder Knoten mindestens Grad 4 hat. Dann gilt
|E| = 12 v∈V deg(v) ≥ 12 4|V | = 2|V |. Setzen wir dies in die eulersche Polyederformel ein, so
erhalten wir für die Anzahl der Gebiete |E| − |V | + 2 ≥ 2|V | − |V | + 2 = |V | + 2.
(d) Der erste Graph ist nicht planar, denn er enthält eine Unterteilung des K3,3 als Untergraphen.
Der zweite Graph ist planar, denn man kann ihn überschneidungsfrei in der Ebene zeichnen.
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