Der 5 Farben Satz

Der 5 Farben Satz
Jeder planarer Graph mit n Knoten G(n) ist mit 5 farben einfärbbar.
Der 5 Farben Satz
Vorraussetzung:
Für alle planaren Graphen G(n) gilt: Es existiert mindestens ein Knoten V mit 5 oder
weniger Kanten ((V)<=5). (resultiert aus: Eulerschem Polyedersatz)
Annahme: Jeder planarer Graph mit n Knoten G(n) ist mit 5 farben einfärbbar.
n<= 5 : trivial
Beweis durch Induktion:
Wir nehmen ein Graphen G(n) und entfernen einen Knoten V (s.o.)
==> G' = G(n-1)
Wir erhalten einen Subgraph H der Knoten V1, V2, ... welche mit V verbunden sind.
Fall 1: Weniger als 5 Knoten mit V verbunden.
Trivial: weil 4 (oder weniger) Farben verwenden um die Knoten zu färben + Farbe für
V --> maximal 5
Der 5 Farben Satz
Fall 2: V ist mit 5 Knoten verbunden:
V1
V5
V2
V
V4
V3
Damit der 5 Farben Satz nicht gilt müssten alle Knoten V1, ..., V5 unterschiedliche Farben
benötigen.
Um diese Forderung zu erreichen, verbinden wir V1 und V3.
--> V1 und V3 sind unterschiedlich gefärbt
Der 5 Farben Satz
Fall 2: V ist mit 5 Knoten verbunden:
V1
V5
V2
V
V4
V3
Das Gleiche muss auch für V2 und V4 gelten. Diese kann man aber nicht verbinden.
--> V2 und V4 können die gleiche Farbe besitzen
--> Höchstanzahl der Farben im Subgraph = 5
Der 5 Farben Satz
Algorithmus zum Färben:
Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Five_color_theorem
“In concept, the algorithm is recursive, reducing the graph to a smaller graph with one less
vertex, five-coloring that graph, and then using that coloring to determine a coloring for the
larger graph in constant time. In practice, rather than maintain an explicit graph
representation for each reduced graph, we will remove vertices from the graph as we go,
adding them to a stack, then color them as we pop them back off the stack at the end.“
- linear time -