¨Ubungen zur Optik (E3-E3p-EPIII) Blatt 6 Aufgabe 23

Übungen zur Optik (E3-E3p-EPIII)
Blatt 6
Wintersemester 2016/2017
Vorlesung: Thomas Udem
Übung: Nils Haag ([email protected])
ausgegeben am 22.11.2016
besprochen ab 28.11.2016
Die Aufgaben ohne Stern sind von allen Studenten zu bearbeiten.
Die Aufgaben mit einem Stern (*) sind nur von Studenten der E3 und E3p zu bearbeiten
(freiwillig für EPIII).
Die Aufgaben mit zwei Sternen (**) müssen nur von Studenten der E3 bearbeitet werden
(alle anderen dürfen natürlich freiwillig).
Aufgabe 23
Schichtwellenleiter - geometrisch
Ein Schichtwellenleiter bestehe aus einem Kern der Dicke d = 100 µm mit Brechungsindex
nK = 1,52, welcher mit einem Material mit nM = 1,50 ummantelt ist. Licht der Wellenlänge
1,5 µm (also d λ) wird an einer planen Eintrittsfläche eingekoppelt.
Betrachten Sie rein geometrisch (strahlenoptisch) die Ausbreitung innerhalb des Wellenleiters.
a) Der Leiter kann bis zu einem gewissen Radius gebogen werden. Berechnen Sie den
Radius, ab dem parallel zur Strahlachse einfallendes Licht nicht mehr vollständig
durch den Wellenleiter geführt werden kann.
b) Bis zu welchem Winkel α zur Leiterachse kann Licht in den gerade liegenden Wellenleiter eingekoppelt werden, so dass es verlustfrei durch den Leiter geführt wird?
c) Aus verschiedenen Einkoppelwinkeln resultieren unterschiedliche Weglängen im Leiter. Wie groß ist der zusätzliche optische Weg eines mit dem maximalen Winkel α
eingekoppelten Strahles relativ zu einem paraxialen Strahl? Wie groß ist der dadurch
entstehende Laufzeitunterschied in Einheiten von ns/km?
d) Die Bits werden bei der Übertragung durch Lichtimpulse dargestellt. Die Laufzeitunterschiede begrenzen die Übertragungsreichweite bei einer vorgegebenen Übertragungsrate. Schätzen Sie grob die Strecke ab, die bei einer Rate von 384 kHz erreicht
werden kann, bevor sich aufeinanderfolgende Bits überlagern?
e) Der Leiter besitzt eine Dämpfung von 0,20 dB/km. Wie groß ist die Signalstärke nach
der Strecke aus Aufgabe d)?
Aufgabe 24
Schichtwellenleiter - wellenoptisch**
Die Ergebnisse der vorigen Aufgabe zeigen, dass ein solcher Vielmoden-Wellenleiter nicht
für moderne Anforderungen der Signalübertragung geeignet ist. Wir betrachten nun den
selben Schichtwellenleiter wellenoptisch (d = 100 µm, nK = 1,5).
Die Moden haben im Kern den folgenden Wellenzahlvektor (siehe Vorlesung):


±m πd
~kK =  0 
kz
mit kz =
q
nK ω 2
c
− m πd
2
m = 1, 2, 3, ...
a) Geben Sie die Formel für die Geschwindigkeit der Phasenfronten entlang der zRichtung für die Mode m an.
b) Kann die Phasengeschwindigkeit entlang der z-Richtung größer als c werden? Geben
Sie ein Beispiel an für Wellen der Vakuumwellenlänge λ = 1500 nm.
c) Berechnen Sie die Gruppengeschwindigkeit entlang der z-Richtung für eine Mode
m unter der Annahme, dass es keine Materialdispersion gibt, d.h. nK 6= nK (ω).
Vergleichen Sie mit der Phasengeschwindigkeit.
r
d) Gegeben sei die Gruppengeschwindigkeit vgr,z =
c
nK
1−
mλ
2dnK
2
der Mode m des
Schichtwellenleiters . Berechnen Sie die maximale Differenz der Ankunftszeiten zweier
gleichzeitig gestarteter Pulse nach einer Länge von L = 100 km. Nehmen Sie dabei
wieder nK 6= nK (ω) an.
e) Wie hoch ist die maximale Bitrate auf Grund dieser sogenannten Modendispersion
in Teil d)? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat in Aufgabe 23 d).
Aufgabe 25
In 0,1 Sekunden um die Welt*
In dieser Aufgabe sollen Sie herleiten, unter welchen Bedingungen es vorstellbar wäre, dass
Lichtstrahlen knapp über der Erdoberfläche um die Erde laufen (und man so seinen eigenen
Rücken beobachten könnte). Wir machen dazu folgende Annahmen:
a) Auf Meereshöhe ist der tatsächliche Brechungsindex von Luft no = 1, 0003.
b) Die Abweichung des Brechungsindex von 1 ist proportional zur Dichte ρ der Luft
gemäß:
n(r) − 1 ∼ ρ(r)
c) Die Dichte der Luft sinkt mit zunehmender Höhe gemäß (isotherme Atmosphäre):
ρ(r) = ρ0 · e−
r−R
hs
dabei ist r der Abstand vom Erdmittelpunkt, R der Erdradius und hs = 8700 m die
Skalenhöhe.
Unter diesen Annahmen sollen Sie ableiten, wie stark sich die Dichte von Luft auf Meereshöhe von der tatsächlichen Dichte unterscheiden müsste, um eine Propagation von Lichtstrahlen 1 m über der Erdoberfläche zu ermöglichen.
a) Bestimmen Sie dazu den optischen Weg zwischen zwei Punkten, die sich 1 m über der
Erdoberfläche befinden und verwenden Sie das Fermatsche Prinzip in dem Sinne, dass sich
die optische Weglänge bei einer kleinen Veränderung der Umlaufhöhe nicht ändern darf.
b) Betrachten Sie nun Licht, das von der Sonne in Richtung Erde gesandt wird. Diskutieren
Sie, welchem üblichen optischen Element die Erd(atmosphär)e entspricht (nun wieder mit
der tatsächlichen Dichte).