Kapitel 13

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13
Die trigonometrischen Funktionen
Wir schreiben die Werte der komplexen Exponentialfunktion im Folgenden auch als
ez = exp(z)
(z ∈ C).
Geometrisch definiert man üblicherweise die Werte der Winkelfunktion cos t, sin t als x-Koordinate bzw.
y-Koordinate des Schnittpunktes des Halbstrahls vom Koordinatenursprung in Richtung des Winkels t
mit dem Einheitskreis. Wir haben in Satz 12.11 gesehen, dass alle komplexen Zahlen der Form eit =
exp(it)
(t ∈ R) auf dem Einheitskreis in C = R2 liegen.
Definition 13.1. Für t ∈ R definiert man
cos t = Re eit und sin t = Im eit .
Mit den in Satz 12.11 hergeleiteten Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion erhält man sofort
einige elementare Eigenschaften der so definierten Funktionen.
Lemma 13.2. (a) Für alle t ∈ R gilt:
(i) eit = cos t + i sin t (Eulersche Formel)
(ii) cos t =
eit +e−it
,
2
sin t =
eit −e−it
.
2i
(b) Die Funktionen cos : R → R, t 7→ cos t und sin = R → R, t 7→ sin t sind stetig.
Beweis. Teil (a) folgt direkt aus der Definition. Zum Beweis von Teil (b) sei (tn )n∈N eine konvergente
Folge in R mit Limes t ∈ R. Nach Satz 12.11 gilt dann limn→∞ eitn = eit . Mit Satz 12.5 erhält man, dass
limn→∞ cos tn = limn→∞ Re eitn = Re eit = cos t und limn→∞ sin tn = limn→∞ Im eitn = Im eit = sin t
ist.
Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion impliziert die Additionstheoreme für die
Winkelfunktionen Sinus und Cosinus.
Satz 13.3. (Additionstheoreme) Für alle x, y ∈ R gilt:
(a) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y,
(b) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
Beweis. Definitionsgemäß gilt für x, y ∈ R
cos(x + y) = Re ei(x+y) = Re (eix eiy ) = Re eix Re eiy − Im eix Im eiy = cos x cos y − sin x sin y.
völlig analog erhält man die Formal in (b).
69
Mit der Reihendarstellung der komplexen Exponentialfunktion erhält man sehr einfach Reihendarstellungen für Sinus und Cosinus.
Satz 13.4. Für alle x ∈ R gilt
cos x =
∞
X
∞
X
x2k
x2k+1
, sin x =
,
(−1)k
(2k)!
(2k + 1)!
(−1)k
k=0
k=0
wobei die Reihen absolut konvergieren in jedem x ∈ R.
Beweis. Die absolute Konvergenz der ersten Reihe folgt aus der Beschränktheit der Partialsummenfolge
2n
n 2k X
X
|x|k
(−1)k x ≤
≤ e|x| < ∞.
(2k)! k!
k=0
k=0
Eine analoge Abschätzung liefert die absolute Konvergenz der zweiten Reihe. Wegen i2 = −1 gilt für alle
x∈R
cos x + i sin x = eix = lim
2n+1
X
n→∞
=
=
n
X
lim
n→∞
∞
X
n
X
x2k+1
x2k
+i
(i2 )k
(i )
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
2k
k=0
!
2 k
k=0
(−1)k
k=0
(ix)k
k!
x
+i
(2k)!
∞
X
(−1)k
k=0
x2k+1
.
(2k+1 )!
Dabei haben wir im letzten Schritt Satz 12.5 (a) benutzt. Durch Real- und Imaginärteilvergleich erhält
man die behaupteten Reihendarstellungen.
Fehlerabschätzungen zeigen, wie gut sich die Werte von Cosinus und Sinus durch die endlichen Teilsummen
der darstellenden Reihen approximieren lassen.
Lemma 13.5. (Restgliedabschätzungen) Seien rn : R → R(n ≥ 2) definiert durch
cos x
sin x
=
=
n
X
(−1)k
k=0
n
X
(−1)k
k=0
x2k
+ r2n+2 (x),
(2k)!
x2k+1
+ r2n+3 (x).
(2k + 1)!
Dann gelten für n ≥ 0 die Abschätzungen
|r2n+2 (x)|
≤
|r2n+3 (x)|
≤
|x|2n+2
für |x| ≤ 2n + 3,
(2n + 2)!
|x|2n+3
für |x| ≤ 2n + 4.
(2n + 3)!
Für n = 0 erhält man insbesondere, dass | cos x−1| = |r2 (x)| ≤
|x|3
6
für |x| ≤ 4.
70
|x|2
2
für |x| ≤ 3 und | sin x−x| = |r3 (x)| ≤
Beweis. Für x ∈ R und n ∈ N gilt
∞
X
2k |x|2n+2
x
|r2n+2 (x)| = (−1)k
= |1 − a1 + a2 − a3 + a4 − . . .|
(2k)! (2n + 2)!
k=n+1
2n+2
x
mit (man klammere (−1)n+1 (2n+2)!
aus!)
ai = ai (x) =
|x|2i
(i ≥ 1).
(2n + 3) · · · (2n + 2i + 2)
Setzt man a0 = 1, so ist wegen
ai =
|x|2
ai−1 ≤ ai−1
(2n + 2i + 1)(2n + 2i + 2)
für i ≥ 1 und |x| ≤ 2n + 3 die Folge (ai )i≥0 monoton fallend. Da die Reihe
P∞
i=0 (−1)
i
ai konvergiert,
erhält man durch Zusammenfassen jeweils zweier aufeinander folgender Summanden die Abschätzungen
1
≥
1 − (a1 − a2 ) − (a3 − a4 ) − (a5 − a6 ) − . . .
≥
(1 − a1 ) + (a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + . . . ≥ 0.
Damit erhält man für |x| ≤ 2n + 3, dass
|r2n+2 (x)| ≤
|x|2n+2
(2n + 2)!
für alle n ∈ N gilt. Ganz ähnlich folgt die Restgliedabschätzung für den Sinus.
Korollar 13.6. Es gilt
lim
x→0
x6=0
Für 0 < x <
√
sin x
cos x − 1
= 1 und lim
= 0.
x→0
x
x
x6=0
6 ist sin x > 0.
Beweis. Für 0 < |x| ≤ 4 gilt nach Satz 13.5
sin x
sin x − x |x|2 (x→0)
≤
−→ 0.
x − 1 = x
6
√
√
Wegen sinx x − 1 < 1 für |x| < 6 ist sin x > 0 für 0 < x < 6. Für 0 < |x| ≤ 3 gilt nach Satz 13.5
cos x − 1 |x| (x→0)
≤
−→ 0.
x
2
Damit sind alle Teile des Korollars gezeigt.
Im Folgenden wollen wir unter anderem die Nullstellen von Cosinus und Sinus bestimmen.
71
Satz 13.7. Es gibt genau ein x ∈]0, 2[ mit cos x = 0.
Beweis. Wir begründen zunächst die Existenz einer Nullstelle in ]0, 2[. Lemma 13.5 mit n = 1 liefert für
|x| ≤ 5 die Restgliedabschätzung |r4 (x)| ≤ |x|4 /4!. Insbesondere gilt
cos 2 = 1 −
22
8
1
+ r4 (2) ≤ −1 + |r4 (2)| ≤ −
=− .
2
24
3
Wegen cos 0 = 1 impliziert der Zwischenwertsatz (Satz 10.1) angewendet auf die stetige Funktion cos |[0,2]
die Existenz einer Nullstelle in ]0, 2[. Um zu begründen, dass es nur eine Nullstelle im Intervall [0, 2] gibt,
genügt es zu zeigen, dass der Cosinus streng monoton fällt auf diesem Intervall. Für s, t ∈ R erhält man
mit Satz 13.3, dass
cos(s + t) − cos(s − t) = (cos s cos t − sin s sin t) − (cos s cos(−t) − sin s sin(−t)) = −2 sin s sin t.
Dabei haben wir benutzt, dass cos(−t) = cos t und sin(−t) = − sin t ist (siehe Satz 13.4). Für 0 ≤ x <
x0 ≤ 2 ist
cos x0 − cos x = −2 sin
x0 + x
2
sin
x0 − x
2
< 0,
denn nach Korollar 13.6 sind die beiden hier auftretenden Werte vom Sinus positive reelle Zahlen. Damit
ist gezeigt, dass die Einschränkung von Cosinus auf das Intervall [0, 2] streng monoton fällt.
Definition 13.8. Wir definieren π als die eindeutige reelle Zahl x im Intervall ]0, 4[ mit cos x2 = 0.
Man kann zeigen, das π eine irrationale Zahl ist (siehe etwa [Aigner-Ziegler, Proofs from the book, Chapter
6]). Eine näherungsweise Berechnung der Zahl π findet man in [O. Forster, Analysis 1].
Korollar 13.9. Sei x ∈ R. Für alle x ∈ R gilt:
3
π
(a) ei 2 = i, eiπ = −1, ei 2 π = −i, e2πi = 1,
(b) cos(x + 2π) = cos x, sin(x + 2π) = sin x,
(c) cos(x ± π) = − cos x, sin(x ± π) = − sin x,
(d) cos x = sin
π
2
− x , sin x = cos
π
2
− x = cos x − π2 .
Beweis. (a) Da
π
2
eine Nullstelle von cos in ]0, 2[ ist und da sin x > 0 ist nach Korollar 13.6 für x ∈]0, 2[,
folgt mit Lemma 13.2, dass
π
sin =
2
r
π
1 − cos2 = 1
2
π
ist. Damit erhält man, dass ei 2 = cos π2 + i sin π2 = i ist. Mit der Funktionalgleichung der Exponentialn
π
funktion (Satz 12.11) sieht man, dass ein 2 = ei π2 = in ist für alle n ∈ N.
Die Teile (b)-(d) folgen aus Teil (a) mit Definiton 13.1 und den Additionstheoremen (Satz 13.3).
72
Korollar 13.10. Es gilt:
(a) {x ∈ R; sin x = 0} = πZ(= {kπ; k ∈ Z}),
(b) {x ∈ R; cos x = 0} =
π
2
+ πZ(= { π2 + kπ; k ∈ Z}),
(c) {x ∈ R; eix = 1} = 2πZ(= {2πk; k ∈ Z}).
Beweis. Wegen sin 0 = 0 und sin(x ± π) = − sin x für alle x ∈ R, ist sin(kπ) = 0 für alle k ∈ Z. Da
cos |[0,2] nach dem Beweis von Satz 13.7 streng monoton fällt und da cos π2 = 0 ist, ist
cos x = cos(−x) > 0 für x ∈ [0,
π
[.
2
Mit Korollar 13.9 erhält man, dass
sin x = cos(x −
π
) > 0 für x ∈]0, π[
2
ist. Ebenfalls nach Korollar 13.9 gilt | sin(x ± π)| = | sin x| für alle x ∈ R. Induktiv folgt daher, dass
| sin x| > 0 ist auf jedem Intervall der Form ]kπ, (k + 1)π[ mit k ∈ Z. Damit ist Teil (a) bewiesen.
Teil (b) folgt aus Teil (a), da cos x = − sin(x − π2 ) ist für alle x ∈ R (Korollar 13.9). Da die komplexe
Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt (Satz 12.11), folgt aus der Darstellung
x
sin
x
x
x
ei 2 − e−i 2
e−i 2 ix
=
=
(e − 1)
2
2i
2i
zusammen mit Teil (a) die Gültigkeit von Teil (c).
Wir wissen (Satz 12.11), dass die komplexen Zahlen der Form eit (t ∈ R) auf dem Einheitskreis in C = R2
liegen. Mit dem Zwischenwertsatz folgt umgekehrt, dass jede Zahl auf dem Einheitskreis eine solche
Darstellung besitzt.
Korollar 13.11. (Polarkoordinaten) Jede komplexe Zahl z ∈ C hat die Gestalt
z = reit mit r ≥ 0 und t ∈ [0, 2π[.
Für z 6= 0 ist t eindeutig bestimmt.
Beweis. Wir dürfen annehmen, dass z 6= 0 ist.
Hat z die angegebene Darstellung, so ist notwendigerweise r = |z|. Definiert man r = |z|, so ist Re z/r ∈
[−1, +1]. Nach dem Zwischenwertsatz (10.1) angewendet auf die stetige Funktion cos |[0,π] existiert ein
ϕ ∈ [0, π] mit cos ϕ = Re z/r. Dann ist
(Im z)2 = |z|2 − (Re z)2 = r2 (1 − cos2 ϕ) = r2 sin2 ϕ
und daher
z = Re z + iIm z = r cos ϕ ± ir sin ϕ = reit
73
mit t = ϕ oder t = −ϕ. Ist z = reit0 6= 0 mit irgendeiner reellen Zahl t0 , so ist r = |z| und mit Korollar
13.10 (c) erhält man, dass
{t ∈ R; z = reit } = t0 + 2πZ
ist. Da jedes Intervall der Form [a, a + 2π[ mit a ∈ R genau eine Zahl aus t0 + 2πZ enthält, folgt auch die
behauptete Eindeutigkeit.
Definition 13.12. Für x ∈ R \ {(2k + 1) π2 ; k ∈ Z} definiert man
tan x =
sin x
cos x
cot x =
cos x
.
sin x
und für x ∈ R \ {kπ; k ∈ Z} setzt man
Satz 13.13. (a) Die Abbildung cos : [0, π] → [−1, 1] ist bijektiv und streng monoton fallend. Die stetige
und streng monoton fallende Umkehrfunktion arccos : [−1, 1] → [0, π] heißt Arcus-Cosinus.
(b) Die Abbildung sin : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] ist bijektiv und streng monoton wachsend mit stetiger und
streng monoton wachsender Umkehrfunktion (Arcus-Sinus) arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ].
(c) Die Abbildung tan :] − π2 , π2 [→ R ist bijektiv und streng monoton wachsend mit stetiger und streng
monton wachsender Umkehrfunktion (Arcus-Tangens) arctan : R →] − π2 , π2 [.
Beweis. (a) Nach dem Beweis von Satz 13.7 ist die Funktion cos |[0, π2 ] streng monoton fallend. Wegen
cos x = − cos(π − x) ist auch cos |[ π2 ,π] streng monoton fallend. Da cos 0 = 1 und cos π = −1 ist, zeigt
der Zwischenwertsatz (10.1), dass cos([0, π]) = [−1, 1]. Die übrigen Behauptungen in (a) folgen aus
Satz 11.4 (und Lemma 13.2 (b)).
(b) Die Behautungen in Teil (b) folgen wegen sin x = cos( π2 − x) aus Teil (a) zusammen mit Satz 11.4.
(c) Als wohldefinierter Quotient stetiger Funktionen ist tan :] − π2 , π2 [→ R stetig (Satz 9.12). Da sin x > 0
und cos x > 0 auf ]0, π2 [ ist, folgt aus dem in (a) und (b) beschriebenen Monotonieverhalten von
Cosinus und Sinus, dass die Funktion tan |[0, π2 [ streng monoton wächst (benutze Satz 3.4 (b)). Da
tan x = − tan(−x) für alle x ∈ R\ π2 (2Z+1) gilt, ist tan x auch streng monoton wachsend auf ]− π2 , 0].
Ist (xn )n∈N eine Folge in ]0, π2 [ mit Limes
π
2,
so folgt aus
cos xn (n→∞)
−→ 0
sin xn
(n∈∞)
sin xn
=
−→ ∞. Also ist limx↑ π2 tan x = ∞ und
cos xn
0<
mit Satz 4.20, dass (tan xn )n∈N
n∈N
limx↓− π2 tan x = limx↓− π2 − tan(−x) = −∞. Die strenge Monotonie impliziert die Injektivität von
tan :] − π2 , π2 [→ R und der Zwischenwertsatz (10.1) die Surjektivität. Ähnlich wie wir im Beweis von
Satz 11.5 die Stetigkeit des Logarithmus begründet haben, erhält man mit Satz 11.4 die Stetigkeit
des Arcus-Tangens.
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