1. Grundlagen:

Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 1. Grundlagen: 1.1 Grösse • G={G}*[G] • Zehnerpotenzen Vorsilbe Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zetta Yotta 10
Zeichen da h k M G T P E Z Y Vorsilbe Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yokto 1 2 3 6 9 12 15 18 21 24 10
Zeichen d c m µ n p f a z y ‐1 ‐2 ‐3 ‐6 ‐9 ‐12 ‐15 ‐18 ‐21 ‐24 1.2 Elektrische Ladung • [Q] = 1 Coulomb = 1 As = 1C • Elementarladung: qe= ‐e = ‐1.60x10‐19 C • Ladungen Q sind immer: Q = n∙e, mit n • Coulombs Gesetz: me = 9.109x10‐31 kg | |
• Strömungsgeschwindigkeit: ,ε0 = 8.855x10‐12As/Vm, = 8.987x109 Nm2/C2 1.3 Elektrisches Feld • Die Probeladung q erfährt im Einflussbereich des elektrischen Feldes die Kraft: , [E]=V/m • Die Feldstärke im Punkt der erzeugenden Punktladung Q: , | |
| |
• Arbeit im elektr. Feld ist wegunabhängig. Ist W>0, so wurde Arbeit abgegeben. · · · · ·
· [W] = 1J = 1 Joule • Das elektr. Feld wird durch Feldlinien beschrieben, welche bez. Q kugelsymmetrisch ist. Feldlinien starten und enden immer auf elektr. Ladungen, verlassen diese senkrecht und schneiden sich nie. 1.4 Spannung, Potential • Ein positives q bewegt sich vom höheren Potential zum niedrigerem → verursacht Strom. ·
[U] = 1 V = 1 Volt • Die Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten. • Kirchhoff’s Voltage Law: Die Summe aller Spannungen über einem geschlossenen Umlauf 0. • Ideale Spannungsquellen dürfen nicht parallel geschaltet werden. 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 1 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 1.5 Elektrische Strom Strom = Ladungsmenge Q, welche in der Zeiteinheit durch eine bestimmte Fläche A fliesst. Der Strom hat eine Richtung, die mit der Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger übereinstimmt. Der Strom fliesst nur in einem geschlossenen Umlauf. [I] = 1 A = C/s= Ampère Stromdichte: [S] = A/m2 (üblicherweise 1…10 A/m2) • Kirchhoff’s Current Law: In einem Knoten muss die Summe aller ein‐ und ausgehenden Ströme ver‐
schwinden. Ströme, die auf den Knoten zufliessen, haben ein positives Vorzeichen. • Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Elektrons im Metall ist sehr niedrig (0.07mm/s). Die Be‐
schleunig hingegen beträgt 180x109 m/s2. 1.6 Widerstand • Stromdichtevektor: , mit [ρ] ist spezifischer elektrischer Widerstand Ωm • Elektr. Leitfähigkeit: , [κ] = (Ωm)‐1 • Spezifischer Widerstand: 1
20° , in °C, α: Temperaturbeiwert in K‐1 , [R] = 1 Ω = 1 Ohm = 1 V/A • Elektrischer Leitwert : , [G] = 1 S = 1 Siemens = 1 Ω‐1 • Ohmsches Gesetz: 1.7 Arbeit und Leistung · bzw. • Leistung ist Arbeit pro Zeit: • Arbeit: 1
·
3.6 · : verknüpft Strom mit Spannung ·
· ·
·
, [P] = 1W = 1 Watt = 1 VA = Nm/s = J/s , [W] = 1 J = 1 Joule = 1 Ws = 1 Nm • Leistung am Widerstand: • Quellenanpassung im Nachrichtendienst verlangt ein Maximum der Leistung: Das Leistungsmaximum wird erreicht, wenn RLast = Rinnen mit • Wirkungsgrad: , nach Quellenanpassung: 2. Gleichstromnetzwerke 2.1 Spannungs‐ und Stromquellen, Quellenumwandlung • Bei der idealen Spannungsquelle ist die Spannung unabh. vom entnommenen Strom. Ideale Spannungsquellen dürfen nicht parallel geschaltet werden, da überbestimmt. Ideale Spannungsquellen dürfen nicht kurzgeschlossen werden, lim
da ∞ • Die reale Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand Ri und besitzt im Kurzschlussfall den endli‐
chen Wert Ik. ·
bei I=0
Leerlauf: Kurzschluss:
U = 0,
二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 2 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET • Die ideale Stromquelle liefert unabh. Von den Belastungen einen konstanten Strom. Ideale Stromquellen dürfen nicht in Serie geschaltet werden. Der Kurz‐
schluss hier ist ungefährlich, da lim
·
0. Hingegen sind offene lim
·
∞. Klemmen nicht erlaubt wegen Eine Mindestbelastung ist also nötig. • Eine reale Stromquelle hat einen Innenwiderstand Ri und kann durch hochohmige Spannungsquel‐
len realisiert werden. · Spannung fällt nur über Innenwiderstand ab Leerlauf: Kurzschluss: 2.2 Quellenumwandlung Für reale Strom‐ und Spannungsquellen Stromquelle Spannungsquelle 2.3 Spannungsteiler (Unbelasteter) Spannungsteiler: , ,
1
1
, , 1
: Abweichung vom Idealverhalten 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 3 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 2.4 Parallel‐ und Serieschaltungen von R, G, C und L Widerstand R ∑
Serie Leitwerte G ∑ ∑ Parallel ∑
Kapazität C ∑ ∑
Induktivität L ∑
∑
2.5 Diode 0
0
0 0 Shokley‐Modell zur Berechnung der Verlustleisung: ln
1 , 1 , 25.26
bei 20°C IS = Sperrstrom, UT = Temperaturspannung, [T] = K = absolute Temperatur k = Boltzmann‐Konstante(1.3807x10‐23 VAs/K), qe = Elementarladung(1.6022x10‐19C) Zener‐Diode: Sie sind für den Betrieb in die Sperrrichtung ausgelegt. Die Spannung dort ist sehr gut definiert. Im Durchlassbereich verhält sie sich wie eine normale Diode. Ersatzschaltbild Zenerdiode IZmin < IZ < IZmax Eigenschaften Zenerdiode: In der Durchlassrichtung wie eine normale Diode. Bsp: Spannungsstabilisierung Ia=0 2.6 Graetzschaltung Über RL fliesst der Strom immer in die gleiche Richtung, obwohl eine Wechselspannung anliegt. Die Graetzschaltung wird als Verpolungsschutz bei elektrischen Geräten verwendet.
二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 4 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 2.7 Metalloxid‐Ableiter / Varistor Überspannungsschutz: Bis zur Ansprechspannung UA isoliert er gut (hochohmig). Steigt die Spannung über UA, wird der Varistor niederohmig und Strom beginnt zu fliessen. Die Spannung über dem Varistor bleibt somit bei ca UA. 2.8 Bipolar‐Transistor (npn) Mit einem sehr kleinen Basisstrom IB lässt sich ein grosser Kollektorstrom IC steuern. Im linearen Bereich gilt: 1
·
B=Stromverstärkung=20 …120 Für ideal (UEarlyÆ∞): · (Kennliniensteigung) Emitterstrom: Grundschaltungen: Emitterschaltung Das Potential des Emitters ist Bezugspotential für Eingangs‐ und Ausgangskreis. Strom und Spannung werden verstärkt Æ grosse Leistungsverstärkung Kollektorschaltung Das Potential des Kollektors ist Bezugspotential für Eingangs‐ und Ausgangsspannung. Emmiterpotential folgt dem Basispotential Æ Spannungsverstärkung ist <1. Jedoch Stromverstärkung und Impedanzumwandlung 1
Basisschaltung Spannungsverstärkung 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 5 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 2.9 Kondensator / Kapazität Der Kondensator sammelt Ladungen, wobei UC nicht springen kann, da dazu ein unendlich grosser Strom nötig wäre. C hängt von der Geometrie der Leiter sowie von der Materie im Zwischenraum ab. •
[C] = 1F = 1C/V = 1Farad bzw. A=Plattenfläche, d=Abstand • In der Praxis liegt C bei pF, µF oder mF. • uC t
i t dt
C
Q
U 0 resp. UC
C
C
und iC
• Im elektrischen Feld gespeicherte Energie : UC
• Sobald ein Kondensator aufgeladen ist, fliesst kein Strom mehr durch: t Æ∞, iC=0 /
• Entladung eines Kondensator: R = Entladewiderstand Bsp RC‐Aufladung eines Kondensators: DGL 1. Grades Annahme: Anfangs ungeladen /
Ansatz: T := RC Æ Anfangs‐&Endbedigung /
/
/
1
, , T: nach 1T wurde 63% des Endwertes erreicht, nach 5T mehr als 99%. 2.10 Induktivität: Der Strom durch eine Spule kann nicht springen! • • Leistung einer Spule :
·
·
[L] = 1H = 1Vs/A = 1 Henry
L = Selbstinduktionskoeffizient • Im magnetischen Feld gespeicherte Energie: Bsp RL‐Kreis: DGL 1. Grades Annahme: Strom am Anfang = 0 (d.h. uL(t)=Uq) ↔
Ansatz (A & B durch Überlegungen bei t=0 & t=∞): / /
oder T := L/R 1
/
oder /
2.11 Schwingkreise: Einerseits wird Leistung im Widerstand umgesetzt, andererseits wird Energie zwischen den Speichern ausgetauscht. Vorgehen bei einem Schwingkreis: 1.
2.
3.
4.
5.
Elementgleichungen aufstellen: ,
,
Maschen‐ und Knotengleichungen aufstellen Differentialgleichung daraus erstellen (wenn nötig zusätzlich ableiten) Lösen der DGL: chp(λ) für yH, eine yP bestimmen und AWP beachten Beispiel anschauen…. 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 6 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET Bsp: Serie‐Schwingkreis: DGL 2. Grades (Vorlesung) oder DGL: 1) 2) 0 Æ /
Aperiodischer Fall: det(chp(λ)) > 0, λ1/2 ε R:
1)
(hom.) Aperiodischer Grenzfall: det(chp(λ)) = 0, λ1/2 ε R:
2)
1)
2)
1)
2)
(hom.) det(chp(λ)) < 0, λ1/2 ε C:
Periodischer Fall: cos
cos
1
, 2
ü 1
√
,
sin
sin
1
, 2
D = Dämpfung, ω0 = Kreisfrequenz des unged. Kreises, ω = Kreisfrequenz des gedämpften Kreises
Gedämpfte Schwingung mit kleinem Widerstand, nur wenig Energie wird über dem Widerstand umgesetzt. Der Widerstand dämpft den Energieaustausch Æ Amplitude sinkt Bsp: Parallelschwingkreis: DGL 2. Grades 0 DGL: 0 Æ AWP: 0
0
/
cos
Ansatz: 0
sin
,
√1
,
,
Koeff.‐Vergleich: √
2.12 Operationsverstärker Der Operationsverstärker (OpAmp) ist ein aktives Element und braucht deshalb eine Versorgungsspannung Us, die jedoch in Zeichnungen häufig weggelassen werden. mit Verstärkung v = 104…106
Idealer OpAmp: Die Verstärkung ist ∞. Da die Ausgansspannung Ua endlich ist: ∞ Æ 0 Æ 0 Es fliesst also kein Strom hinein. Realer OpAmp: • v ist endlich und temperaturabhängig • ‐Us < Uep,Uen < Us • Offset‐Grössen Ueo, Iep, Ien bewirken eine Veränderung der Ausgangsspannung • Ua, Ia, Uep, Ue: nur begrenzte Werte • Die Verstärkung für beide Eingänge sind nicht exakt gleich: ∆
二〇〇八年六月十六日星期一 ∆
∆
Xiaojing Zhang (Gleichtaktunterdrückung) Seite 7 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET Invertierender Verstärker: ↔
→ Summierverstärker: für Digital‐/Analogwandler: Verhältnis RK/REi klug wählen 0
Æ 2
Bsp: 2
2
2
Spannungsfolger: 0 Der Spannungsfolger belastet die steuernde Quelle nicht Æ damit kann man schwache Spannungsquellen in der Messtechnik belastbar machen. (Bsp Spannungsteiler) Differenzverstärker Beide Eingänge werden angesteuert! , 0 Æ
/
/
Wähle R0/RE2=RK/RE1 = v Æ Integrierer: 0 ↔ 0 , Steigung Die Integrationskonstante UA(0) ist die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt 0. Anwendung: Dreieckgenerator Differenzierer: Integrierer Doppelintegrierer 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 8 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET Differenzierer Doppeldifferenzierer 3. Netzwerkanalyse Verbraucherzählpfeilsystem: P = U∙I = U2/R = R∙I2 P > 0, falls Strom und Spannung in die gleiche Richtung zeigen Ist P > 0, so ist es ein Verbraucher. Ist hingegen P < 0, so ist es ein Erzeuger. 3.1 Überlagerungsgesetz In linearen Netzwerken sind Ursache und Wirkung proportional. Für deren Berechnung bedeutet dies, dass zunächst alle Teilströme einzeln als Wirkung von einzelnen Spannungs‐ und Stromquellen berechnet werden können. Danach werden die einzelnen Teilströme (mit richtigem Vorzeichen!) addiert, um die resultierenden Ströme zu erhalten (Superposition). Bei der Berechnung der Teilströme werden die jeweils nicht betrachteten Spannungsquellen durch Kurzschlüsse, nicht betrachtete Stromquellen durch Leerläufe/Unterbrüche ersetzt. • Ersatz‐Innenwiderstände von Quellen sind bei deren Deaktivierung im Netzwerk zu belassen. • Es sind nur die restl. Quellen, nicht aber die gesteuerte Quelle zu entfernen. • Anfangskondensatorspannungen müssen durch eine ideale Spannungsquelle in Reihe und Anfangsspulenströme durch eine ideale Gleichstromquelle parallel berücksichtigt werden. 3.2 Netzwerktopologie Graph: Zweig z/zw: kennzeichnet mit Zweigen und Knoten das Netzwerk nummerierte Verbindung zwischen 2 Knoten (ideale Spannungsquellen kurzschliessen, ideale Stromquellen Leerlauf) Knoten k: jede Klemme eines Zweipolt ist ein Knoten, hat eine eindeutige Nummer Maschen m: ein geschlossener Linienzug: m = z – k + 1 Baum: verbindet alle Knoten, ohne dass eine Masche entsteht (mehrere Möglichkeiten) Ast zB/za: Zweig eines Baumes: za/zB = k‐1 Sehne {s=z\zB}: Zweige, die nicht im Baum vorkommen: s = m = z – k + 1 = z – zB Baumkomplement: Graph mit Ästen und Sehnen Zweigliste: Anfangs‐ und Endknoten werden durch die Pfeil‐
richtungen für den Strom festgelegt. Die Spannungs‐
richtung hat nach dem Verbraucherzählpfeilsystem die gleiche Richtung wie der Strom. Zusätzlich Zweigimpedanzen möglich.
二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 9 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET Knoten‐Zweig‐Inzidenzmatrix AKZ: {‐1,0,1} Strom: 1 Æ ‐1 Spannungsquellen: • Befinden sich i.d.R. im Zuge eines Zweiges mit Impedanzen • Muss mit Vorzeichen (Richtung) versehen werden. Muss nicht dieselbe Richtung wie Strom haben. Spannungsrichtungen von passiven Zweigelemente haben jedoch dieselbe Richtung wie die Zweigstromrichtung! Stromquelle: • Greift an 2 Knoten an • Muss mit Vorzeichen (Richtung) versehen werden • Ideale Stromquellen liegen immer parallel zu einem Zweig Bei einer idealen Spannungsquelle, die nicht im Zuge mit einem Widerstand ist, setzt man künstlich einen Widerstand R in Serie ein und lässt ihn am Schluss gegen Null laufen (RÆ0). Bei einer idealen Stromquelle, die nicht parallel zu einem Zweig mit passivem Element ist, führt man einen parallelen Widerstand R ein und lässt diesen gegen Schluss gegen unendlich gehen (R Æ ∞). 3.3 Maschenstromverfahren (Achtung Spezialfälle!) 1. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln und evtl. fehlende Innenwiderstände einfügen und gegen 0 laufen lassen. 2. Festlegung eines Baumes und der Sehnen zur Ermittlung der unabh. Maschen: m = z – k + 1 3. Nummerieren der Zweige und Eintragen der Zweigströme mit Zählpfeilen in den Graphen. Sehnenströme sind wesentlich für das Netzwerk und werden als unabh. Ströme/Maschenströme bezeichnet. Mit Vorteil werden zuerst die Sehnenzweige nummeriert. 4. Aufstellen der Impedanzmatrix (Diagonalmatrix) ZZ, welche alle Zweigimpedanzen in der im vorangehenden Schritt bestimmten Reihenfolge bestimmt. 0 0
· 0
0 0 0
5. Eintragen der Maschen mit Sehnenströme als Maschenströme mit Umlaufrichtung des Sehnenstromes. Jede Masche umfasst genau eine Sehne. 6. KCL: Aufstellen der Zweig‐Sehnen‐Inzidenzmatrix AZS. Alle Zweigströme werden durch die Maschenströme ausgedrückt. · , [z x m] Spalten‐Nr = Masche‐Nr: fliesst der Strom in Richtung der Masche (+1), sonst ein (‐1). 7. Bildung der Maschenimpedanzmatrix Zm durch die Zweigimpedanz‐Diagonalmatrix ZZ: [Zm] = Ω symmetrische quadratische Matrix: 8. Bildung der eingeprägten Maschenspannung unter Verwendung der vorzeichenrichtig eingesetzten Zweigspannungsquelle Uqz: Uqz ist eine Spaltenvektor. Das i‐te Element ist die Summe der Spannungsquellen im Zweig i. Eine Spannungsquelle ist negativ, falls sie in Gegenrichtung zur Stromrichtung liegt. Uqm = Quelle total in einer Masche 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 10 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 9. Bestimmung der Maschenströme mit Gauss: 10.Rückrechnen auf die Zweigströme IZ und totalen Zweigspannungen UZtotal. , Besteht ein Zweig aus mehreren Elementen, müssen die Spannunge auf die einzlenen Elemente aufgeteilt werden (Spannungsteiler, Maschenregel…) 3.4 Abgekürztes Maschenverfahren 1. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln. Baum, Sehnen, Maschen mit Stromrichtungen bestimmten. 2. Bestimmen der Maschenimpedanzmatrix‐Diagonalelmente Zm(i,i): Summe aller in der Masche i liegenden Impedanzen. Alle Impedanzen ( =: Umlaufwiderstände) werden positiv gezählt. 3. Bestimmung der Maschenimpedanzmatrix‐Nebendiagonalelmente Zm(i,j) i≠j: Summe derjenige Zweigimpedanzen ( =: Kopplungswiderstände), welche gemeinsam von den Maschen i und j durchlaufen werden. bedeutet: wenn das Element von beiden Maschen i, j im gleichen Sinne durchlaufen werden, dann positiv(+), sonst negativ( –). 4. Bestimmung der rechten Seite: Maschenspannungen Uqm(i): Summe aller in der Masche i liegenden Spannungsquellen. Eine Spannungsquelle ist positiv(+), falls sie in Gegenrichtung zum Maschenstrom liegt! Gleiche Richtung = negativ(–). 5. Aus den Maschenströme können wieder die Zweigströme bestimmt werden, wie oben mit AZS. 3.5 Knotenpotentialverfahren (Achtung Spezialfälle!) Gegeben: alle Quellen und Admittanzen. Alle Zweigspannungen sind als Differenz zu einem Bezugsknoten auszudrücken. Anzahl Knotenpotentiale N = k – 1. 1. Umrechnung aller Spannungsquellen nach Stromquellen und von Impedanzen (Ri) nach Admittanzen (Gi). 2. Einführung der Knotenpotentiale und Auswahl eines Bezugsknotens (Nr. 0). 3. Alle Ströme mit Zählpfeilen einzeichnen und Knoten beschriften. Stromquellen werden gestrichelt gezeichnet und haben eine bereits vorgegebene Zählpfeilrichtung. Die Zählpfeilrichtungen der Zweigen sind willkürlich. 4. Relation der Zweigspannung (UZ) und Knotenpotentiale (V) ohne Bezugsknoten herstellen. Zweigspannungen sind in Richtung der festgelegten Stromrichtung zu zählen und die Knotenpotentiale vom jeweiligen Knoten zum Bezugsknoten. Zweigspannungen werden also als Differenz der Knotenpotentiale (V) ausgedrückt (Maschenregel). 1 0
0 1
1
1
5. Konvention: Ströme, die in den Knoten fliessen, sind negativ. Ströme, die aus den Knoten herausfliessen, positiv. Bsp Knoten 1: 0 0 Bei : hineinfliessen (+), hinausfliessen (‐) Knotenregel: [k x z]: Spalten = Zweignummer, wobei der Strom von Knoten (+1) in den Knoten (‐1) fliesst. Knoteninzidenzmatrix ∙ Vektor der Zweigströme – Vektor der in Knoten hineinfliessenden Quellen 6. U‐I‐Relationen der Zweige aufstellen: 0
, G = Admittanz‐Diagonalmatrix (U=R∙I) 0
7. , (Knotenadmittanzmatrix, symmetrisch, nur ‐1,0,1) Æ 8. Berechnen aller Knotenpotentiale 9. Alle Zweigspannungen mittels und alle Zweigströme mittels berechnen 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 11 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 3.6 Abgekürztes Knotenpotentialverfahren 1. Umwandlung aller Spannungsquellen in Stromquellen und Impedanzen in Admittanzen. Einzeichnen aller Ströme mit Zählpfeilen und Beschriften der Knoten. Wahl des Bezugsknotens (Nr. 0). 2. Aufstellen der Knotenpunktadmittanzmatrix Y nach folgenden Regeln a. Dimension ist (k‐1) x (k‐1) (k = #Knoten inkl. Bezugsknoten) b. 1: Für jeden Knoten wird die Summe aller anliegenden Admittanzen aufgeschrieben (immer positiv). 2: Die Admittanzen, die zwischen den jeweiligen zwei Knoten liegen, werden negiert eingesetzt. Ist kein Zweig dazwischen, dann 0. c. Besteht das Netzwerk nur aus passiven Elmenten, so ist Y symmetrisch. 3. Aufstellen des Knotenstromvektors . ist ein Spaltenvektor mit einer Zeile für jeden Knoten ausser den Bezugsknoten. Die Zeile i entspricht der Summe aller Stromquellen, die den Knoten i berühren. Eine Stromquelle ist negativ, falls sie vom Knoten weggerichtet ist. Eingehende Ströme sind positiv. 4. Ausrechnen der Knotenpotentiale: 5. Die Zweigspannungen entsprechen den Differenzen der Knotenpotentiale, die Zweigströme lassen sich mit dem ohmschen Gesetz ausrechnen. Vergleich Maschenverfahren Knotenpotentialverfahren 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 12 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET Vergleichbare Elemente Maschenmethode Knotenpunktmethode Spannungsquelle im Zweig Stromquelle am Knoten Strom in Masche Spannung am Knoten Sehnenstrom Knotenspannung Sehne Knoten Impedanz Admittanz Baum und Sehnen sind entscheidend nur Topologie von Bedeutung Maschenimpedanzmatrix Knotenpunkt‐Admittanzmatrix Bestimmung der Zweiströme mittels Bestimmung der Zweigspannungen mittels Sehnenstrom Knotenspannungen Aufsummierungen der Maschenspannungen (inkl. Aufsummierung von Knotenströmen (inkl. Strom‐
quellen) in einem Knoten Spannungsquellen) in einer Masche (in einem Umlauf) geeignet, wenn Zweigströme gefragt sind geeignet bei mehr als 1000 Knoten und wenn Knotenspannungen gefragt sind kleinere Netzwerke lassen sich gut von Hand besonders vorteilhaft, wenn nur wenige Zweige lösen vorliegen 3.7 Tellegen‐Theorem Zwei Netzwerke N und N‘ werden durch denselben Graphen be‐
schrieben, wobei die Quellen und Komponenten unterschiedlich sein können. 1. Die Knoten‐Zweig‐Inzidenzmatrix Akz,R wird für beide Netzwerke aufgestellt, wobei aij nur ‐1,0,1 enthalten kann. 1, falls der Knoten i an Zweig j anliegt und Anfangsknoten ist. aij = ‐1, falls der Knoten i an Zweigen j anliegt und Endknoten ist. 0, falls der Knoten i nicht an Zweig j anliegt. Der Bezugsknoten wird ausgelassen, reduziert. 0 Æ Knotenregel: ,
2. Wiederum für beide Netze wird die Matrix B aufgestellt, wobei bji nur ‐1,0,1 enthalten kann. 1, falls der Knoten i an Zweig j anliegt und Anfangsknoten ist. bji = ‐1, falls der Knoten i an Zweig j anliegt und Endknoten ist. 0, falls der Knoten i nicht an Zweig j anliegt. Der Bezugsknoten wird ausgelassen ÆMaschenregel: 3.
, 4. Tellegen‐Theorem: In jedem Zeitpunkt ist die im Netzwerk erzeugte Leistung gleich der verbrauchten elektrischen Leistung. Zweigströme und Zweigspannungen sind orthogonal. 0 (für ein Netzwerk) 5. Beide Netzwerke zusammen betrachtet: 0 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 13 von 14 Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET Bemerkung: Dies gilt nur, wenn beide Netzwerke durch denselben Graphen beschrieben werden. Der Satz von Tellegen wird zur Überprüfung der Ergebnisse verwendet. 3.8 Erweitertes Knotenportentialverfahren 二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 14 von 14