Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren Dreiecke

Ebene Figuren
83
Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren
Dreiecke
Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC und umschreibe ein
Rechteck. Durch die Höhe hc wird das Rechteck in 2 weitere
Rechtecke geteilt. Diese werden durch die Seite a bzw. b in
2 gleiche rechtwinklige Dreiecke geteilt. Vergleichst du nun
den Flächeninhalt des umschriebenen Rechtecks mit dem des
ursprünglichen Dreiecks, erkennst du, dass das Dreieck ABC
A
die Hälfte der Fläche des umschriebenen Rechtecks hat.
A=
a · ha
2
=
b · hb
2
=
c · hc
2
C
b
hc
a
B
c
oder A = }12} · a · ha = }12} · b · hb = }12} · c · hc
u=a+b+c
Beispiel: Konstruiere das Dreieck a = 39 mm, b = 52 mm, c = 48 mm.
a)Miss die 3 Höhen ab und berechne jeweils den Flächeninhalt des Dreiecks!
(Wegen der Messfehler werden die drei Werte nicht genau übereinstimmen. Wenn du aber
den Mittelwert der drei Flächeninhalte nimmst, kannst du den Fehler sehr klein halten.)
b) Miss die 3 Innenwinkel und berechne die Summe! Welcher Wert sollte sich ergeben?
Messungen:
ha = 46 mm
hb = 34 mm
hc = 37 mm
C
a = 46°
b = 73°
g = 62°
a + b + g = 180°
b
hb hc
a
ha
Genaue Zeichnung, da Winkelsumme im Dreieck 180°!
A
c
B
Berechnung des Flächeninhalts auf 3 verschiedene Arten:
A1 = }12} · a · ha
A2 = }12} · b · hb
A3 = }12} · c · hc
A1 = }12} · 39 · 46
A2 = }12} · 52 · 34
A3 = }12} · 48 · 37
A1 = 897 mm2
A2 = 884 mm2
A3 = 888 mm2
A = (A1 + A2 + A3) : 3
A = (897 + 884 + 888) : 3
A = 2 669 : 3
A = 889,666 .. ≈ 889,67
A = 889,67 mm2
Den Mittelwert erhältst du, indem du die Summe der
Einzelwerte durch die Anzahl der Einzelwerte dividierst.
Beispiel: Von einem Dreieck kennt man den Flächeninhalt A = 12,47 cm2 und
die Höhe hc = 4,3 cm. Berechne die Länge der Seite c!
A = }12} · c · hc
2A = c · hc
2A
h
| · 2
| : hc
= c
c=
2 · 12,47
4,3
Aus der Formel für den Flächeninhalt errechnest du c.
Einsetzen
= 5,8 cm
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Ebene Figuren
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Parallelogramme
Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu errechnen überlege dir Folgendes:
a
a
ha
ha
Schneide bei einem Parallelogramm das Dreieck entlang der Höhe ha ab und füge es an
der rechten Seite wieder an. Es ist ein flächengleiches Rechteck entstanden. Der Flächeninhalt
des Rechtecks lässt sich leicht errechnen. Dieser Flächeninhalt ist auch der Flächeninhalt des
Parallelogramms.
D
Parallelogramm
u = 2 · (a + b)
C
ha
A = a · ha = b · h b
A
b
hb
B
a
Beispiel: Von einem Parallelogramm kennt man die Länge der Seite a = 55 mm
und die Länge der Höhe ha = 35 mm. Berechne den Flächeninhalt!
A = a · ha
A = 55 · 35
A = 1 925 mm2
Formel
Einsetzen und Berechnen
Beispiel: Von einem Parallelogramm kennt man die Seitenlängen a = 52,5 cm und b = 23,4 cm
sowie die Länge der Höhe ha = 18,8 cm. Berechne a) den Flächeninhalt und b) die
Länge der Höhe hb!
b) hb wird aus der „zweiten” Flächenformel errechnet
a) A = a · ha
A = 52,5 · 18,8
A = b · hb | : b
A
2
}} = h Einsetzen und berechnen
A = 987 cm b
b
987
}}
23,4
= hb
hb = 42,17.. ≈ 42,2 cm
C
D
Raute (gleichseitiges Parallelogramm)
u = 4 · a
e
A=a·h
Die Diagonalen stehen aufeinander normal: e ^ f
A
a
f
a
h
B
Beispiel: Eine Raute mit 5,4 cm Höhe hat einen Umfang von 28,4 cm.
Berechne a) die Seitenlänge und b) den Flächeninhalt!
a) u = 4 · a | : 4
Aus u berechnest du a!
b) A = a · h
u
}}
4
28,4
}
a=}
4 = 7,1 cm
= a
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Einsetzen
A = 7,1 · 5,4
Formel
Einsetzen
A = 38,34 cm2
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Ebene Figuren
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Parallelogramme
Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu errechnen überlege dir Folgendes:
a
a
ha
ha
Schneide bei einem Parallelogramm das Dreieck entlang der Höhe ha ab und füge es an
der rechten Seite wieder an. Es ist ein flächengleiches Rechteck entstanden. Der Flächeninhalt
des Rechtecks lässt sich leicht errechnen. Dieser Flächeninhalt ist auch der Flächeninhalt des
Parallelogramms.
D
Parallelogramm
u = 2 · (a + b)
C
ha
A = a · ha = b · h b
A
b
hb
B
a
Beispiel: Von einem Parallelogramm kennt man die Länge der Seite a = 55 mm
und die Länge der Höhe ha = 35 mm. Berechne den Flächeninhalt!
A = a · ha
A = 55 · 35
A = 1 925 mm2
Formel
Einsetzen und Berechnen
Beispiel: Von einem Parallelogramm kennt man die Seitenlängen a = 52,5 cm und b = 23,4 cm
sowie die Länge der Höhe ha = 18,8 cm. Berechne a) den Flächeninhalt und b) die
Länge der Höhe hb!
b) hb wird aus der „zweiten” Flächenformel errechnet
a) A = a · ha
A = 52,5 · 18,8
A = b · hb | : b
A
2
}} = h Einsetzen und berechnen
A = 987 cm b
b
987
}}
23,4
= hb
hb = 42,17.. ≈ 42,2 cm
C
D
Raute (gleichseitiges Parallelogramm)
u = 4 · a
e
A=a·h
Die Diagonalen stehen aufeinander normal: e ^ f
A
a
f
a
h
B
Beispiel: Eine Raute mit 5,4 cm Höhe hat einen Umfang von 28,4 cm.
Berechne a) die Seitenlänge und b) den Flächeninhalt!
a) u = 4 · a | : 4
Aus u berechnest du a!
b) A = a · h
u
}}
4
28,4
}
a=}
4 = 7,1 cm
= a
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Einsetzen
A = 7,1 · 5,4
Formel
Einsetzen
A = 38,34 cm2
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Ebene Figuren
Trapeze
Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu bestimmen überlege dir Folgendes:
a
c
h
c
a
a+c
Zeichne ein Trapez auf ein Blatt Papier. Lege ein zweites Blatt Papier darunter und schneide so
zwei kongruente Trapeze aus. Drehe eine der Figuren und lege sie, so wie die Abbildung oben
zeigt, zusammen. Es ist ein Parallelogramm entstanden, das einen doppelt so großen Flächeninhalt hat wie das ursprüngliche Trapez.
c
D
Trapez
d
u = a + b + c + d A = }12} · (a + c) · h
A
C
h
h
b
B
a
Man spricht von einem gleichschenkligen Trapez, wenn b = d gilt.
Beispiel: Von einem Trapez kennt man die Länge der Seiten a = 6,4 cm, c = 3,5 cm und die
Länge der Höhe h = 2,4 cm. Berechne den Flächeninhalt!
A = }12} · (a + c) · h
1
}}
2
A = · (6,4 + 3,5) · 2,4
Formel
Einsetzen
A = 11,88 cm2
Beispiel: Ein Trapez mit der Seite a = 8,6 cm und der Höhe h = 4,2 cm hat einen 23,10 cm2 großen Flächeninhalt. Berechne die Länge der Parallelseite c!
2A
}}
h
A = }12} · (a + c) · h | · 2
2A = (a + c) · h
2A
}}
h
= a + c
|:h
| –a
– a = c
c=
2 · 23,10
4,2
Aus der Formel für A errechnest du c.
Einsetzen
– 8,6 = 2,4 cm
Beispiel: Von einem Trapez kennt man die Länge der Seiten a = 14,3 cm und c = 12,2 cm sowie
den Flächeninhalt A = 113,95 cm2. Berechne die Länge der Höhe h!
A = }12} · (a + c) · h | · 2
2A = (a + c) · h | : (a + c)
Aus der Formel für A errechnest du h.
2A
a+c
Einsetzen
= h
2 · 113,95
14,3 +
h=
h = 8,6 cm
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Ebene Figuren
Vierecke mit aufeinander normal stehenden Diagonalen
D
Um den Flächeninhalt A eines Vierecks mit aufeinander
normal stehenden Diagonalen zu bestimmen,
überlege dir Folgendes:
*
A2
A
f
A3
A = A1 + A2 + A3 + A4
A = A1* + A2* + A3* + A4*
A =2·A=e·f
A = }12} · e · f
Es gilt:
aber auch:
A1*
A1
A2
C
A4
A4*
*
A3
B
e
Zeichne ein beliebiges Viereck mit aufeinander normal stehenden Diagonalen e und f.
Ziehe um das Viereck ein Rechteck, sodass die Seiten parallel zu den Diagonalen liegen.
Durch die beiden Diagonalen und die Seiten des ursprünglichen Vierecks entstehen jeweils
rechtwinklige Dreiecke, die flächengleich sind: A1 = A1*, A2 = A2*, A3 = A3*, A4 = A4*
Das umschriebene Rechteck hat den doppelten Flächeninhalt des ursprünglichen Vierecks.
Besondere Vierecke mit aufeinander normal stehenden Diagonalen e ^ f:
Quadrat
Raute
D
C
D
Deltoid
A
C
f
f
B
f
D
e
e
A
B
A = }12} · e · f
C
A = }12} · e · f
A = }12} · e · f
15
34
15
B
a
b
12
A
e
d
c
Beispiel: Berechne Flächeninhalt und Umfang
der abgebildeten Figur (Maße in m)!
Flächeninhalt:
A = }12} · e · f
e = 15 + 34 = 49
f = 15 + 12 = 27
Umfang:
Um die Seitenlängen zu berechnen musst du den
pythagoräischen Lehrsatz anwenden; es liegen vier rechtwinklige
Dreiecke vor, bei denen die gesuchten Seitenlängen jeweils die
Hypotenusen sind.
A = }12} · e · f
a2 = 152 + 152 = 450
b2 = 342 + 152 = 1 381
A = }12} · 49 · 27
a = 21,213.. ≈ 21,21
b = 37,161.. ≈ 37,16
2
A = 661,5 m
a = 21,21 m
b = 37,16 m
c2 = 342 + 122 = 1 300
c = 36,055.. ≈ 36,06
c = 36,06 m
d2 = 152 + 122 = 369
d = 19,209.. ≈ 19,21
d = 19,21 m
u = 21,21 + 37,16 + 36,06 + 19,21 = 113,64 m
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Ebene Figuren
91
Übersicht über die ebenen Figuren
Dreiecke
C
allgemein
a
b
A
u=a+b+c
A = }12} · a · ha = }12} · b · hb = }12} · c · hc
B
c
spezielle Dreiecke:
rechtwinklig
gleichschenklig
gleichseitig
C
C
C
b
a
a
A
c
a
B
A
1
}}
2
A = · a · b
a
a
c
B
a = b
A
a
a=b=c
B
Vierecke
Parallelogramm
Deltoid
Trapez
unregelmäßiges
Viereck
A = a · ha = b · hb
u = 2 (a + b)
A = }12} · e · f
u = 2 (a + b)
A = }12} · (a + c) · h
u=a+b+c+d
in Teildreiecke
zerlegen
Rechteck
Raute
gleichschenkliges
Trapez
A=a·b
u = 2 (a + b)
A = a · h = }12} · e · f
u = 4a
A = }12} · (a + c) · h
u=a+2b+c
Quadrat
A = a2 = }12} · d2
u = 4a
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