Dynamik 2 Lösung zu Übungsbeispiel: Sphärisches Pendel

Dynamik 2 Lösung zu Übungsbeispiel:
Sphärisches Pendel
Ein sphärisches Pendel besteht aus einem Massenpunkt, der an einem
masselosen dehnstarren Faden hängt. Der Massenpunkt kann sich auf einer
Kugelfläche bewegen, die den Aufhängepunkt als Mittelpunkt hat.
Koordinaten
Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems wird in
den Aufhängepunkt des Pendels gelegt. Die z-Achse zeigt
nach unten.
Die kinematische Zwangsbedingung für das sphärische
Pendel verlangt, dass der Abstand des Massenpunktes
vom Aufhängepunkt des Pendels den konstanten Wert R
hat, wenn R die Länge des Fadens ist.
y
φ
θ
x
R
In kartesischen Koordinaten lautet die Zwangsbedingung:
2
2
2
m
2
F  x , y , z =x  y z −R =0
Die Zwangsbedingung lässt sich leicht erfüllen, wenn als
verallgemeinerte Koordinaten sphärische Koordinaten gewählt werden.
z
Zwischen den kartesischen und den sphärischen Koordinaten besteht der Zusammenhang:
x r , ,=r sin  cos
y r , , =r sin  sin 
z r , , =r cos 
In sphärischen Koordinaten lautet die Zwangsbedingung:
2
2
F r ,  ,=r −R =  r −R   r R  =0
Daraus folgt für den Radius:
r =R
Für die Anzahl der Freiheitsgrade gilt:
f =3−1=2
Als verallgemeinerte Koordinaten werden die beiden Winkel θ und φ gewählt.
Kinetische Energie
Zur Berechnung der kinetischen Energie werden die Geschwindigkeiten benötigt. Sie berechnen sich zu
Dynamik 2
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ẋ  , , ̇ , ̇= R  ̇cos  cos− ̇sin sin  
ẏ  ,  , ̇ , ̇=R  ̇cos  sin ̇ sin  cos  
ż  ,  , ̇ , ̇=−R ̇sin 
Damit berechnet sich die kinetische Energie zu
1
2
2
2
T  ,  , ̇ , ̇= m  ẋ  ẏ  ż 
2
2
2
1
2
= m R [  ̇ cos cos −̇ sin sin     ̇cos sin  ̇ sin  cos 
2
2
 ̇ sin   ]
1
2
2
2
2
= m R  ̇  ̇ sin  
2
Potenzielle Energie
Die einzige auf den Massenpunkt wirkende äußere Kraft ist die Gewichtskraft.
Der Nullpunkt für das Potenzial der Gewichtskraft wird in den Ursprung des
Koordinatensystems gelegt. Dann gilt für das Potenzial der Gewichtskraft:
V  x , y , z =−mg z
V  ,=−mg R cos 
Lagrange-Funktion
Die Lagrange-Funktion lautet:
1
2
2
2
2
L ,  , ̇ , ̇=T −V = m R  ̇  ̇ sin  mg R cos 
2
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
∂L
2
=m R ̇
∂ ̇
d ∂L
2
=m R ̈
dt ∂ ̇
∂L
2 2
=m R ̇ sin  cos −mg R sin 
∂
∂L
2
2
=m R ̇ sin 
∂ ̇
d ∂L
2
2
=m R  ̈ sin 2 ̇ ̇ sin cos  
dt ∂ ̇
Dynamik 2
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∂L
=0
∂
Bewegungsgleichungen
d ∂L ∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇ ∂
2
2
2
m R ̈−m R ̇ sin  cosmg R sin =0
2
 ̈ ̇ sin  cos
g
sin =0
R
d ∂L ∂L
−
=0 :
dt ∂ ̇ ∂
d
 m R 2 ̇ sin 2  =0
dt
2
 ̇ sin =C=const.
Die Größe
2
Lz =m  R sin   ̇
ist der Drall des Massenpunktes um die z-Achse. Da die Gewichtskraft kein
Moment um die z-Achse verursacht, ist der Drall um die z-Achse konstant.
Daraus folgt insbesondere, dass für ̇≠0 die Winkel =0 und =
nicht angenommen werden können.
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