Woche 4 - Universität zu Köln

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Mathematisches Institut
der Universität zu Köln
Dr. L. Galinat
WiSe 2016/2017
Dienstag, 04.10.16
Blatt 16-19
Übungen zum Vorkurs Mathematik
Aufgabe 54.
(1) Spiegelt man das Dreieck im Einheitskreis, welches zum Sinus von 30◦ gehört,
an der x-Achse, so entsteht ein Dreieck, dessen Winkel alle 60◦ betragen. Es ist
also gleichseitig und da zwei der Seiten genau dem Radius des Einheitskreises
entsprechen, muss sin( π6 ) = 12 gelten.
(2) Spiegelt man das Dreieck im Einheitskreis, welches zum Sinus von 45◦ gehört,
an seiner Hypothenuse, so sieht man sin( π4 ) = cos( π4 ). Also ist sin( π4 ) = √12 .
(3) Dieses Mal spiegeln wir an der y-Achse und erhalten wieder ein√gleichseitiges
Dreieck. Hieraus folgt wie oben cos( π3 ) = 12 und somit sin( π3 ) = 23 .
(4) Aus der Definition ergibt sich sofort, dass sin( π2 ) = 1.
Die restlichen Werte ergeben sich aus sin(x)2 + cos(x)2 = 1.
Aufgabe 55.
(1) Da der Sinus bis 90◦ wächst, ist diese Aussage falsch.
(2) Beide Werte sind gleich, also ist die Aussage falsch.
(3) Der Kosinus von 25◦ ist positiv, aber kleiner als Eins, also ist die Aussage
falsch.
(4) Da der Sinus bis 90◦ wächst, ist diese Aussage wahr.
Aufgabe 56. Die Variante der ersten Gleichung mit dem Sinus wurde in der
Vorlesung schon hergeleitet. Hieraus bekommt man unter Verwendung von sin(x −
π
) = cos(x) die Variante mit dem Kosinus.
2
Alle weiteren Gleichungen folgen, indem man die zwie verschiedenen Sinus (bzw.
Kosinus)-Gleichungen addiert oder subtrahiert (und hierbei x+y
und x−y
in die
2
2
Funktionen einsetzt).
Aufgabe 57.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
cos(x), − sin(x)
2 cos(2x), −4 sin(2x)
2x cos(x2 ), 2 cos(x2 ) − 4x2 sin(x2 ) 2 sin(x) cos(x), −2 sin(x)2 − cos(x)2
cos(x)2 − sin(x)2 , −4 sin(x) cos(x)
1
, 2 sin(x)
cos(x)2 cos(x)3
Bitte wenden!
Aufgabe 58. Der Tangens wurde schon in der Vorlesung diskutiert. Für das Quadrat des Tangens gilt:
Definitionsbereich: Der Tangens ist für alle x ∈ R, die keine Nullstelle des
Kosinus sind, definiert, d.h. für alle x ∈ R mit x ∈
/ π2 + πZ. Dies gilt
sin(x+π)
dann natürlich auch für sein Quadrat. Wir haben tan(x + π) = cos(x+π)
=
− sin(x)
− cos(x)
sin(x)
= cos(x)
= tan(x), also ist der Tangens (und auch sein Qudrat) πperiodisch. Wir beschränken uns deswegen im Folgenden auf das Intervall
(− π2 , π2 ).
Nullstellen: Der Tangens ist genau dann Null, wenn es der Sinus ist. Im Intervall
(− π2 , π2 ) ist dies genau in der Null der Fall.
Symmetrie: Wie wir bereits gesehen haben, gilt sin(−x) = − sin(x) und cos(−x) =
cos(x). Also erfà 14 llt auch der Tangens tan(−x) = − tan(x) und ist somit
punktsymmetrisch im Ursprung. Sein Qudart ist dann also symmetrisch
zur y-Achse.
tan(x)
Monotonie: Da die erste Ableitung des Quadrats des Tangens 2cos(x)
2 ist und
Quadrate immer positiv sind, ist die Ableitung also genau dann größer
Null, wenn der Tangens dies ist. Somit ist der Tangens auf ganz (− π2 , 0)
streng monoton fallend und auf (0, π2 ) streng monoton wachsend.
Verhalten im Unendlichen: Es gilt
limh→ π2 sin(h)
sin(limh→ π2 h)
limπ tan(h) =
=
,
h→ 2
limh→ π2 cos(h)
cos(limh→ π2 h)
da beide Grenzwerte existieren. Also ist
lim tan(h) = ∞.
h→ π2
Dies ist natürlich erst recht für das Quadrat des Tangens wahr und impliziert mit der Achsensymmetrie auch
lim tan(h)2 = ∞.
h→ −π
2
tan(x)
Extremwerte: Da die erste Ableitung des Quadrates des Tangens durch 2cos(x)
2
π π
gegeben ist und diese genau in 0 im Intervall (− 2 , 2 ) eine Nullstelle besitzt
und wir das Wachstumsverhalten der Funktion schon kennen, wissen wir,
dass in Null ein Minimum vorliegt.
Konvexität: Die zweite Ableitung des Quadrates des Tangens berechnet sich zu
2−4 sin(x)2
. Sie ist auf (− π4 , π4 ) negativ und auf dem Rest des Intervalls pocos(x)4
sitiv. Somit ist das Quadrat des Tangens auf (− π2 , 0) konkav und auf dem
Rest des Intervalls konvex.
Aufgabe 59.
√
(1) Wegen sin(x)2 + cos(x)2 = 1 kann man äquiavlent auch sin(x) cos(x) ≤ 3
zeigen. Da das Produkt von Sinus und
√ Kosinus sicherlich kleiner oder gleich
1 ist, geügt es zu bemerken, dass 3 > 1. Letzteres sieht man z.B. durch
Quadrieren ein.
(2) Dies folgt aus dem Mittelwertsatz, da die erste Ableitung des Kosinus Minus
der Sinus ist und dieser nimmt im Betrag nur Werte kleiner gleich eins an.
(3) Die linke Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen x, da der Kosinus Werte zwischen −1 und 1 annimmt. Die recht Ungleichung ist für x = 0 eine Gleichung,
und somit genügt es zu zeigen, dass 1 − cos(x) − x monoton fallend ist auf
(0, ∞). Da die erste Ableitung der Funktion sin(x) − x ist und letztere Funktion ist auf diesem Intervall tatsächlich night-positiv, wie in der Vorlesung
bereits besprochen.
Aufgabe 60.
(1) Beides sind direkte Beweise.
(2) Multipliziert man die linke Seite mit 1 − q, so sieht man, dass sich alle Terme
bis auf 1 und −q n+1 wegheben.
n
(3) Es gilt 1 + n1 ≥ 1 + 1 = 2 nach der Bernoulli-Ungleichung. Andererseits gilt
nach dem ersten Teil der Aufgabe und dem binomischen Lehrsatz
n
X
1
1 n
.
≤1+
1+
i−1
n
2
i=1
n
1− 12
Die Summe lässt sich nach dem zweiten Teil der Aufgabe als 1− 1 schreiben.
2
Letzteres konvergiert gegen 2, also gilt im Grenzwert nach dem SandwichLemma exp(1) ≤ 1 + 2 = 3.
Aufgabe 61.
(1) Es ist pn = (1 + p − 1)n ≥ 1 + n · (p − 1). Die Aussage folgt also daraus, dass
für eine feste, positive reelle Zahl x, n · x mit n ∈ N beliebig großwird.
ebenfalls kleiner oder
(2) Wegen 0 ≤ 1 − n12 ≤ 1 gilt sicherlich, dass der Grenzwert
1 n
gleich 1 ist. Andererseits ist nach Benroulli 1 − n2 ≥ 1 − n1 und letzteres ist
im Grenzwert 1. Also konvergiert die Folge nach dem Sandwich-Lemma und
zwar gegen den Grenzwert 1.
(3) Wir schreiben x = 1 + x − 1 und wenden die Bernoulli-Ungleichung an:
(1 + x − 1)5 + (1 + x − 1)4 + 9 ≥ 5(x − 1) + 4(x − 1) + 7 = 9x
Aufgabe 62.
√
(1) Dies folgt direkt aus x+y
≥ x · y, wenn man diese Ungleichung mit 4 multipli2
ziert. Wie wir bereits in der zweiten Vorkurswoche eingesehen haben, besitzt
das Quadrat exakt diesen Umfang.
(2) Analog.
Aufgabe 63. Ausgelassen.
Aufgabe 64.
Nullstellen: Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, gilt dies
auch für f (x). Es gibt somit keine Nullstellen.
Symmetrie: Da x2 = (−x)2 ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Monotonie: Die erste Ableitung von f ist gegeben durch −2x exp(−x2 ). Diese
ist genau dann positiv, wenn x negativ ist. Also ist f auf (−∞, 0) streng
monoton wachsend und auf (0, ∞) streng monoton fallend. Bitte wenden!
Verhalten im Unendlichen: Wir wissen bereits, dass limh→−∞ exp(h) = 0 und
somit gilt dies auch für die beiden Grenzwerte limh→−∞ f (h) und limh→∞ f (h).
Extremwerte: Aus dem Monotonieverhalten folgt, dass es sich bei f (0) = 1 um
ein globales Maximum handeln muss und dass es keine anderen Extremstellen gibt.
Konvexität: Die zweite Ableitung berechnet sich zu f 00 (x) = (4x2 − 2) exp(−x2 ).
Dies ist genau auf (− √12 , √12 ) negativ. Somit ist f genau auf diesem Intervall
konkav und ansonsten konvex.
f (x)
. Da die Exponentialfunktion
Aufgabe 65. Wir betrachten den Quotienten exp(x)
positiv ist, existiert dieser für alle reellen Zahlen x ∈ R. Die Quotientenregel liefert
als Ableitung dieser Funktion
f 0 · exp − exp0 ·f
= 0.
exp2
Also ist der Quotient nach dem Mittelwertsatz konstant und die Aussage folgt.
Besprechung: In den Übungen der vierten Vorkurswoche.
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