Serie 09

Statistische Thermodynamik II
Lösungen zur Serie 9
Ideales Fermigas
18. November 2016
1. Grundzustand des idealen Fermigases.
(a) Zeige, dass die mittlere Besetzungszahl hn()i eines Fermigases als Funktion
der Energie für T → 0 durch die Stufenfunktion Θ(µ − ) gegeben ist.
Die mittlere Besetzungszahl für Fermionen in Abhängigkeit der Temperatur T
lautet:
1
1
hn()i = β(−µ)
= 1
(−µ)
e
+1
e kb T
+1
Damit müssen für T → 0 die folgenden beiden Fälle unterschieden werden:
0 < ( − µ):
1
lim hn()i = lim
T →0
T →0
e
− k 1T (µ−)
b
=1
+1
0 > ( − µ):
lim hn()i = lim
T →0
T →0
1
1
kb T
(−µ)
=0
e
+1
Somit entspricht die mittlere Besetzungszahl eines Fermiongases für T → 0 der
Stufenfunktion Θ(µ − ):
(
1 für 0 < ( − µ)
lim hn()i = Θ(µ − ) =
T →0
0 für 0 > ( − µ)
Der Wert der Energie für welche das Argument der Stufenfunktion verschwindet
bezeichnet man als Fermienergie F = µ(T = 0) (oder auch Fermikante).
(b) Die dem Fermiimpuls pF entsprechende Wellenlänge λF ist von der Grössenordnung R, wobei R den mittleren Teilchenabstand bezeichne. Begründe diese
Aussage.
Der mittlere Teilchenabstand ist R = (V /N )1/3 . Mit der de Broglie Formel
finden wir λF = h/pF ∝ (V /N )1/3 mit pF = (3π 2 )1/3 ~/v 1/3 .
(c) Kommentiere und begründe die Aussage, dass in einem idealen Fermigas im
Grenzfall verschwindender Temperatur T → 0 alle Zustände mit einer Wellenlänge λ > λF besetzt und alle Zustände mit λ < λF unbesetzt sind.
Da für das Fermigas jeder Zustand höchstens einfach belegt sein darf, sind im
Grundzustand alle N niederenergetischsten Zustände besetzt. Diese besitzen
wegen ∝ p2 /2m auch die kleinsten Impulse. In Wellenlängen ausgedrückt
besitzen sie die höchsten Wellenlängen, da p = h/λ. Alle anderen Zustände
sind unbesetzt, da es sonst ein energetisch tiefere Belegung gäbe und es sich
nicht um den Grundzustand handeln würde.
1
3
2. Schätze die Fermienergie F für Kupfer mit v = V /N = 12Å ab. Berechne die
zugehörige Fermitemperatur TF = F /kB . Was ist deren Bedeutung?
F = (3π 2 )2/3
~2
≈ 7eV ≈ 8 · 104 kB K
2me v 2/3
TF = F /kB ≈ 8 · 104 K
Die Fermitemperatur stellt eine Vergleichsgrösse für endliche Temperaturen T 6=
0 dar. Unterhalb der Fermitemperatur dominieren die Effekte der Fermistatistik
über thermische Effekte. Dies verdeutlicht sich in der mittleren Besetzungszahl der
Zustände eines Fermigases im Bereich 0 < T << TF . Steigt die Temperatur eines
Fermigases, so können zunehmend einzelne Fermionen die Fermikante F überschreiten. Die Funktion der Besetzungszahlen des Fermigases entspricht dann nicht mehr
exakt der Stufenfunktion, allerdings behält sie, bis auf die aufgeweichte Fermikante,
weitgehend ihre Form.
3. Skizziere die mittlere Besetzungszahl hn()i und berechne deren Werte für
(a) = µ,
(b) = µ ± kB T ,
(c) = µ ± 3kB T .
Die Funktion der Besetzungszahlen ist hier skizziert: (Quelle: Fliessbach, Statistische Physik).
Mit hn()i = 1/(eβ(−µ) + 1) für die mittlere Besetzungszahl erhält man


=µ
0.50
n() = 0.50 ± 0.23 = µ ∓ kB T


0.50 ± 0.45 = µ ∓ 3kB T
4. Berechne die Zustandsdichte ρ() für ein Gas aus freien Fermionen mit Dispersionsrelation (p) = A · pα .
Wir arbeiten in d Raumdimensionen. Betrachte dazu die Summe über Quantenzahlen nx1 , ..., nxi , ..., nxd bzw. nach dem thermodynamischen Limes das Integral im
Impulsraum
Z
dd p f (p) ,
für irgendeine thermodynamische Größe f . Wegen Isotropie in allen Raumrichtungen, dies ist als Function nur des Impulsbetrages p ≡ |~
p| anzunehmen. Erst wecheln
wir zu verallgemeinerten Polarkoordinaten im Impulsraum (Winkelintegration ist
trivial wegen der erwähnten Isotropie):
Z
Z ∞
Z ∞
dΩd
dp pd−1 f (p) = Ωd
dp pd−1 f (p) ,
Ωd
0
0
2
√
d
2 π
wobei Ωd = Γ(d/2)
den d-dimensionalen Raumwinkel darstellt. Jetzt, verwenden wir
die angegebene Dispersionsrelation (p) = A · pα , und führen die eindimensionale
Koordinatentransformation p → ein, sodass
Z
Z
d−α
dp pd−1 f (p) ∼
d α f (p()) .
Daraus lesen wir die interessante Energieabhängigkeit der gefragten Zustandsdichte
ab,
d−α
ρ() = const · α .
Diese hängt sowohl vom kritischen Exponent α als auch von der Anzahl der Raumdimensionen ab.
O. Loukas, U. Wenger
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