A Basiswissen: Komplexe Größen

Prof. Dr. H.-H. Kohler, SS 2005
A
PC3 Kapitel A – Komplexe Größen
A-1
Basiswissen: Komplexe Größen
Durch komplexe Zahlen wird System der reellen Zahlen so erweitert, dass die
n-te-Wurzel aus negativen Zahlen gezogen werden kann. Damit wird ein Abschluss des Zahlensystems erreicht, indem nun alle Umkehroperationen - Subtraktion (unter Ausschluss der Division durch 0), Division, Wurzelziehen - ohne
Einschränkung möglich sind.
A.1
Darstellung der komplexen Zahl z
z = zx + i zy
(1a)
z x z y reell
z x = Re(z ) = Realteil von z
z y = Im(z ) = Imaginärteil von z
2
i = -1 oder i = -1
(1b)
z x z y reell
Komplexe Ebene
i zy
z = zx + i zy
j
z
zx
z = Betrag von z = Abstand zum Ursprung
j = "Arcus" von z (= arc(z))
Pythagoras:
(2a)
z = z x2 + z y2
Weiter
(2b)
(2c)
tg j =
zy
zx
oder j = arctg
z x = z cos j
z y = z sin j
Daraus wegen (1a)
(3)
z = z (cos j + i sin j )
Euler'sche Beziehung (s. unten)
(4a)
e
ij
zy
zx
= cos j + i sin j
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A-2
Wegen (2a):
e
(4b)
ij
2
2
= cos j + sin j = 1
i zy
Alle komplexen Zahlen ei j
liegen auf dem Einheitskreis!
i
z = ei j
z =1
j
zx
1
-1
-i
Aus (3) mit (4a) alternativ zu (1a)
(4c)
z= z e
ij
Polardarstellung von z
"Drehfaktor"
Dabei
(4d)
z= z e
ij
= z e
i( j+ 2 pn )
n ganz
n volle Umdrehungen ( e
i2 pn
= cos(2pn ) = 1 )
Konjugiert komplexe Zahl (zu z = z x + i z y ):
(5a)
z * = zx - i zy = z e -i j
i zy
z
j
-j
zx
z*
Gemäß (2a)
(5b)
z ◊ z * = ( z x + i z y ) ( z x - i z y ) = z x2 + z y2 = z 2
Bei komplexen Zahlern z1 <
> z2 nicht definiert, nur z1 π z 2 (natürlich gibt es
z1 <
> z2 ). Sonst Rechenregeln wie bei reellen Zahlen!
z1 = z 2 nur bei z1x = z2 x , z1y = z2 y .
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A.2
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A-3
Grundrechenarten
Addition / Subtraktion
w = z1 + z2 = z1x + z2 x + i (z1y + z2 y )
i Im
w
(wie Addition von Vektoren)
z2
z1
Re
Kehrwert
zx - i zy
- zy
*
zx
w=1= z =
i
=
+
z z z*
z2
z2
z2
für alle z π 0 !
wx
wy
jw
Multiplikation / Division
w = z1 z2 = z1 e
i j1
◊ z2 e
i j2
= z1 z2 e
oder
i( j1 + i j 2 )
w
w = ( z1x + i z1y )( z2 x + i z2 y ) = z1x z2 x - z1y z2 y + i( z1x z2 y + z1y z2 x )
wx
i Im
wy
w
w = z1 z2
jw
z2
z1
Re
j1
j2
Division z1 / z 2 : Multiplikation von z1 mit Kehrwert von z2 : z1 / z 2 = z1 ◊ (1/ z 2 ) .
Potenzieren (Der Einfachheit halber Beschränkung auf reelle n):
n
ij n
w =z =(z e ) = zne
in j
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A-4
Wurzelziehen (hier Beschränkung auf n > 0 , ganz)
w=
(6a)
1
n
z
=(z
1
i( j+ 2 pn n
e
)
i j / n + 2 pn / n )
=n z e(
(vergl. (4d))
≥0
Wenn man n laufen lässt:
n unterschiedliche Werte w 1, w 2 , ... w n für n = 0, 1, 2, ... n - 1
(6b)
n = n liefert wieder w 1 , n = n + 1 wieder w 2 usw. Also keine weiteren Wurzeln!
(6a) gleichbedeutend mit:
n
w -z=0
(6c)
oder, mit z = - a0 :
n
w + a0 = 0
(6d)
Durch (6b) gegebene Wurzeln also Nullstellen des Polynoms (6d). Bei Verallgemeinerung auf beliebiges Polynom n-ten Grades statt (6d)
n
an w + an -1 w
(7a)
n -1
... a1 w + a0 = Pn (w ) = 0
Dann statt (6b) bei an π 0 , ai reell (Fundamentalsatz der Algebra):
Polynom Pn (w ) hat n (nicht notwendig voneinander verschiedene)
reelle bzw. konjugiert komplexe Nullstellen ("Wurzeln") w 1, w 2 , ... w n ,
so dass
Pn (w ) = an (w - w 1 )(w - w 2 ) ... (w - w n )
(7b)
Einfache Beispiele
Bsp.
c
1/ 2
2
w 2 = -1 (oder w + 1 = 0 oder w = ( -1)
2
Mit (4d): w = e
i(p +2pn )
)
, nach Gl.(6a,b): w = e
e
w 1,2 =
e
ip
2
=i
i
Re
-1
-i
w2
mit n = 0, 1 , daher
( ) = ei 32p = - i
i p +p
2
i Im
w1
i(p +2pn )/2
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Bsp.
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A-5
d
3
1/ 3
w 3 = -1 (oder w + 1 = 0 oder w = ( -1)
3
w =e
i(p +2pn )
, w =e
i(p +2pn )/3
)
daher
ip
e 3
( ) = ei p = - 1
i ( p + 4p )
-i p
i 5p
3
3
3
e
=e
=e 3
i p + 2p
e 3 3
w 1,2,3 =
i Im
i
p
w1
p /3
-p /3
w2
-1
-i
Re
1
w3
Bsp. e
2
w + a1 w + a0 = 0
a1, a0 reell (Verallgemeinerung von c)
2
w 1,2
a
a1
=- 1±
- a0
2
4
Bei a12 / 4 - a0 < 0 dafür auch
w 1,2 = -
2
a1
a
± i a0 - 1
2
4
w 1x
w 1,2 konj. komplex
w 1y
Parameterebene:
a1
2
a0 - a1 / 4 = 0
w 1,2 konj. komplex
a0
w 1,2 reell
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A.3
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A-6
Euler'sche Beziehung (Begründung)
Bekannt (Taylorreihe):
2
3
4
5
x
e = 1 + x + x + x + x + x + ...
2!
3!
4!
5!
Mit ix statt x
e
ix
2
3
4
5
= 1 + i x - x - i x + x + i x + ...
2!
3!
4!
5!
Durch Umordnen:
2
4
3
5
Ê
ˆ
ei x = 1 - x + x ... + i Á x - x + x + ...˜
2!
4!
3!
5!
Ë
¯
cos x
sin x
(Taylorreihen)
Daraus weiter:
(
)
(
)
(8a)
1 ei x + e - i x = cos x
2
(8b)
1 e i x - e - i x = sin x
2i
Aufgrund dieser Beziehungen werden e
zeichnet.
A.4
wie (4a)!
±i x
als komplexe Schwingungen be-
Beispiel harmonischer Oszillator
d
c
m = Masse
d = Dämpfungskonstante
c = Kraftkonstante
Symbol für Dämpfer
x
m
Geschwindigkeitsproportionale
Dämpfungskraft (flüssige Reibung)
Aus Kraftbilanz (Newton):
(9a)
m x + dx + cx = 0
Ansatz für diesen Typ Differentialgleichung (linear, homogen, mit konstanten Koeffizienten 1 ):
(9b)
1
x = Ae
lt
(A, l konstant)
Ein System mit konstanten Koeffizienten bezeichnet man auch als zeitinvariantes System.
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A-7
Daraus:
x = l Ae
lt
2
x = l Ae
=lx
lt
2
=l x
Eingesetzt in (9a)
2
(m l + d l + c ) x = 0
(9c)
π0
0
Also:
2
l + d l + c = 0
m
m
(9d)
a0
a1
Gelte a0 >
"charakteristische Gleichung"
2
2
a1
(s. A.2 Bsp. e) oder c > d 2 . Dann
m 4m
4
l 1,2 = - d ± i c
2m
m
(9e)
w0 D
D=
1-
d2
4c m
w0
D
2
d
= Dämpfungsmaß
2 cm
w 0 = Eigenfrequenz des ungedämpften ("idealen") Systems ( d = 0 )
w = w 0 1 - D 2 = Eigenfrequenz des gedämpften (realen) Systems
Statt (9e) also auch
(9f)
l 1,2 = -w 0 D ± i w
Wegen (9b)
(10a)
x = A1 e
l1 t
+ A2 e
erfüllt Dgl. mit beliebigen
komplexen Konstanten A1,2 ,
"Superposition"
l2 t
Daraus mit (9f)
(10b)
x = A1 e
-w 0 D t i w t
e
+ A2 e
-w 0 D t - i w t
e
=e
-w 0 D t
( A1 e
iw t
+ A2 e
-iw t
Mit Euler und den Konstanten a = A 1 + A 2 , b = i ( A 1 - A 2 ) :
(10c)
x=e
-w 0 D t
(a cos( wt ) + b sin( wt ))
A 1, A 2 bzw. a, b aus Anfangsbedingungen!
(Ermittlung der Lösung (10c) mit reellem Rechnen viel mühsamer. Komplexes
Rechnen nur Hilfsmittel – physikalische Lösung ist reell! 2 )
2
Leicht zu zeigen: Da a und b reell sind, müssen A1 und A2 konjugiert komplex sein.
)
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A-8
Speziell bei x (0) = x 0 und x (0) = 0 aus (10c)
x=e
(11a)
Ê
ÁË cos( wt ) +
-w 0 D t
D
1- D
2
ˆ
sin( wt )˜ x 0
¯
oder gleichwertig (Übungsaufgabe)
x=e
(11b)
Ê
D
cos Á wt - arctg
2
2
Ë
1- D
1- D
-w 0 D t
1
ˆ
x0
¯˜
s. Abb. A-1 !
Dynamisches Verhalten stark von D abhängig. Besonders gutes Einschwingen
für D ª 1/ 2 ª 0,7 (vergl. Autostoßdämpfer, schwingungsdämpfende Fundamente usw.)
0
2
4
6
8
10
12
x/x(0)
1
A:
B:
C:
D:
E:
F:
G:
H:
I:
K:
L:
A
B
L
I
G HK
E F
D
C
B
0
-1
C
D
A
D = 0.0
D = 0.1
D = 0.2
D = 0.3
D = 0.4
D = 0.5
D = 0.6
D = 0.7
D = 0.8
D = 0.9
D = 1.0
Kopie von Abb. A-1
0
2
4
6
8
10
12
tω0
System 2. Ordnung: Zeitverhalten nach Anfangsauslenkung in Abhängigkeit vom
Dämpfungsgrad D
(Ko DR kps2o)
A.5
Periodische Anregung linearer Systemen
A.5.1 Komplexer Frequenzgang (allgemein)
Zeitinvariantes lineares System mit rein harmonischer Anregung. Eingangsgröße
(z.B.) x = x (t ) = x 0 cos( wt ) , Ausgangsgröße y = y (t ) , z.B. verknüpft durch Dgl.
... a3 y + a2 y + a1 y = x ( t )
Eingeschwungener Zustand 3 (d.h. Anfangsbedingungen abgeklungen 4 ):
x = x 0 cos( wt )
Lineares
System
y = y 0 ( w ) cos( wt + j( w ))
x 0 , y 0 : Amplituden (reell, positiv), j : Phasenverschiebung.
3
Die durch die periodische Anregung verursachten Dauerschwingungen werden als erzwungene
Schwingungen bezeichnet.
4
Setzt Stabilität des Systems voraus.
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A-9
Gemäß Euler:
(
iw t
)
(1a)
x = x 0 cos( wt ) = Re x 0 e
(1b)
y = y 0 cos( wt + j ) = Re y 0 e
(
iw t ij
e
)
Also:
(1c)
x = Re ( x )
wobei x = x ( w, t ) = x 0 e
(1d)
y = Re ( y )
wobei y == y ( w, t ) = y0 ( w ) e
iw t
iw t
und y0 ( w ) = y0 ( w )e
ij (w )
x , y : komplexe Schwingungen, y0 : komplexe Amplitude.
Entscheidend: Ersetzt man x durch x , dann statt y komplexe Ausgangsgröße
y .5
In komplizierteren Fällen: Rechnung mit komplexen Schwingungen x , y (dank
einfacher Ableitungseigenschaften der Exponentialfunktion: erhebliche Vereinfachung des Rechengangs), dann (über (1a - d)) Rückkehr zu reellen Größen.
Komplexe Rechnung liefert komplexem Frequenzgang (= komplexem Amplitudenverhältnis) F ( w ) = y ( w ) / x ( w ) . Aus Betrag und Drehfaktor: reelles Amplitudenverhältnis y0 ( w ) / x 0 und reelle Phasenverschiebung j = j ( w ) :
(2)
def
F (w ) =
y ( w ) i j (w )
y y0
=
= 0
◊e
x0
x x0
wobei
y0 ( w )
= F (w )
x0
5
Bei zeitinvariantem linearem System gilt im eingeschwungenen Zustand allgemein:
Liefert der Eingang x1(t ) = x 0 cos(wt ) den Ausgang y 1(t ) = y 0 cos(wt + j) , so liefert der Eingang
x 2 (t ) = x 0 sin(wt ) den Ausgang y 2 (t ) = y 0 sin(wt + j) (Zeitverschiebung).
Bei den so gewählten Größen x1,2 (t ) und y 1,2 (t ) liefert die Eingangsgröße x(t ) = A ◊ x1(t ) + B ◊ x 2 (t )
(A, B beliebige Konstanten) den Ausgang y (t ) = A ◊ y 1(t ) + B ◊ y 2 (t ) (Superpostition). (In Gln.(1a-d)
wird dieser Sachverhalt mit A = 1 und B = i verwendet.)
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A-10
A.5.2 Beispiele
A.5.2.1 Elektrischer Stromkreis
Z.B. Spannung x = U = U 0 cos( wt ) als Eingangsgröße, Stromstärke
y = I = I 0 cos( wt + j ) als Ausgangsgröße:
U (U )
System aus (linearen)
ohmschen Widerständen,
Kondensatoren, Spulen
I (I )
Entsprechendes Blockschaltbild:
I (I )
U (U )
System
F ( w ) = I ( w ) / U ( w ) identisch mit „komplexem Leitwert“ = Admittanz Y ( w ) :
(3a)
I0
I 0 ( w ) i j (w )
def
Y (w ) = I =
=
◊e
U0
U U0
Kehrwert: „komplexer Widerstand“ = Impedanz Z
(3b)
6
Z ( w ) = U / I = 1/ Y ( w ) .
Z.B.: RC-Hintereinanderschaltung:
I
U
R
C
UR
UC
Kirchhoff'sche Maschenregel: 7
t
(4a)
U = U R + UC = R I + 1 Ú I d t
C
Ableitung nach t (um Integral loszuwerden): U = I R + (1/ C ) I . Übergang zu komplexen Schwingungen:
(4b)
6
U = RI + 1 I
C
Die Beträge von Admittanz und Impedanz werden häufig als Wechselstromleitwert und Wechselstromwiderstand bezeichnet.
7
Statt (4a) auch U = RC UC + UC .
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A-11
Daraus
iwU = R iw I + 1 I
C
und nach (3a)
(4c)
I 0 ( w ) i j (w )
iwC
wC
i (p / 2-arctan(w RC ))
◊e
=
=
◊e
Y (w ) = I =
1 + i w RC
U0
U
1 + ( w RC )2
Phasenverschiebung j( w ) = p / 2 - arctan(w RC ) > 0 : Strom voreilend gegenüber
Spannung (kapazitiver Beitrag!).
Gemäß (1d), (2) für tatsächliche (reelle) Stromstärke:
(4d)
I (t ) = 1
R
wC
2
G + w 2C 2
U 0 cos(wt + j( w ))
Frequenzverlauf von I 0 und j
am Schaltbild klarmachen!
I0
U (t )
t
I (t )
Gemäß (3b) aus (4c) für Impedanz Z:
Z (w ) =
1 + i w RC
= R + 1 = ...
iwC
iwC
Rechte Summe spiegelt Hintereinanderschaltung wider. 1/(i w C ) : komplexer Widerstand des Kondensators.
Darstellung von F ( w ) in der komplexen Ebene: "Nyquist-Diagramm".
Z.B. für Y ( w ) nach (4c)
(Y ( w ))
i Im(Y)
F (w )
w=0
w
Halbkreis! (nachprüfen)
j
w=•
Re(Y)
1/R
Andere gängige Darstellungsformen: "Bode-Diagramme":
reelles Amplitudenverhältnis F ( w ) und Phasenverschiebung j als Funktion von
lg( w / w 0 ) 8 : ("Amplitudengang", "Phasengang"). Nach (4c):
8
w 0 : Normierungsfrequenz
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A-12
lg( Y w R )
0
0
-1
lg( wRC )
1
Amplitudengang
-1
-1
j0
-1
3
1
Phasengang
p/2
2
p/4
1
0
-4
-2
0
2
lg( wRC )
4
w = w E = 1/( RC ) = "Eckfrequenz" (Schnittpunkt der Asymptoten im Amplitudengang). Nach (4c): Y ( w E ) R = 1/ 2 ª 0,7 . Zeitkonstante t des RC-Gliedes mit
w E verknüpft durch 9
t = 1 = RC
wE
(4e)
Nimmt man U R (Spannung am Widerstand) als Ausgangsgröße (statt I), erhält
man "Hochpass" ( U R geht bei hohen Frequenzen gegen U, bei niedrigen Frequenzen gegen Null 10 ).
I
Hochpass
UR
U
Dann:
(4f)
F =
UR
U
=
R
2
R + 1/( w C )
2
=
wC R
1 + ( w C R )2
Derartige dimensionslose Amplitudenverhältnisse von Ausgangs- zu Eingangsspannungen (allgemein von "Kraftgrößen", die im Quadrat einer Leistung proportional sind), werden häufig als logarithmische Größen (hier L) in der Pseudoeinheit Dezibel (dB) angegeben 11 :
(4g)
L( w ) = 20 ◊ lg Z ( w ) dB
9
t aus Abklingverhalten gemäß Fußnote zu (4a) mit U = 0 .
10
I wird durch Kondensator abgeblockt, gesamte Spannung fällt am Kondensator ab.
11
L ist damit 10 ◊ lg (Leistungsverhältnis) .
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A-13
Bei Eckfrequenz w E gemäß (4f): L( w E ) = 20 ◊ lg(1/ 2 ) dB ª - 3 dB .
Greift man Spannung statt am Widerstand am Kondensator ab, erhält man "Tiefpass" (Spannung geht bei niedrigen Frequenzen gegen U und bei hohen Frequenzen gegen Null), wobei
1
UC
wC
1
F =
=
=
2
2
U
1 + ( w C R )2
R + 1/( w C )
I
Tiefpass
UC
U
Auch hier: L( w E ) ª - 3,0 dB .
Z.B.: RC-Parallelschaltung:
I
IR
U
IC
C
R
Ladungsbilanz (Kirchhoff'sche Knotenregel):
I = I R + IC = U + C U
R
Daraus bei Ersatz von I , U durch komplexe Größen I , U
I = I R + IC = U + CU = U + C i wU = (G + i wC ) U
R
R
G = 1/ R : (reeller) Leitwert. Nach (3a)
(5a)
2
2
2
Y ( w ) = G + i wC = G + w C ◊ e
i arctan(wC / G )
Summe G + i wC spiegelt Parallelschaltung wider. i wC : komplexer Leitwert des
Kondensators. Y = I 0 / U 0 gleich G für sehr kleine Frequenzen, gegen unendlich
für große Frequenzen.
Nach (1d),(2) für tatsächliche (reelle) Stromstärke:
(5b)
I ( t ) = G 2 + w 2C 2 ◊ U 0 cos(wt + arctan(wC / G ))
I0
j
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A-14
Wegen positiver Phasenverschiebung j Strom wieder voreilend gegenüber
Spannung.
Impedanz:
Z = 1/ Y =
R - i wRC
- i arctan(wC / G )
1
R
=
=
◊e
2
2
1/ R + i wC
1 + ( wRC )
1 + ( wRC )
Nyquist-Diagramm für Y ( w ) nach (5a)
w=•
i Im(Y)
(Y ( w ))
w
F (w )
j
Re(Y)
w=0
usw.
A.5.2.2 Verschiebung membrangebundener Ladungen (z = 1) im Wechselfeld
Innerhalb symmetrischer Membraneinheit sei Elementarladung verschiebbar von
einer Membranoberfläche zur andern:
Energieprofil
in Membran
bei Dj = 0
j el = 0
j el = Dj el
q
Dy = F Dj = 0 Dj
RT
kBT
x = Dx
x=0
"Zweizustandsmodell":
1
2
k1
æææ
Æ
¨ææ
æ
k
-1
N voneinander unabhängige Einheiten (N groß), davon N1 im Zustand 1, N 2 im
Zustand 2
N1 = N ◊ p1
N 2 = N ◊ p2
p1 , p2 = 1 - p1 : Wahrscheinlichkeiten von Zustand 1 bzw. 2.
i
N1 = - k1 N1 + k -1 N 2 = - k1 N1 + k -1 ( N - N1 ) = -( k1 + k -1 ) N1 + k -1 N
Division durch N:
i
(6a)
p1 = -( k1 + k -1 ) p1 + k -1
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A-15
Ansatz von Eyring (vgl. Arrhenius):
k1 = k 0 ◊ e
(6b)
- Dy / 2
k -1 = k 0 ◊ e
Dy / 2
1. Näherung ( Dy klein):
k1 = k 0 (1 - Dy / 2)
k -1 = k 0 (1 + Dy / 2)
Damit nach (6a)
i
p1 + 2 k 0 p1 = k 0 (1 +
(6c)
Dy
)
2
Stationär bei Dy = 0
Mit p1 = p1s
p1 = p1s = 1 = p2s
2
+ D p1 aus (6c)
i
D p1 + 2 k 0 D p1 = k 0
(6d)
Dy
2
Stromstärke (pos. von links nach rechts):
i
i
I = - q 0 N1 = - q 0 N D p1
Damit aus (6d) mit el. Spannung U = -Dj durch Multiplikation mit 2 k BT / k 0q 0
1 2 k BT I + 4 kBT I d t = U
N k q2
N q2 Ú
0 0
0
oder
t
R I + 1 Ú I dt = U
C
(7)
2
N q0
2 k BT
mit R = 1
und
C
=
N k q2
4 k BT
0 0
Wie (4a)! Daher alles Weitere wie oben in 5.1.1 für RC-Hintereinanderschaltung!
A.5.2.3 Wärmetransport und Bodentemperatur
T0 : mittlere Temperatur
T = T0 + y 0 ( t )
Wärmtransport aus Erdinnerem vernachlässigt!
y 0 ( t ) : tägliche oder jährliche
periodische Temperaturschwankung
T = T0 + y ( x, t )
x
Wärmeleitungsgleichung (analog zur Diffusionsgleichung), s. Übungsaufgabe:
(8)
∂y
∂2y
= k 2
∂t
∂x
k = Wärmeübergangskoeffizient.
x > 0,
y (0, t ) = y 0 ( t )
Prof. Dr. H.-H. Kohler, SS 2005
PC3 Kapitel A – Komplexe Größen
A-16
y 0 ( t ) = A cos( wt ) , eingeschwungen: y ( x, t ) = B( x )cos( wt + j( x )) . B( x ) : Amplitude der Temperaturoszillation in Tiefe x. Also 12 :
y 0 (t ) = A e
(9a)
iw t
y ( x, t ) = B ( x ) ◊ e
B(0) = A , B ( • ) = 0
i j( x )
e
iw t
= B( x ) e
iw t
B (x)
Mit y ( x, t ) statt (8):
∂y
∂2y
= k 2
∂t
∂x
(9b)
(wobei y = Re(y ) )
Mit (9a):
iw B (x) = k
(9c)
∂ 2B ( x )
∂x
2
Ansatz für B :
B (x) = C ◊ e
(10a)
lx
C, l = const
Damit aus (9c):
(10b)
iw = k l
(10c)
l = (i)
2
1/2
w = ± 1 (1 + i ) w
k
k
2
Also (mit Superposition):
B ( x ) = C1 ◊ e
l 1x
+ C2 ◊ e
l2x
= C1 ◊ e
w ◊x i w ◊x
2k e 2k
0 wegen B ( • ) = 0
+ C2 ◊ e
-
w ◊x - i w ◊x
2k e
2k
A wegen B (0) = A
Somit:
y = A◊e
-
w ◊ x i Ê wt - w ◊ x ˆ
2k ¯
2k e Ë
bzw.
(11a)
y ( x, t ) = A ◊ e
-
w ◊x
2 k cos
(
wt -
w ◊x
2k
)
j(x)
B( x )
Also: Wärme dringt wellenförmig mit abnehmender Amplitude in Erde ein.
Nulldurchgänge von y bei wt - w /(2k ) ◊ x = ( n + 1/ 2) p . Damit Wanderungsgeschwindigkeit:
dx
v = v (w ) =
= 2k w
(11b)
dt
Mit Wärmeleitfähigkeit l , spezifischer Wärme c
k = l /( c
spez
spez
und Dichte r :
◊ r)
Der Einfachheit halber wird die Abhängigkeit der Amplitude von w im Argument von B nicht
explizit angegeben
12
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PC3 Kapitel A – Komplexe Größen
A-17
Für Erdreich
k ª 6,6 ◊ 10 - 7m2s -1
(11c)
Bei geg. t: Umkehr der Periode gegenüber Oberflächentemperatur in einer Tiefe
x * , gegeben durch j = -p oder:
w ◊ x* = p
2k
(11d)
Damit für Erdreich (s.(11c)):
2p
, x * ª 40 cm
24 ◊ 3600 s
2p
Jahresperiode: w a =
, x* ª 8m
24 ◊ 3600 ◊ 365 s
Tagesperiode: w d =
J / ∞C
i
20
15
J 0 = 11,2 ∞C
l
10
f
5
c
0
0
2
4
6
Jährliche Schwankungen der Bodentemperatur
Tiefenprofile für die 12 Monatsanfänge
c = Januar, d= April, e= Juli, f= Oktober
Abb. A-2
8
x /m