I Zahlen und Größen • Beitrag 27 Bruchvorstellung 1 von 28 In Bildern denken – eine stabile Bruchvorstellung aufbauen Von Roland Bullinger, Gaildorf T H C I S N A R O V Kuchen isst (fast) jeder gern – führen Sie Ihre Schüler bildlich an die Bruchvorstellung heran. Klasse 5/6 Dauer 5–8 Stunden, je nach Materialauswahl Inhalt den Bruchbegriff auf der handelnden und bildhaften Ebene verstehen, Bruchteile verfeinern und vergröbern, gemischte Brüche Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (K4), mathematisch argumentieren (K1) Ihr Plus Farbfolie (M 1), Aufgaben zur Differenzierung 14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012 2 von 28 Bruchvorstellung Zahlen und Größen • Beitrag 27 I Didaktisch-methodische Hinweise Kommen in der Klassenarbeit auch Brüche dran? Bei den meisten Schülerinnen und Schülern – und bei vielen Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern – erzeugt das Bruchrechnen in Klasse 6, aber auch in höheren Klassenstufen ein leichtes Unbehagen. Da hört man zum Beispiel bei der Frage, wie man zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringt, die unterschiedlichsten falschen Antworten: Man muss beide Brüche mit 5 multiplizieren, Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner, … Dies zeigt: Hier fehlt eine stabile Grundvorstellung des Bruchbegriffs, auf die – auch wenn einem die Regel einmal entfallen ist – zurückgegriffen werden kann. Sind Brüche wirklich so wichtig? Häuig wird diskutiert, ob das Bruchrechnen im traditionellen Umfang überhaupt noch in die Schule gehört. Über den Umfang des Rechnens kann man sich tatsächlich streiten, über das Verständnis der vielfältigen Aspekte des Bruchbegriffs aber weniger, denn Brüche spielen in der Mathematik, aber auch im Alltag, eine bedeutende Rolle: So baut zum Beispiel die Prozentrechnung (Anteilsvorstellung bei der Bestimmung des Prozentsatzes) auf dem Bruchverständnis auf. Aber auch für die Interpretation von Dezimalbrüchen, beim Umgang mit Termen und Gleichungen, für die Steigungsvorstellung bei Funktionen oder die Verhältnisvorstellung bei den Strahlensätzen und trigonometrischen Funktionen ist eine tragfähige Bruchvorstellung unabdingbar. Und auch im Alltag sind wir oft von Brüchen umgeben – vor allem bei Mengenangaben wie ein Viertel Liter Milch, eine halbe Tafel Schokolade etc. T H C I S N Bildhafte Grundvorstellungen statt starrer Regeln In dieser Einheit werden Möglichkeiten vorgestellt, wie ein besseres Verständnis für Brüche und damit auch für das sich darauf aufbauende Bruchrechnen geschaffen werden kann. Dabei wird großer Wert auf einfache außermathematische Beispiele gelegt, die eine bildhafte Vorstellung des Bruchbegriffs schaffen. Diese prägen sich dauerhaft ein und lassen sich zu jeder Zeit leicht abrufen – oft viel besser als Formeln und Regeln. Deshalb wird hier von einem zu frühen Mathematisieren abgesehen. A R O Der Schwerpunkt der Materialien liegt auf der Bruchteilvorstellung, der Von-Vorstellung und der Anteilsvorstellung. Vor allem wird die Vorstellung geschult, wann Brüche den gleichen Wert besitzen. So erarbeiten sich die Lernenden das Verfeinern und Vergröbern der Einteilung (Erweitern und Kürzen) als wichtigste Grundlage, um die späteren Rechenoperationen mit einem Vorstellungshintergrund entwickeln zu können. Wichtig ist hier, ein nur kurzfristig wirksames Einschleifen von Regeln zu vermeiden. Im Idealfall brauchen die Schülerinnen und Schüler später die Regeln des Verfeinerns und Vergröberns nur als Notlösung, da sie eine stabile Grundvorstellung des Bruchbegriffs erworben haben. V Ungesund? – Kuchen und Schokolade als Modelle Auf den Aspekt, dass Kuchen und Schokoladentafeln ernährungsphysiologisch nicht gerade Erziehungsideale sind, die in der Schule im Mittelpunkt stehen sollten, kann in dieser Einheit keine Rücksicht genommen werden. Die Anschauungs- und Identiikationsmöglichkeiten dieser Modelle sind lernpsychologisch einfach zu verführerisch. Die alte Streitfrage, mit welchem Modell man Brüche am besten erarbeitet, wird hier folgendermaßen gelöst: Der Einstieg erfolgt über das Kuchenmodell (alternativ: Pizza), da für die Schülerinnen und Schüler ein Ganzes in der regelmäßigen Form des Kreises anschaulicher ist als ein Rechteck. Auch die bereits ausgeprägten Vorstellungen von der Uhr und des Zeigers, der Viertel, Halb und Dreiviertel zurücklegt, spricht für diesen Zugang. Ebenfalls ist das Kreismodell für die spätere Addition und Subtraktion der geeignetere und anschaulichere Zugang, da Bruchteile dann einfach „umgetauscht“ werden können. 14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012 I Zahlen und Größen • Beitrag 27 Bruchvorstellung 13 von 28 Ein Stück von der Schokoladentafel abbrechen M6 Aufgaben Foto: colourbox 1. Färbe in den Schokoladentafeln a) bis i) die angegebenen Bruchteile ein. 2. Wie kann man die einfärbten Brüche noch bezeichnen? Schreibe weitere Möglichkeiten auf. 3. Zeichne in jede Schokoladentafel einen weiteren Bruch ein und schreibe ihn neben das Rechteck. Brüche kannst du nicht nur als Kuchen- oder Pizzastücke darstellen. Wie zähle ich bloß die ganzen Schokoladenstücke? a) b) c) T H C 1 2 A R O I S N d) 3 4 1 5 e) f) 3 10 21 30 4 15 g) h) i) 1 2 1 5 7 12 V 14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012 I Zahlen und Größen • Beitrag 27 Bruchvorstellung 19 von 28 Kuchenstücke zusammenfassen – die Einteilung vergröbern M 10 Was passiert, wenn du mehrere Kuchenstücke zu einem Kuchenstück zusammenfasst? Aufgaben 1. Beschrifte die dargestellten Brüche. 2. Vergröbere dann die Einteilung so weit wie möglich. Umrande dazu die neuen Bruchstücke farbig. Wie heißt der Bruch nun? a) d) b) c) T H C I S N e) f) A R O V g) h) i) Was meinst du? Kann man jeden Bruch vergröbern? 14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012 M1 4 von 24 Wie it bist du schon im Bruchrechnen? Knicke das Blatt an der gestrichelten Linie nach hinten um. Berechne die Aufgaben, vergleiche mit der Lösung und kreuze an, wie es geklappt hat: L nicht so gut K ganz gut J sehr gut, (fast) alles richtig Wenn du L oder K angekreuzt hast, übe an den genannten Stationen. Kann ich …? Aufgabe Lösung Welcher Anteil ist dargestellt? Brüche mit gleichem Nenner addieren? a) 2 4 + = 7 7 b) 2 9 + = 11 11 a) 6 7 b) 1 Brüche mit ungleichem Nenner addieren und subtrahieren? a) 1 1 + = 2 4 b) 2 3 − = 3 5 a) 3 4 b) a) 3 3 = 7 4 b) 4 3 = 5 8 a) 9 28 mit Brüchen geschickt rechnen, z. B. sinnvoll kürzen/erweitern und gemischte Brüche umwandeln? sicher in den Grundrechenarten (+, –, •, :) rechnen? 5 8 5 8 12 = a) Berechne geschickt: 12 4 10 1 b) Wandle um: 2 5 a) b) 1 3 1 + = 2 4 4 a) 4 3 b) b) b) 3 10 11 5 5 8 L K Hier kann ich üben J Übung erledigt? Station 1 Station 1 Station 2 Station 3 Station 6, A1 Station 4 Station 5 Station 6 Station 4 Station 5 I 2 1 : = 3 2 a) 1 1 15 So hat’s geklappt: Zahlen und Größen • Beitrag 24 mir Brüche bildlich vorstellen, zum Beispiel als Kuchenstück? Brüche multiplizieren? Knicke hier um! Lerntheke Bruchrechnen T ICH ANS VOR 13 RAAbits Realschule Mathematik November 2011 Mit Brüchen rechnen – was kann ich schon? 6 von 24 Lerntheke Bruchrechnen Station 1 Zahlen und Größen • Beitrag 24 Pizza-Jagd – Brüche geschickt addieren I – T H C I S N A R O V 13 RAAbits Realschule Mathematik November 2011 12 von 24 Lerntheke Bruchrechnen Zahlen und Größen • Beitrag 24 I Schatzsuche in Ägypten – Rechenarten gemischt Station 4 Um an die Schätze der alten Ägypter heranzukommen, brauchst du einen Geheimcode. So geht’s 1. Suche dir einen Mitschüler, der gegen dich antritt. 2. Jeder schneidet seine 12 Karten aus. Ihr braucht Stift und Papier für Nebenrechnungen. Außerdem dürft ihr die Tippkarte verwenden, aber probiert es erst einmal ohne. 3. Setzt euch so hin, dass ihr nicht voneinander abschauen könnt. 4. Jeder bildet nun aus seinen Karten möglichst viele Aufgaben mit Lösung. Verwendet dazu immer 5 Karten nach dem Schema unten. Schreibt die Aufgabe und den Buchstabencode auf. Schema + – Bruch Bruch • T H C Bruch (Lösung) = I S N : 5. Ihr habt 15 Minuten Zeit. Holt euch danach eine Schatzkarte und überprüft eure Buchstabencodes. Für jeden richtigen Code gibt es 10 Goldmünzen. Gewonnen hat, wer am Ende die meisten Goldmünzen hat. A R O – • S 2 9 + : = 11 12 M D G N 7 9 5 9 1 3 2 3 1 4 F Z P H R Q + – • : = 11 12 A S M D G N 2 9 7 9 5 9 1 3 2 3 1 4 F Z P H R Q V A 13 RAAbits Realschule Mathematik November 2011 I Zahlen und Größen • Beitrag 23 5 von 24 Dezimalbrüche vergleichen und ordnen Wie viel Käse darf’s denn sein? M1 Foto: picture-alliance/ZB Hallo! Ich bin Malte. Ich helfe meinen Eltern im Holaden, um mein Taschengeld aufzubessern. Heute muss ich den Käse für den Verkauf vorbereiten. Aufgabe Maltes Vater hat bereits fünf Käsestücke verpackt und gewogen. Malte soll nun die Preisschilder aufkleben. Kannst du ihm helfen? Die Käsestücke und Preisschilder indest du unten auf der Seite. T H C So geht’s Arbeite allein I S N Notiere deine Vermutungen und Lösungsvorschläge. Schreibe deine Lösungsschritte in Worten auf, auch wenn du nicht sicher bist, ob deine Lösung stimmt. A R O Kommst du nicht weiter, formuliere für diese Stelle eine Frage. Tauscht euch aus V Hast du die Aufgabe gelöst? Sprich mit deinem Sitznachbarn über deine Lösung und deinen Lösungsweg. Was hält er von deinem Vorgehen? Was hältst du von seinem Vorschlag? Präsentiert vor der Klasse Bereitet euch zusammen auf eine kurze Präsentation eurer Lösungswege und Ergebnisse vor. 0,210 kg 0,220 kg 0,215 kg 0,204 kg 0,198 kg 2,65 € 2,80 € 2,86 € 2,57 € 2,73 € 12 RAAbits Realschule Mathematik August 2011 6 von 24 Dezimalbrüche vergleichen und ordnen Zahlen und Größen • Beitrag 23 I Partnercheck – Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl M2 Aufgabe Partner A a) Löse die Aufgaben zunächst allein. (1) Welche Dezimalzahlen sind hier markiert? Schreibe sie auf die Linien. 6,4 6,3 6,5 6,6 (2) Markiere folgende Dezimalzahlen: 2,695 2,1 2,0 2,2 2,3 6,7 2,04 2,4 6,8 1,99 6,9 2,19 2,5 7,0 2,325 T H C 2,5 2,7 2,6 I S N b) Suche dir einen Partner, der Blatt B bearbeitet hat. Legt eure Zahlenstrahle übereinander und vergleicht die Ergebnisse. Korrigiert Fehler gemeinsam. A R O Aufgabe a) Löse die Aufgaben zunächst allein. (1) Markiere folgende Dezimalzahlen: 6,875 V 6,3 6,4 6,5 6,6 6,55 6,7 6,445 6,8 Partner B 7,02 6,69 6,9 6,3 7,0 (2) Welche Dezimalzahlen sind hier markiert? Schreibe sie auf die Linien. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 b) Suche dir einen Partner, der Blatt A bearbeitet hat. Legt eure Zahlenstrahle übereinander und vergleicht die Ergebnisse. Korrigiert Fehler gemeinsam. 12 RAAbits Realschule Mathematik August 2011 4 von 18 Dezimalbrüche dividieren M1 I Zahlen und Größen • Beitrag 8 Mein Laufzettel Wie viel Geld haben die Diebe erbeutet? Wo haben sie sich und ihre Beute versteckt? Halte hier deine Ergebnisse fest. AZ: 345DFE2 Dein Name: Ich habe Folgendes herausgefunden: Station 1: Die 13 Zahlen des Sicherheitsschlosses am Tresor lauten der Reihe nach: , , , , , , , , , , , , (Zahl des Juweliers); Rechnung: Station 2: Jeder der Diebe hat circa . Millionen € erbeutet. Mit ihrem Wagen kamen die Diebe Kilometer weit. T H C Zum Sprengen der Türen verwendeten die Diebe elf Ladungen Dynamit, von denen jede circa kg schwer war. Drei Diebe mussten laufen, einer musste I S N Aufgrund der Zeugenaussage liegt folgende Vermutung nahe: Station 3: Die Diebe verstecken sich unter folgenden Adressen: A R O Dieb 1: Dieb 3: Dieb 2: Dieb 4: Station 4: Die Beute wurde auf vier Schließfächer verteilt. V Die Schließfachnummern und -buchstaben lauten: ; 3 RAAbits Realschule Mathematik Mai 2009 ; ; laufen. I Zahlen und Größen • Beitrag 8 Station 1 Dezimalbrüche dividieren 5 von 18 Welcher Code öffnet den Tresor? Juwelier Diamanten Maier hat eine riesige und sehr wertvolle Lieferung Armreifen, Ketten, Ringe und Goldbarren erhalten. Sie befindet sich im Tresor im Keller des Gebäudes. Foto: BilderBox Weil der Juwelier sich den Code zum Öffnen des Tresors nicht merken kann, hat er sich Folgendes überlegt: Das Juweliergeschäft Diamanten Maier Jeder seiner Angestellten merkt sich eine Rechenaufgabe und zwei Zahlen. Eine der Zahlen ist das Ergebnis der Rechenaufgabe eines anderen Angestellten. Diese Zahl ist auch Teil des Codes. Die andere Zahl hat keine Bedeutung. Nun ist der Raubüberfall des Jahrhunderts geschehen. Die Diebe haben die Angestellten gezwungen, ihre Rechnungen und Zahlen preiszugeben. T H C Kannst du daraus den Code ermitteln und den Tresor öffnen? Dabei hilft dir das folgende Spiel. Legespiel mit Trimino-Karten – so geht’s I S N Auf jeder Trimino-Karte stehen eine Rechenaufgabe und zwei Zahlen. · Beginne mit der Karte mit der Zahl 4,31. Löse die Rechenaufgabe. A R O · Suche das Ergebnis auf den übrigen Karten. Hast du es gefunden, lege das Ergebnis an der Seite mit der Rechenaufgabe an. · Löse die Rechenaufgabe auf der angelegten Karte. Das Ergebnis steht auf einer der übrigen Karten. Lege diese Karte an. So geht es immer weiter, bis alle Karten angelegt sind. V · Hast du alle Karten aneinandergelegt? Dann schreibe die Ergebnisse der Rechenaufgaben der Reihenfolge nach auf deinen Laufzettel. Das ist der Code zum Öffnen des Tresors. Zum Weiterdenken Der Juwelier war nicht im Geschäft, als die Diebe kamen. Deshalb fehlen den Dieben die Rechenaufgabe und die eine Zahl des Juweliers. Diese Zahl ist die letzte Zahl des Codes. Finde die Zahl und die Rechenaufgabe heraus. · Die eine Zahl des Juweliers ist das Ergebnis von 2,5396 : 0,56. Die andere Zahl ist bedeutungslos. · Die Rechenaufgabe des Juweliers ergibt eine der Zahlen auf der Anfangskarte (4,31 oder 7,83). Die Diebe haben den Tresor leergeräumt. 3 RAAbits Realschule Mathematik Mai 2009 I Zahlen und Größen • Beitrag 8 Dezimalbrüche dividieren Trimino-Karten (Station 1) 3 4,3 1 7,8 ,5 : 3,5 ,7 17 38 T H C 13,4 : 0,2 67 0,3 4,8 : 0,16 30 ,49 ,3 56 7,8 33 ,6 42 5,2 :6 8,2 : 4 8,48 : 4 2,12 78,1 9 8: ,3 30 6 0,5 ,55 21 ,96 16 5,1 2 4 :1 0,4 2,2 2 ? 4 :3 24 3,0 6 ,73 22 77 2,5 ,56 3 9 6: 0 ? ? 12 ,19 12 2 5,3 :4 ,5 ,22 68 59 4 4,5 ,5 19 22 5: 34 V 0,3 12 A R O 1,3 37 I S N 13 42 5 24 : 0,6 40 52,3 3 RAAbits Realschule Mathematik Mai 2009