Elementare Topologie

Wintersemester 2012
Blatt 1
Abgabe am 25.X.12
Fachbereich Mathematik & Informatik
Philipps-Universität Marburg
Dr. Simon G. Chiossi
Elementare Topologie
Jene mit dem Stern * gekennzeichnete Übungen sind fakultativ
(d.h. nicht verpflichtend) aber sie liefern zusätzliche Punkte.
(1) Jeder metrische Raum (X, d) ist ein T2 -Raum (bezüglich der metrischen
Topologie O(d)).
(2) Für jeden topologischen Raum (X, O) gilt:
(a) Int(X) = X und ∅ = ∅.
(b) Int(A) ⊆ A ⊆ A, für jede Teilmenge A ⊆ X.
(c) Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B) und A ∪ B = A ∪ B für je zwei Teilmengen A, B ⊆ X.
(3) Man beweise, daß ein topologischer Raum (X, O) genau dann ein T1 Raum ist, wenn alle einelementigen Mengen {x} (x ∈ X) abgeschlossen
sind.
(4) Ist X ein T1 bzw. T2 –Raum, so haben alle seine Unterräume (mit der induzierten Topologie) die gleiche Eigenschaft.
Redewendung: T1 und T2 sind “erbliche” Eigenschaften bzgl. Unterräumen.
(5) Sei D ⊂ Rn (n > 1) eine abzählbare Menge. Man überlege sich, daß Rn −D
zusammenhängend ist.
Was kann im Fall n = 1 passieren ?
(6) Definition. Der topologische Rand Fr(A) einer Teilmenge A ⊆ X eines
topologischen Raumes X ist die Menge aller derjenigen Punkte, die im
Abschluß von A, aber nicht im Inneren von A liegen:
Fr(A) := A − Int(A)
(“Fr” aus dem Englischen “frontier”; manchmal benutzt man ∂A;
(“Int” aus “interior”, manchmal mit Å bezeichnet.)
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Wintersemester 2012
Blatt 1
Abgabe am 25.X.12
Fachbereich Mathematik & Informatik
Philipps-Universität Marburg
Dr. Simon G. Chiossi
Man zeige folgende Eigenschaften:
(a)
Fr(A) = A ∩ X − A und Fr(A) = Fr(X − A);
(b)
A = A ∪ Fr(A) und Fr(A) ∩ Int(A) = ∅;
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X = Int(A) Fr(A) Int(X − A). 1
(c)
Auf diesem ersten Blatt gibt es keine *-Übungen!
Bei Fragen stehe ich zur Verfügung in meinem Büro (08A02), oder per email
[email protected]
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ist die disjunkte Vereinigung
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