Aufgabe 1. Relaxation von M. bitte wenden

Prof. Dr. Franz Kalho
Dipl. Math. Stefan Höppner
SS 2014
Aufgaben zur Matroidtheorie
Blatt 10
Aufgabe 1.
(a) Sei M = (E, J ) ein Matroid mit einer Teilmenge X , die gleichzeitig ein Kreis und
eine Hyperebene ist. Sei B 0 = B(M ) ∪ X . Zeigen Sie, dass B 0 ein Matroid M 0 auf
E deniert. M 0 heiÿt auch Relaxation von M .
(b) Zeigen Sie, dass jede Relaxation des Fanomatroids F7 isomorph zum Non-Fanomatroid
¬F7 ist.
Untersuchen Sie, ob die Matroide U6,2 , U6,4 , ¬F7 , ¬F7∗ , P6 , P8 , P800 über
F2 , F3 , F4 oder F5 darstellbar sind! Dabei ist P8 ein Matroid auf E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
gegeben durch
Aufgabe 2.
E
B :=
\ {{1, 4, 5, 8}, {2, 3, 6, 7}, {1, 2, 3, 8}, {1, 2, 4, 7}, {1, 3, 4, 6}, {2, 3, 4, 5},
4
{1, 5, 6, 7}, {2, 5, 6, 8}, {3, 5, 7, 8}, {4, 6, 7, 8}}
und P800 ein Matroid auf E gegeben durch
B
00
E
:=
\ {{1, 2, 3, 8}, {1, 2, 4, 7}, {1, 3, 4, 6}, {2, 3, 4, 5}, {1, 5, 6, 7}, {2, 5, 6, 8},
4
{3, 5, 7, 8}, {4, 6, 7, 8}}
4
5
8
6
P6
3
1
P8
2
7
Finden Sie ein Matroid M (acht Punkte reichen aus), das über den komplexen
Zahlen aber nicht über den reellen Zahlen darstellbar ist.
Aufgabe 3.
bitte wenden
Aufgabe 4. Ein Körper (K, +, · ) heiÿt angeordnet, wenn auf K eine antisymmetrische,
reexive, transitive und totale Relation ≤ deniert ist (Anordnung genannt), die den beiden
folgenden Monotoniegesetzen genügt.
(M1) a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c
(M2) a ≤ b, 0 ≤ c =⇒ ac ≤ bc
Weisen Sie nach, dass in jedem angeordneten Körper (K, +, · , ≤) gilt:
a) a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ bc ≤ ac
b) K hat die Charakteristik 0,
c) die Abbildung sg≤ : K\0 −→ {−1, 1}, deniert durch
sg≤ (x) = 1 ⇐⇒ 0 < x, ist ein Homomorphismus der multiplikativen Gruppe von K
mit additiv abgeschlossenem Kern (d.h. ker(sg≤ ) + ker(sg≤ ) ⊂ ker(sg≤ )),
d) der Positivbereich P≤ := {x ∈ K | 0 < x} ist additiv und multiplikativ abgeschlossen
und K ist disjunkte Vereinigung von P , −P und {0}.
Abgabetermin:
bis Montag, 16.06.14, 12 Uhr