5 - TUM - Zentrum Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Diskrete Optimierung: Grundlagen (MA 2501)
Prof. Dr. R. Hemmecke, Dr. R. Brandenberg, M.Sc.-Math. B. Wilhelm
Übungsblatt 5
Aufgabe 5.1
Sei E eine endliche Menge, k ∈ N, (E1 , . . . , Ek ) eine Partition von E, b1 , . . . , bk ∈ N0 und
I = {I ⊂ E : |I ∩ Ei | ≤ bi , i = 1, . . . , k}.
Zeigen Sie: (E, I) ist ein Matroid.
Aufgabe 5.2
Sei G = (V, A, `) ein gewichteter Digraph mit Gewichtsfunktion ` : A → R≥0 und sei
s ∈ V . Wir definieren
P := {P : P ist gerichteter Pfad in G mit Startknoten s}.
Ferner sei
I := {A ⊆ P : (∀P1 , P2 ∈ A mit P1 6= P2 : P1 und P2 haben verschiedene Endknoten)}
das Mengensystem, das eine Menge A von Pfaden aus P genau dann als Element enthält,
wenn alle Pfade aus A verschiedene Endknoten haben.
a) Zeigen Sie, dass M = (P, I) ein Matroid ist.
b) Definieren Sie eine Gewichtsfunktion `¯ : P → R≥0 , sodass der Greedy-Algorithmus
zur Minimierung über den Basen von M mit Gewichtsfunktion `¯ im Prinzip dem
Dijkstra-Algorithmus entspricht.
c) Wieso sollte man trotzdem kürzeste Wege in der Praxis auf keinen Fall mit obigem
Matroid und dem zugehörigen Greedy-Algorithmus bestimmen?
Bitte wenden!
Aufgabe 5.3
Sei G = (V, A) ein Digraph. Ein Weg in G, der jeden Knoten genau einmal besucht, heißt
(gerichteter) Hamiltonpfad.
Sei weiter G0 := (V, E) mit E = {{u, v} : (u, v) ∈ A} der aus G durch Vernachlässigung
der Richtungen hervorgehende ungerichtete Graph.
a) Sei I := {B ⊆ A : B enthält keinen gerichteten Zyklus}. Zeigen Sie, dass U := (A, I)
ein Unabhängigkeitssystem, aber i.A. kein Matroid ist.
b) Sei M1 = (A, I1 ), wobei I1 die Teilgraphen von G enthalte, deren ungerichtete Entsprechungen in G0 kreisfrei sind und die außerdem keine gerichteten Zyklen der Länge
2 enthalten.
Definieren Sie zwei weitere Matroide M2T= (A, I2 ) und M3 = (A, I3 ), sodass die
Mengen der Kardinalität |V | − 1 in IH := 3i=1 Ii genau die gerichteten Hamiltonpfade
in G angeben.
Anmerkung: Beachten Sie
• die Bestimmung von Hamiltonpfaden in (Di-)Graphen ist (im komplexitätstheoretischen Sinne) schwer,
• Teil (b) zeigt, dass die Optimierung über 3-Matroid-Schnitten (im komplexitätstheoretischen Sinne) mindestens so schwer ist, wie die Bestimmung von Hamiltonpfaden,
und
• es gibt effiziente Algorithmen zur Maximierung über 2-Matroid-Schnitten (vgl. Aufgabe 3.3).
Abgabe bis eine Woche nach der Übung, in der das Blatt bearbeitet wurde.
Bitte notieren Sie auf Ihrer Abgabe:
• Name(n), Vorname(n) und
• Rückgabeübungsgruppe (Nummer laut Homepage, Wochentag, Uhrzeit
und Übungsleiter).