MATHEMATISCHES INSTITUT Wintersemester 2010/11 DER
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MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Wintersemester 2010/11
Blatt 7
Prof. Dr. Wilfried Buchholz
Übungen zur Vorlesung “Mathematische Logik”
Aufgabe 25
Sei L = {f, R}, wobei f ein 1-st. Funktionszeichen und R ein 2-st. Relationszeichen.
Man beweise für beliebige L-Strukturen M, M0 : M ≡ M0 und M endlich =⇒ M ∼
= M0 .
[Hinweis: Für jede endliche L-Struktur M kann man explizit eine Formel A angeben, so daß
für jede L-Struktur M0 gilt: M0 |= A ⇐⇒ M0 ∼
= M. ]
Definition
Eine Klasse S von L-Strukuren heißt (endlich) axiomatisierbar ,
wenn es ein (endliches) Axiomensystem Σ mit S = ModL (Σ) gibt.
Aufgabe 26
Es sei S ein Klasse von L-Strukturen und S = {M : M ist L-Struktur & M 6∈ S}.
Ferner sei Σ eine Menge von L-Sätzen. — Man beweise:
(a) S endlich axiomatisierbar ⇐⇒ Es gibt einen L-Satz A mit S = ModL ({A}).
(b) M ∈ S & M0 ∈ S & M ≡ M0 =⇒ S nicht axiomatisierbar.
(c) S endlich axiomatisierbar ⇐⇒ S und S sind axiomatisierbar.
(d) ModL (Σ) endlich axiomatisierbar =⇒ es gibt ein endliches ∆ ⊆ Σ mit ModL (Σ) = ModL (∆).
Aufgabe 27
Sei L ein Sprache. Man beweise:
(a) Wenn S eine Klasse von endlichen L-Strukturen ist, so daß für jedes n ∈ IN ein M ∈ S mit card(|M|) ≥ n
existiert, dann ist S nicht axiomatisierbar.
(b) Die Klasse aller unendlichen L-Strukturen ist axiomatisierbar, aber nicht endlich axiomatisierbar.
Aufgabe 28
Man beweise:
(a) Die Klasse aller Körper der Charakteristik 0 ist axiomatisierbar, aber nicht endlich axiomatisierbar.
(b) Gilt ein Satz A in allen Körpern der Charakteristik 0, so existiert ein n0 ∈ IN, so daß A auch in allen
Körpern mit Charakteristik p ≥ n0 gilt.
Abgabetermin: Mittwoch, 8. 12. 2010, 14hct im Übungskasten.
