Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
10.12.2013
Alexander Lytchak
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Motivation
I
Für das Verständis affiner Teilräume eines Vektorraums sind
Translationen ganz hilfreich. Man kann sie als Symmetrien des
Vektorraumes interpretieren, die alle geometrischen Strukturen
erhalten, abgesehen vom Ursprung, dem Nullelement.
I
Wir haben auch Affinitäten der Ebene benutzt, um Aussagen über
Dreiecke zu erhalten. Diese kann man als Symmetrien der Ebene
intrepretieren, die die affine Geometrie erhalten ( Geraden und
Strecken).
I
Die Existenz von Symmetrien eines Dreiecks führte zu neuen, wenn
auch im Moment nicht sehr tiefen Erkenntnissen: Existenz des
Massenschwerpunktes.
I
Die Symmetrie ist neben der Zahl der fundamentalste Begriff der
Mathematik. Wir machen uns nun daran, die beiden Begriffe zu
präzisieren und zusammenzuführen.
Alexander Lytchak
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Verknüpfungen
Definition
Sei M eine Menge. Eine Verknüpfung auf M ist eine Abbildung
◦ : M × M → M, (m1 , m2 ) → m1 ◦ m2 . Mit (M, ◦) bezeichnen wir die
Menge M mit der Verknüpfung ◦.
Definition
Sei (M, ◦) eine Menge mit Verknüpfung. Die Verknüpfung heißt assoziativ,
wenn für alle m1 , m2 , m3 ∈ M gilt m1 ◦ (m2 ◦ m3 ) = (m1 ◦ m2 ) ◦ m3 .
Die Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle m1 , m2 ∈ M gilt
m1 ◦ m2 = m2 ◦ m1 .
Alexander Lytchak
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Verknüpfungen. Beispiele
I
(R, +), (R, ·) sind kommutativ und assoziativ. (R, −) ist nicht
assoziativ und nicht kommutativ.
I
(N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (C, +), (C, ·) sind
kommutativ und assoziativ. Dabei sind N, Z, Q, C die Mengen der
natürlichen bzw. ganzen bzw. rationalen bzw. komplexen Zahlen.
I
(m, n) → m − n ist keine Verknüpfung auf N.
I
Sei Mn (R) die Menge der quadratischen (n × n)-Matrizen. Dann ist
die Matrixaddition + auf Mn (R) assoziativ und kommutativ. Die
Matrixmultiplikation · auf Mn (R) ist assoziativ aber nicht
kommutativ, wenn n ≥ 2.
I
Die Addition auf jedem Vektorraum ist assoziativ und kommutativ.
I
Das aus der Schule eventuell bekannte Vektorprodukt
× : R3 × R3 → R3 ist nicht kommutativ und nicht assoziativ.
Alexander Lytchak
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Verknüpfungen. Beispiele
I
Sei M eine beliebige Menge. Sei Abb(M) die Menge aller
Abbildungen f : M → M und sei Bij(M) ⊂ Abb(M) die Teilmenge
aller bijektiven Selbstabbildungen von M. Die Komposition ◦ definiert
assoziative Verknüpfungen auf Abb(M) und Bij(M).
I
Die Komposition auf der Menge aller Endomorphismen End(V ) eines
Vekotrraums V ist eine assoziative, aber meistens nicht kommutative
Verknüpfung. Bezüglich der Addition ist End(V ) ein Vektorraum,
insbesondere ist + auf End(V ) assoziativ und kommutativ.
I
Sei V ein Vektorraum. Auf der Menge der Translationen
Translationen(V ) von V und auf der Menge der Affinitäten von V
definiert die Komposition eine assoziative Verknüpfung.
Alexander Lytchak
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Neutrales Element und Inverse
Definition
Sei (M, ◦) eine Menge mit Verknüpfung. Ein Element e ∈ M heißt ein
neutrales Element, falls für alle m ∈ M gilt m ◦ e = e ◦ m = m.
Wenn es ein neutrales Element gibt, ist es eindeutig bestimmt.
Definition
Sei (M, ◦) eine Menge mit assoziativer Verknüpfung und neutralem
Element e. Ein Element g ∈ M heißt invertierbar, falls es ein h ∈ M mit
g ◦ h = h ◦ g = e. Das Element h heißt das Inverse von g und wird mit
g −1 bezeichnet.
Lemma
Sei (M, ◦) assoziativ und e neutrales Element. Seien a, b, g ∈ M. Gilt
a ◦ g = e = g ◦ b, so ist a = b. Insbesondere ist das Inverse eindeutig
bestimmt, wenn es existiert.
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Neutrales Element und Inverse. Beispiele
I
I
I
I
I
I
In (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) ist 0 das neutrale Element.
In N ist nur die 0 invertierbar. In Z, Q, R, C sind alle Elemente
invertierbar und das Inverse von m ist −m.
In (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·) ist 1 das neutrale Element.
Invertierbar sind in N nur 1, in Z nur ±1 und Q, R, C alle Elemente
außer 0.
In jedem Vektorraum (V , +) ist 0 das neutrale Element und das
Inverse von v ist −v .
In (Mn (R), ·) ist die Einheitsmatrix En das neutrale Element. Genau
die invertierbaren Matrizen sind invertierbar.
In (Abb(M), ◦) ist die Identität idM das neutrale Element. Die
Teilmenge der invertierbaren Elemente ist genau Bij(M), die Menge
der bijektiven Selbstabbildungen.
In (End(V ), ◦) ist idV das neutrale Element. Die Menge der
invertierbaren Elemente ist genau Aut(V ), die Menge aller
Automorphismen von V .
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Einige Rechenregeln
Sei (M, ◦) eine Menge mit assoziativer Verknüpfung und neutralem
Element ◦. Im Folgenden seien m1 , ..., mr , g , h, m Elemente aus M.
I
Produkte m1 ◦ m2 ◦ ... ◦ mr sind ohne Klammern wohldefiniert. D.h.
man kann in beliebiger Reihenfolge die Multiplikationen ausführen.
I
Ist m invertierbar und gilt m ◦ g = m ◦ h, so gilt g = h. Genauso kann
man invertierbare Elemente von rechts kürzen.
I
Sind g und h invertierbar, so ist es auch g ◦ h und es gilt
(g ◦ h)−1 = h−1 ◦ g −1 .
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Gruppen. Definition
Definition
Eine Gruppe ist eine Menge mit assoziativer Verknüpfung ◦ und neutralem
Element e, in der alle Elemente invertierbar sind. Die Gruppe heißt abelsch
oder kommutativ, wenn die Verknüpfung kommutativ ist.
Dies ist wahrscheinlich der wichtigste mathematische Begriff überhaupt.
Alexander Lytchak
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Gruppen. Beispiele I
Es gibt zwei große Klassen von Beispielen: Zahlen und Symmetrien.
I
Wir kennen folgende abelsche Gruppen: (Z, +), (Q, +),
(R, +),(C, +). Und auch (Rx , ·), (Cx , ·) ,(Qx , ·), wobei wir mit K x
die Menge K \ 0 bezeichnen, für K = Q, R, C.
I
Ist V ein Vektorraum , so ist (V , +) eine abelsche Gruppe.
Insbesondere sind der Koordinatenraum Rn und die Menge der
Matrizen Rm×n abelsche Gruppen.
I
Die Menge der invertierbaren Matrizen (GLn (R), ·) ist eine Gruppe.
I
Viele interessante Teilmengen der obigen Gruppen sind Gruppen. Z.B.
bezüglich der Addition haben wir die Gruppe der Gaußschen Zahlen
Z[i] := {x + yi ∈ C|x, y ∈ Z} und die Gruppe der algebraischen
Zahlen {x ∈ C|∃a0 , ..., an ∈ Q, a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n = 0}.
(Diese Objekte lernen sie später in Algebra-Vorlesungen besser
kennen.)
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Untergruppen. Beispiele II
Definition
Ist (G , ◦) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G , so heißt H eine
Untergruppe, geschrieben H < G , falls folgende Eigenschaften gelten:
1) Das neutrale Element e von G liegt in H.
2) Sind g , h ∈ H, so ist g ◦ h ∈ H.
3) Ist g ∈ H, so ist g −1 ∈ H.
Ist H eine Untergruppe von (G , ◦) so definiert ◦ auch eine Verknüpfung
auf H und macht es zu einer Gruppe.
I
Ein Untervektorraum eines Vektorraumes (V , +) ist eine Untergruppe.
Qn mit der komponentenweise Addition ist eine Untergruppe aber
kein Untervektorraum von Rn . Ebenso das ganzzahlige Gitter Zn .
I
(Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +)
I
(Qx , ·) < (Rx , ·) < (Cx , ·)
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Untergruppen. Beispiele III
I
Die Teilmenge aller Diagonalmatrizen ist eine Untergruppe von
(Mn , (R), +).
I
Eine Diagonalmatrix ist invertierbar (bezüglich der
Matrixmultiplikation) genau dann, wenn jedes ihrer Diagonalelemente
ungleich Null ist. Dann ist das Inverse auch eine Diagonalmatrix. Die
Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen ist eine Untergruppe von
GLn (R).
I
Die Menge Pn der (n × n)-Permutationsmatrizen (in jeder Zeile und
jeder Spalte gibt es genau eine 1 und sonst Nullen) ist eine
Untergruppe von GLn (R).
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Symmetrien
Symmetrien eines Objektes sind Selbstabbildungen des Objektes die
gewisse uns wichtig erscheinende Strukturen erhalten.
Alexander Lytchak
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Bespiele von Gruppen. Symmetrien
I
Betrachten wir Figuren (d.h. Teilmengen) in der Ebene R2 . Nennen
wir eine Selbstabbildung der Ebene eine (euklidisiche) Symmetrie der
Figur, wenn die Selbstabbildung Abstände nicht verändert (also eine
sogenannte Bewegung der Ebene ist) und die Figur auf sich selbst
abbildet. Dies ist eine Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen der
Ebene. Wir werden im Folgenden ohne Beweis annehmen, dass jede
Bewegung der Ebene eine affine Abbildung ist, also durch die Bilder
dreier affin unabhängiger Punkte festgelegt ist. In der Tat ist jede
Bewegung eine Drehung um einen Punkt, eine Translation, oder eine
Hintereinanderausführung einer Spiegelung an einer Geraden und
einer Translation entlang der Spiegelungsachse.
I
Die Gruppe der Symmetrien eines vollkommen unsymmetrischen
Objektes besteht nur aus der Identität. Die Gruppe hat genau ein
Element, das auch das neutrale Element ist. Solche Gruppen haben
wir schon vorher als die additive Gruppe eines 0-dimensionalen
Vektorraums gesehen.
Alexander Lytchak
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Symmetrien II. Dreieck
I
Die Gruppe der Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks besteht aus
der Identität, drei Spiegelungen und zwei Drehungen. Die Gruppe ist
nicht abelsch.
I
Die Gruppe der Symmetrien eines gleichschenkligen und nicht
gleichseitigen Dreiecks besteht aus der Identität und einer Spiegelung.
Die Gruppe ist abelsch.
I
Die Gruppe der Symmetrien eines nicht gleichschenkligen Dreiecks
besteht nur aus einem Element, der Identität.
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