08 Leiter im E- Feld und Kondensatoren

Elektrostatik
1. Ladungen Phänomenologie
2. Eigenschaften von Ladungen
3. Kräfte zwischen Ladungen, quantitativ
4. Elektrisches Feld
5. Der Satz von Gauß
6. Das elektrische Potenzial und Potenzialdifferenz
7. Feldberechnungen
8. Materie im elektrischen Feld
i) Ladungen
ii) Dipole
iii) Leiter Metalle
iv) Sonderfall Leiter: Kondensator
v) Isolatoren
-
Elektrischer Leiter
Elektrischer Leiter:
frei bewegliche Ladungsträger
(Elektronen oder Ionen)
Unterscheidung spez. Widerstand ρ [Ωm] (20 Größenordnungen)
Leiter 10-8 - 10-6
Halbleiter 1
Nichtleiter (Isolator, Dielektrika) > 1012
Beispiele Leiter:
Metalle
Supraleiter
astrophysikalische Plasmen
1
Ladungstrennung Influenz
-
+
+
+
+
+ + -
+
+
-
+
+
-
Anlegen eines externen Feldes
Frei bewegliche Elektronen werden von Feld
verschoben: Elektronenüberschuss auf einer Seite
Atome bleiben zurück: Elektronenmangel
+
+
+
+
Platten unterschiedlich geladen nach Trennung
im Feld
Influenz:
Ladungstrennung (Verschiebung oder lokale Anhäufung) im
elektrischen Feld
Wie viele Ladungen werden
verschoben?
Externes Feld ⇒Verschiebung von Ladungen ⇒ internes Feld
Eext
-
Eges = 0
Eint
+
+
+
+
Es werden so viele Ladungen verschoben, dass im statischen
Fall das Innere eines Leiters feldfrei ist (Eges = Eext +Eint)
Wäre irgendwo E≠ 0, würde auf die dort lokalisierten freien
Ladungsträger q die Kraft F = q E wirken
⇒ Ladungsverschiebung
⇒ Widerspruch zur Annahme einer statischen Situation.
2
Beliebig geformter Leiter im Feld
Eext
-
+
+
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
Ein = 0
Wie ändert sich Feld, wenn
eine Kugel zwischen Platten
gebracht wird?
Ladungen an Oberfläche verschoben,
dass Feld im Inneren null wird
Leiter im elektrischen Feld
1.) Feld im Inneren des Leiter E = 0
da E = 0 und wegen div E = ρ/ε0 ⇒ ρ = 0
d.h es gibt keine Ladungen im Inneren eines Leiters
Wo sitzen dann die Ladungen?
⇒ Ladungen nur an der Leiteroberfläche
E
2.) Feldverteilung and Oberfläche
Statischer Fall: E ⊥ Oberfläche
Beweis:
Annahme E ∠ Oberfläche
E zerlegen in E⊥ und E ⎜⎜
E ⎜⎜ bewirkt Verschiebung von Ladungen
Widerspruch zu statischen Fall
E⊥
E ⎜⎜ ( ⇒ F⎜⎜ = q E⎜⎜)
-q
⇒ Oberfläche = Äquipotenziallinie
3
Leiter im elektrischen Feld (II)
3.) In zusammenhängenden Leitern gilt
Potenzial ϕ = konst
Einnen = 0 = -grad(ϕ) ⇒ ϕ = konst
4. Feldfreiheit in einem leeren Hohlraum im Inneren eines Leiters:
Potenzial im Innenraum:
Randbedingung (Innenwand):
Lösung:
Folgerung:
∆ϕ = 0
ϕ Wand = ϕ0 = const.
ϕ ≡ ϕ0 = const.
r
r
EInnen = 0
Gilt für beliebig geformte Hohlräume (nicht nur Kugel)
Erklärung Hohlkugel
Die leitende Kugelschale umschließt die Ladung
+Q im Innenraum.
Durch Influenz entsteht eine Oberflächenladung
–Q auf der Innenfläche der Kugelschale. Da die
äußere Kugel elektrisch neutral ist wird eine
entgegengesetzte Ladung +Q auf der äußeren
Kugeloberfläche influenziert. Dies führt zu einem
Ausschlag des Elektroskops.
Durch Berühren mit der Hand kann die äußere
Ladung +Q abfließen. Wird die innere Kugel
anschließend wieder entfernt, bleibt am Ende nur
noch die Ladung –Q auf der Kugel und es zeigt
sich wieder ein Ausschlag.
4
Ladungsverteilung auf Leitern
Geladener leitender Körper
Ablöffeln der Ladung an verschiedenen Stellen
Ladungsmenge ist abhängig von der abgenommenen Stelle
Maximale Ladung an der Spitze
Keine Ladung vom Inneren
Spitzeneffekte
Wie groß ist die Ladungsdichte σ auf einer beliebigen Fläche?
r2
r1
ri lokaler Krümmungsradius
Ist gezeigt werden: Auf einer leitenden Oberfläche ist ϕ konstant
ϕ = konst . ⇒ σ = ε 0
σ 1 r2
=
σ 2 r1
r →0⇒σ →∞
ϕ
r
E≈
ϕ
r
(lokale) Ladungsdichte hängt vom Krümmungsradius ab
An Spitzen (r →0) treten sehr hohe
Ladungsdichten auf:
Elektronen treten aus Oberfläche aus
5
Leitender Hohlraum
Faradayscher Käfig
Im Inneren des Zylinders ist ein feldfreier Raum!
Anwendung:
Abschirmung von externen elektrischen Feldern für
empfindliche Messungen
Blitzschutz
Van de Graaff Generator
4. Ladungen sofort auf Außenfläche,
daher Inneres feldfrei
3. Ladungen werden abgestreift
2. Ladungen werden transportiert
1. Ladungen werden auf Band gebracht
(Spitzenentladung)
Kombination von Spitzentladung und Faradaykäfig
Spannungen bis einigen 100kV in Luft
einige MV in Schutzgas
6
Prinzip der Spiegelladung
Wie groß ist die Kraft auf eine Ladung q die sich vor einer
leitenden Metallplatte im Abstand a befindet?
Kraft gleich, als ob sich Ladung mit gleichem Betrag aber
unterschiedlichem Vorzeichen im selben Abstand hinter der Platte
1
q2
befindet
F=
4πε 0 (2 a )2
Spiegelladung
Eq
Enorm
-q
Eq
Etang
Enorm
E-q
a
a
+q
Metall (Leiter)
Ladung q erzeugt Feld Eq
Feld an Metall in Normal- und Tangentialkomponente zerlegt
Forderung: Feld nur Normalkomponente Enorm
Lösung: -q im gleichen Abstand a hinter Wand
Superposition: Eq + E-q = Enorm
Tangentialkomponenten heben sich auf
Feldverlauf wie bei Doppelladung
7
Kondensator
Definition:
Ein Kondensator ist eine Anordnung von zwei geladenen Leitern, deren
Ladung den gleichen Betrag Q aber unterschiedliches Vorzeichen hat.
Parallele Platten
Feldstärke prop. zu Ladung: E = σ/ε0 = Q/(Aε0)
Potenzialdifferenz U = ϕ1 –ϕ2 = E d
+Q
-Q
⇒ U = (d/Aε0 )Q = k Q
Potenzialdifferenz U direkt proportional zu Ladung Q
Proportionalitätskonstante k hängt nur von
Geometrie ab
r
E
Q
-Q
ϕ2
U
Gilt das auch für beliebige Anordnungen ?
Gilt auch hier U = k Q ?
ϕ1
Kapazität
Die Proportionalität gilt für beliebige Leiteranordnungen
U = k ⋅Q
bzw.
Q = C ⋅U
Proportionalitätsfaktor C heißt Kapazität und ist definiert
C=
Q
Ladung
=
U Spannung
Einheit:
[C ] = AsV -1 = CV −1 = F = Farad
Farad sehr große Einheit,
typischerweise pF (10-12F), nF (10-9F) bzw. µF (10-6F)
Schaltzeichen:
8
Wozu Kondensatoren?
Speicherung von Ladungen: Durch Anlegen einer Spannung
Ladungstrennung, Ladungen bleiben gespeichert wenn
Spannungsquelle getrennt wird
Speicherung von Energie: Arbeit zur Ladungstrennung kann
wieder abgegeben werden Blitzlampe
Elektronik: Abstimmung von Fernseh und Radioempfängern
(Senderwahl), Entstörung….
Computer: Speicher (RAM)
Nachrichtenübertragung: Kapazität von Leitungen setzt
maximaler Datenrate Grenzen
Wie berechnet man die Kapazität?
1. Annahme: Ladung Q befindet sich auf
Leiter
2. Berechnung des elektrischen Feldes
3. Bestimmung der Potenzialdifferenz U
zwischen den Leitern
4. Kapazität C aus Definition C = Q/U
berechnen
9
+Q
r
E
−Q
Plattenkondensator
A
Zwei parallele Platten mit Fläche A im Abstand d
Wenn A → ∞ (bzw. in Praxis A >> d2), dann ist
Feld homogen
Es gilt für (angenommene) Ladung Q
E=
σ
Q
=
ε0 ε0 A
U = ϕ 1 − ϕ 2 = ∫ Edr = E d
ϕ2
ϕ1
d
⇒
U=
Q
Q
⋅d =
ε0 A
C
C = ε0 ⋅
A
d
Beispiel:
Plattenkondensator A=1m2, d=1 mm
C= 8.854 10-9F = 8,8nF
Änderung des Plattenabstandes
Kondensator wird aufgeladen
Ladung Q auf Platten
Spannungsquelle abgetrennt
Was passiert wenn der
Plattenabstand verändert wird?
10
Änderung des Plattenabstandes
Die Kapazität eines Plattenkondensators
nimmt wegen
C = ε0
A
d
beim Auseinanderziehen der Platten ab.
Da die Ladung unverändert ist, muss wegen
U=Q/C die Spannung steigen.
Ladung bleibt erhalten
Ladung ändert sich nicht mit Geometrie
Wenn die Spannung angelegt bleibt, dann
ändert sich die Ladung
Kapazität einer Kugel
Wie groß ist die Kapazität einer Kugel mit Radius r?
U = ϕi − ϕa =
Q
4π ε0
⎛1 1 ⎞
⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ri ra ⎠
ra → ∞
C = 4 πε 0 r
Potenzial des Kugelkondensators
Äußere Kugel wird ∞ groß
Kapazität einer Kugel
Beispiele für Kapazitäten:
Stecknadelkopf: 0.11pF
Fußball: 16pF
Erde: 700µF
11
Kapazität einer Kugel
Wie groß ist die Kapazität einer Kugel mit Radius r?
ϕ kugel =
Q 1
⋅
4π ε 0 r
Potenzial einer Kugel
ϕ∞ ≡ 0
Feld endet im ∞
U = ϕ kugel − ϕ ∞ = ϕ kugel =
Q
C
C = 4π ε 0 r
Kapazität einer Kugel
Beispiele für Kapazitäten:
Stecknadelkopf: 0.11pF
Fußball: 16pF
Erde: 700µF
Kapazität eines Kugelkondensators
r r
E =0
r
E
+Q
−Q
r r
E =0
ϕi
Leitende leitender Kugel mit ri und Ladung Q:
r > ri radiales Feld E∝r-2 bzw. ϕ∝r-1
Auf leitender Kugel ra Ladung – Q influenziert
Kugel ra ist Äquipotenzialfläche
2 ri 2 ra
ϕi =
Q
1
⋅
4π ε 0 ri
U = ϕi − ϕa =
ϕa
ϕa =
Q
1
⋅
4π ε 0 ra
Q ra − ri
⋅
4π ε 0 ra ri
C = 4π ε 0 ⋅
ra ri
ra − ri
12
Zylinderkondensator
a
Geladener Leiter:
E∝ r-1 bzw. ϕ ∝ ln(r)
b
C = 2π ε 0
L
L
b
ln
a
Innenleiter
Außenleiter
(Abschirmung)
Anwendung: Koaxialkabel (Antennenkabel)
Typischer Wert 50pf/m
Reihen bzw. Serienschaltung von
Kondensatoren:
Ladung q1 aus Quelle ⇒ Influenz Ladung - q1
Ladung – q1 fehlen auf verbundener Platte ⇒ +q2 = -q1
Ladung +q2 ⇒ Influenz von –q2
q = q1 = q2 U ges = U 1 + U 2
C
C1
2
-q1
+q2
-q2
U1
U2
U
+q1
Cges =
q
q
=
U ges U 1 +U 2
1
1
1
U U
C1C2
= 1+ 2 =
+
bzw . Cges =
Cges
q
q C1 C2
C1 + C2
Gesamtkapa zität immer kleiner als
kleinste Teilkapazi tät
bzw. für n - Kondensatoren in Reihe (Serie)
n
1
1
=∑
Cges i =1 Ci
n - gleiche Kondensatoren in Reihe
1
Cges = Ci < Ci
n
13
Parallelschaltung von Kondensatoren:
+q1 und +q2 bzw. –q1 und –q2 leitend verbunden ⇒ gleiches Potenzial
U = U1 = U 2
C1
-q1
q ges = q1 + q2
+q1
U1
C2
-q2
Potenzialdifferenzen auch gleich
+q2
U2
q ges
q1 q 2
+
= C1 + C2
U
U U
bzw. für n - Kondensatoren parallel
Cges =
=
n
Cges = ∑ Ci
i =1
n - gleiche Kondensatoren parallel
Cges = nCi
U
Arbeit beim Laden eines Kondensators
q
∆q
r
1. Ladung ∆q wird von ∞ auf den Kugelkondensator
gebracht: Arbeit δW um Ladung ∆q gegen die bereits
vorhandenen Ladungen q auf den Kondensator zu bringen
δW = ∆q (ϕkugel – ϕ∞)
2. ϕkugel = q/(4πε0r)
ϕ∞ = 0
3. Kugelkondensator Kapazität C = 4πε0r
1&2&3 ⇒ δW = ∆q q/C
14
Anfang q = 0
Ende der Aufladung q = Q0
Gesamte Energie
W =
Q0
∫ δW =
0
W el =
1
C
Q0
∫ q dq =
0
1 1 2 Q 0 Q 02
q 0 =
C2
2C
1Q2
1
bzw. mit Q = C U ⇒ W el = CU 2
2 C
2
Im geladenen Kondensator gespeicherte Energie
Vorstellung: Energie ist in dem aufgebauten Feld gespeichert
Energiedichte w = W/V Energie/Volumen
w=
1
ε 0E 2
2
Gilt im ganzen Raum
15