Primzahlen Theorie
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Primzahlen Theorie Anwendungen • Sehr effizientes erstellen einer beliebig grossen Maske die immer um ihre eigene grösse Verschoben werden kann. • Beliebig hohe Primzahlen mit einer grossen Wahrscheinlichkeit detektieren indem man die Maske um eine beliebige Anzahl ebene verschiebt. Damit das ganze noch zuverlässiger ist rechnet man noch die Primzahlen noch in die gewünschte ebene. • Sicheres delektieren kleiner Primzahlen. Inhaltsverzeichnis Regelmässigkeiten Primzahlen.............................................................................................................2 Wahrscheinlichkeit Primzahlen............................................................................................................3 Maske...................................................................................................................................................4 Ebene Transformation..........................................................................................................................6 Anmerkungen.......................................................................................................................................7 Erstellt am 29.07.2010 durch Joel Kunz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 2 3 2 2 5 2 3 7 2 2 2 3 3 2 2 5 2 3 2 2 2 5 2 2 2 Regelmässigkeiten Primzahlen 7 3 2 3 3 2 5 3 7 2 2 2 2 3 5 Wenn man die Zahlen fortlaufend in ihre jeweiligen Primfaktoren zerlegt sieht man sofort die Regelmässigkeiten. 5 2 3 2 2 3 3 2 7 2 3 2 2 2 5 2 3 2 5 2 2 3 7 • 3 2 3 2 2 2 5 2 2 3 7 2 3 3 5 2 2 2 2 2 3 7 2 5 7 5 3 2 2 2 3 3 • 3 5 2 2 2 7 3 2 2 2 3 5 2 3 2 2 2 2 2 3 7 2 5 2 2 3 2 3 2 2 5 2 2 3 7 3 2 3 2 5 5 2 7 2 2 3 2 2 2 • 5 3 3 3 3 2 2 2 3 7 5 2 3 2 2 2 2 3 3 5 7 2 2 3 2 5 2 2 2 2 2 3 2 7 3 2 2 5 2 2 7 3 5 3 2 2 3 5 7 2 2 2 3 3 3 2 5 3 2 2 2 2 7 2 3 5 2 2 3 3 2 7 2 2 2 3 5 2 3 2 2 5 2 2 3 2 2 2 2 2 5 3 5 7 2 3 2 2 5 2 3 7 2 3 2 2 2 2 3 3 5 2 3 2 5 7 3 2 2 2 2 2 3 3 5 2 3 2 2 2 7 7 2 3 2 5 5 2 3 3 2 7 5 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 5 7 2 2 3 3 3 2 3 5 2 2 2 2 3 7 2 5 3 2 3 2 2 3 5 2 2 2 5 7 2 3 2 2 2 3 3 5 2 7 3 2 2 2 5 2 2 3 2 3 3 2 2 3 7 5 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 5 2 7 2 3 2 3 2 5 5 3 2 7 2 2 3 5 2 3 2 2 2 2 3 2 3 5 7 7 • Jede Primzahl ist wie eine Schwingung zu betrachten die sich zyklisch wiederholt. Jede dritte Zahl kann schliesslich durch drei dividiert werden u.s.w. Wenn man den Schwingungszyklus der einten mit der anderen Zahl multipliziert z.B. 2*3 = 6 so erhält man eine Periode die sich ständig wiederholt. Im Bild rechts sind die Perioden jeweils umrandet. Daraus folgt das wenn man eine Tabelle mit 6 Spalten wählt die neuen Primzahlen nur in der ersten oder der fünften Spalte vorkommen. Je nach Spaltenanzahl verhalten sich gewisse Schwingungen wie stehende welle, weil jedes vielfache auf einer Linie Liegt. Jede Primzahl wir jedes 2 mal auf die Zahl 2 und jedes 3 mal auf die Primzahl 3 stossen u.s.w. Daraus folgt das mit den ersten drei Primzahlen eine Maske erstellt werden kann die, die meisten Nichtprimzahlen schon abdeckt. Das Grundproblem ist das es unendlich viele Schwingungen gibt. Deswegen kann man durch eine Maske gewisse Zahlen heraus filtern die bestimmt keine Primzahlen sind. Der Rest bleibt mit einer mehr oder weniger grossen Wahrscheinlichkeit eine Primzahl. Wahrscheinlichkeit Primzahlen 0.6 Mit der ersten Zahl können 50 Prozent aller zahlen als Nichtprimzahlen aussortiert werden. Die Primzahl 3 deckt dagegen nur noch jede dritte Zahl ab, doch da sie jedes zweite mal auf eine von der zwei abgedeckte Zahl trifft deckt sie nur noch jede sechs Zahlen zusätzlich ab. Noch weniger deckt die Zahl 7 zusätzlich ab nämlich nur noch 8 auf 210 zahlen. Die Wahrscheinlichkeit das eine Primzahl auf ein leeres Feld trifft nimmt folge dessen ungefähr exponentiell ab. Das Ganze ist in der Maske noch besser ersichtlich. 0.5 0.4 0.3 Spalte AG 0.2 0.1 0 1 Deckung der Zahlen: Zahl 2 deckt: 1/2=0.5 Zahl 3 deckt: 1/6=0.167 Zahl 5 deckt: 2/30=0.066 Zahl 7 deckt: 8/210=0.038 Zahl 11 deckt: 50/2310=0.0216 50% 17% 7% 4% 2% 2 3 4 5 Maske Die unten abgebildete Maske kann beliebig oft kopiert werden und deckt die meisten Nichtprimzahlen ab. Je nach Speicherplatz kann man also ein beliebig grosses Boolesches Array erstellen. Das einzige das beachtet werden muss ist das die Grösse genau einer Periode der eingetragenen Werte sein muss. In diesem Fall 2*3*5*7*11=2310 Die Logik eines Programms währe: Mache eine kleine Periode kopiere die so oft das man die nächstgrössere Periode erhält und trage die nächste Primzahl ein (Die Kleinset Periode 2*3=6 diese in ein Feld eintragen diese 5 mal Kopieren und die Primzahl 5 eintragen). Dies kann dann so oft wiederholt werden bis kein Speicherplatz vorhanden ist, oder das Array zu klein ist, was eher zutrifft. Der Programmcode siehe in etwa so aus: (Je nach Programmiersprache) a[Maskengrösse] // Boolesches Array erstellen, FALSE ist eine Primzahl (das Array fängt bei 0 an) a[FALSE,TRUE,TRUE,TRUE,FALSE,TRUE] // die erst mögliche Periode Instanzieren max=6; PZ=5; //Kopieren der Maske n=1; while (n<=PZ) while (n1<max) a[n1+n*max]=a[n1]; n1=n1+1; end n1=0; n=n+1; end n=0; //Eintragen der Primzahl while (Pzeintrag<max*PZ) n3=n3+1; a[PZ*n3-1]=TRUE; //TRUE ist keine Primzahl Pzeintrag= PZ*n3+n3-1; end n3=0; //Suchen der nächstgrösseren PZ while (abbruch=TRUE;) if (not a[PZ+n4]) then abbruch=TRUE; max=max*PZ; PZ=PZ+n4+1; end n4=n4+1; end n4=0; abbruch=TRUE; //Eventuell ein erneuten Start bei Kopieren der Maske 1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361 391 421 451 481 511 541 571 601 631 661 691 721 751 781 811 841 871 901 931 961 991 1021 1051 1081 1111 1141 1171 1201 1231 1261 1291 1321 1351 1381 1411 1441 1471 1501 1531 1561 1591 1621 1651 1681 1711 1741 1771 1801 1831 1861 1891 1921 1951 1981 2011 2041 2071 2101 2131 2161 2191 2221 2251 2281 2 32 62 92 122 152 182 212 242 272 302 332 362 392 422 452 482 512 542 572 602 632 662 692 722 752 782 812 842 872 902 932 962 992 1022 1052 1082 1112 1142 1172 1202 1232 1262 1292 1322 1352 1382 1412 1442 1472 1502 1532 1562 1592 1622 1652 1682 1712 1742 1772 1802 1832 1862 1892 1922 1952 1982 2012 2042 2072 2102 2132 2162 2192 2222 2252 2282 3 33 63 93 123 153 183 213 243 273 303 333 363 393 423 453 483 513 543 573 603 633 663 693 723 753 783 813 843 873 903 933 963 993 1023 1053 1083 1113 1143 1173 1203 1233 1263 1293 1323 1353 1383 1413 1443 1473 1503 1533 1563 1593 1623 1653 1683 1713 1743 1773 1803 1833 1863 1893 1923 1953 1983 2013 2043 2073 2103 2133 2163 2193 2223 2253 2283 4 34 64 94 124 154 184 214 244 274 304 334 364 394 424 454 484 514 544 574 604 634 664 694 724 754 784 814 844 874 904 934 964 994 1024 1054 1084 1114 1144 1174 1204 1234 1264 1294 1324 1354 1384 1414 1444 1474 1504 1534 1564 1594 1624 1654 1684 1714 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1320 1350 1380 1410 1440 1470 1500 1530 1560 1590 1620 1650 1680 1710 1740 1770 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 2040 2070 2100 2130 2160 2190 2220 2250 2280 2310 Ebene Transformation Die Erstellte Maske kann immer auf ein vielfaches von sich selbst angehoben werden. Doch mit diesem verfahren erreicht man wahrscheinlich noch nicht eine zufriedenstellende Wahrscheinlichkeit. Für eine bessere Voraussage kann man noch alle in der Maske eingetragenen Primzahlen in diesem Beispiel 13,17,19 in die höhere ebene Hochrechnen. In den unteren Grafiken wird die Vorgehensweise für dies besser ersichtlich. Wellenlänge 3 Ebenen grösse 4 Wellenlänge 3 Ebenen grösse 5 Wellenlänge 3 Ebenen grösse 10 Wellenlänge 3 Ebenen grösse 11 Wellenlänge 5 Ebenen grösse 6 Wellenlänge 3 Ebenen grösse 7 Wellenlänge 5 Ebenen grösse 4 Wellenlänge 5 Ebenen grösse 3 Wellenlänge 5 Ebenen grösse 2 Wellenlänge 5 Ebenen grösse 1 • • Das Muster wiederholt bei der Wellenlänge 3 jedes 3 mal und bei 5 jedes 5 mal u.s.w. Dabei kommt es nicht auf die grösse der Ebene an. Ist die Primzahl kleiner als die Grösse der Ebene dann kann die Verschiebung nach hinten wie folgt berechnet werden. Wellenlänge MOD grösse der Ebene = Verschiebung nach hinten Wellenlänge - Verschiebung nach hinten = Verschiebung nach vorne • Ist die Wellenlänge grösser als die Ebene kann man den Versatz folgendermassen berechnen: Wellenlänge – Grösse der Ebene= Verschiebung nach vorne Dies gilt nur wenn die Wellenlänge nicht länger als zwei Ebene ist. Überschreitet die Verschiebung das Maximum der Ebene wird zwei Ebene nach unten gesprungen und normal weitergefahren. Der Programmcode siehe in etwa so aus: (Je nach Programmiersprache) //Ebene_Versatz=>je nach dem wie viele Ebene das transformiert werden soll //max=>Ebenengrösse (z.B. 6, 30, 210, 2310) // PZ =>Primzahl die in eine höhere ebene verrechnet werden soll Ebene_Versatz_M= (Ebene_Versatz+1) MOD PZ; //Das Muster wiederholt sich ja if (PZ > max) then E_min=Ebene_Versatz_M* max; E_max=E_min+ max; while (Pos>=E_min) Pos=Pos+PZ; end if ( Pos<E_max) then a[Ebene_Versatz*max+(Pos-E_min)]=TRUE;//Die Stelle ist ev. schon true //Muss wahrscheinlich vorher verrechnet werden. end Pos=0; else E_min=Ebene_Versatz_M* max; E_max=E_min+ max; while (Pos>=E_min) Pos=Pos+PZ; end while (Pos>E_max) a[Ebene_Versatz*max+(Pos-E_min)]=TRUE;//Die Stelle ist ev. schon true Pos=Pos+PZ; end Pos=0; end Anmerkungen Wenn man wirklich eine beliebige Ebene ausrechnen will geht man am besten folgendermassen vor: • Zuerst erstellt man eine Maske. • Wenn man die Maske nicht zerstören will muss sie Kopiert werden • Kopiert die Maske in die gewünschte Ebene • Da die Maske nicht allgemeingültig gehalten ist sind noch nicht alle Primzahlen in ihr eingetragen. Deshalb kann man immer die bevor man die Primzahl z.B. 13 in die Höhere Ebene transformiert die Felder die ihr vielfaches enthalten (26, 39) auf True setzen so verhindert man das eine Nichtprimzahl transformiert wird.
