Mitschrift vom 30.11.2004

Mathematik für Informatiker I
Mitschrift zur Vorlesung vom 30.11.2004
Induktion
Multiplikation: Wir machen eine rekursive Definition für die Multiplikation.
Definition:
Mul.1: a · 0 = 0
a∈N
Mul.2: a · S(b) = a + ab
a, b ∈ N
Nebenbei:
a + S(0) = S(a + 0) = S(a)
a+1
= S(a)
Wir sagen, der Nachfolger von 0 ist 1.
Beweise: 0 · a = 0
a∈N
Per Induktion
I) a = 0
0 · 0 = 0 wegen Mul.1
II) Induktionsannahme
0·a=0
zu beweisen ist,
0 · S(a) = 0
Mul.2
||
0 + |{z}
0·a
0
Ind.a.
Zur Übung
||
0+0
= 0
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · · + (2n − 1) = n2
5 • • •
3 ◦ ◦ •
1 • ◦ •
Man erhält ein Quadrat also muss n2 gelten.
Induktionsanfang für n = 1
I) 1 = 12
II) Induktionsannahme
1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n + 1) = n2
zu beweisen.
?
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) +(2(n + 1) − 1) = (n + 1)2
|
{z
}
wegen IA.
||
n2 + (2(n + 1) − 1)
||
n2 + 2n + 1
||
(n + 1)2
= (n + 1)2
Distributivität von rechts
Beweise: (a + b) · c = ac + bc
Per Induktion über c a, b ∈ N
IA.: (c = 0)
(a + b) · 0 = a · 0 + b · 0
Mul.1:
||
||
0
=
0+0
||
||
0
=
0
II. Induktion
Induktionsannahme
(a + b) · c = ac + bc
zu beweisen
?
(a + b) · S(c)
=
a · S(c) + b · S(c)
wg. Mul.2
||
||
wg. Mul.2
(a + b) + (a + b) · c
(a + a · c) + (b + b · c)
wg. IA
||
||
wg. Ass.1
||
a+a·c+b+b·c
(a + b) + a · c + b · c
||
wg. Komm.
wg. Ass.
||
||
a + b + a · c + bc
=
a + b + ac + bc
⇒ Die Distributivität von rechts gilt
(a + b) + c = a + (b + c)
||
a+b+c = a+b+c
Beweise: Die Multiplikation ist kommutativ.
a· = b · a
I) Induktionsanfang (b = 0, a ∈ N)
?
a·0 = 0·a
Mul.1 ||
||
schon bewiesen
0 = 0
II) Induktionsannahme
a·b=b·a
es gilt für b
Gilt das auch für S(b)?
a · S(b) = S(b) · a
wg. Mul.1
||
||
schon bewiesen a + 1 = S(a)
1+a a + a · b = (1 + b) · a
||
||
wg. Distributivität
+b
·
a
a+b·a
1
·
a
|{z}
2
||
||
a+b·a = a+b·a
1
Bei Assoziativität braucht man bei der Addition keine Klammern
Die Multiplikation ist kommutativ, wenn wir noch 1 + a = a beweisen.
Zu beweisen:
1·a=a
a∈N
Per Induktion
I Induktionsanfang (a = b)
1·0 = 0
wg. Mul.1 ||
||
0 = 0
II Induktionsannahme
1·a=a
Gilt das auch für den Nachfolger von a?
?
1 · S(a) = S(a)
wg. Mul.2
||
1+1·a
wg. IA
||
1+a
Komm. der Addition
||
a+1 = a+1
⇒ Die Distributivität von links gilt:
c · (a + b) = c · a + cb
||
(a + b) · c
wg. Distr. von rechts
||
ac + bc
wg. Komm. der Multiplikation
||
ca + cb = ca + cb
wg. Komm. der Multiplikation
Beweise: Assoziativität der Multiplikation
?
(a · b) · c = a · (b · c) ⇒ Übungsaufgabe (HA)
2
?
1 · a = a ist noch zu beweisen
Tipps: Beweis per Induktion (über c)
I. Induktionsanfang (c = 0),
II. Induktionsannahme (a · b) · c = a · (b · c)
zu beweisen ist
?
(a · b) · S(c) = a · (b · S(c))
Was wir üben
N
+
•
Menge 2 Operationen
Wir hätten gerne die Inversen der Addition und Multiplikation (- Subtraktion
und ÷ Division).
Zunächst Subtraktion:
2 − 3 → gilt nicht mehr für die N-Zahlen
Wir müssen unsere Menge erweitern zu Z (ganze Zahlen)
Def.: Z = {(a, b)(a = 0 undb ∈ N) oder (b = 0) und a ∈ N)}
Zur Repräsentation:
-3
-2
-1
0
1
2
3
(-3,0) (-2,0) (-1,0) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
|
{z
neg. Zahlen
}
|
{z
pos. Zahlen
Bemerkung:
(a, b) = {a, {a, b}}
Beweise: 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = 61 n(n + 1)(2n + 1)
per Induktion
I. Induktionsanfang für n=1
}
12 = 16 · 1(1 + 1)(2 · 1 + 1)
1 = 16 6
1 = 1
II. Induktionsannahme
12 + . . . + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1)
gilt das auch für (n + 1)?
1| 2 + . .{z
. + n2 +}(n + 1)2 = 16 n + 1((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)
wg. Induktionsannahme
||
1
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
6
||
1
(n + 1) [n(2n + 1) + 6(n + 1)]
6
||
1
(n + 1) [2n2 + n + 6n + 6]
6
||
1
(n
+ 1)(2n2 + 7n + 6)
6
||
1
(n
+ 1)(n + 2)(2n + 3) = 16 n + 1(n + 2)(2n + 3)
6
Beweise die Potenzmenge einer Menge M mit n Elementen, die 2 Elemente
2n hat (siehe Übungsblatt 4).
I) Induktionsanfang (n = 0)
M
= ∅
P (M ) = {∅}
|P (M )| = 1 = 2• → Kardinalität derP (M )
II) Induktionsannahme
|P (M )| = 2n wenn |M | = n
zu beweisen
|M 0 | = n + 1 ⇒ |P (M 0 )| = 2n+1 = 2 · 2n
M0
= M ∪ {x}
(M 0 = {x}) ∪ {x}
⇓
0
gleichbedeutend:
|M | = n+1
|M | = n
(man wählt ein Element aus der Menge und zieht
es ab M = M 0 − {x}
Wir betrachten alle Untermengen von m0
Sei A ⊆ M 0
Zwei Fälle
a) {x} ∈ A
b) {x} ∈
/A
Wieviele Untermengen M 0 gibt es, wo (a) stimmt? Wieviele Untermengen
gibt es, bei denen (b) stimmt?
Zunächst
(b): 2n (wegen Induktionsannahme |P (M )| = 2n )
(a): Beispiel: |P (M )| = 16
P (M ) = {{1}, {2}, {3}, {}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
P (M ) = {{1, 5}, {2, 5}, {3, 5}, {5}, {1, 2, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 5}, {1, 2, 3, 5}}