Pfadintegral des Coulomb

Et modo quae fuerat semita, facta via est.
Was einst ein Pfad gewesen, ist nun zur festen Straß’ gemacht.
Martial, Epig., Buch 7, 60
13
Pfadintegral des Coulomb-Systems
Einer der ersten großen Erfolge der Schrödingertheorie war die Erklärung der
Energieniveaus und Übergangsamplituden des Wasserstoffatoms. Erstaunlicherweise
hat sich dieses so fundamentale System über viele Jahre hinweg einer Lösung
im Rahmen des Pfadintegralzugangs entzogen. Das erste wesentliche Element zur
Lösung habe ich zusammen mit meinem Mitarbeiter H. Duru im Jahre 1979
gefunden.1 Wir erkannten, daß ein regularisiertes pseudozeitgegittertes Pfadintegral benötigt wird, wie es in Kapitel 12 allgemein beschrieben wurde, wobei
die Regularisierungsfunktion in diesem Fall f (x) = r ist. Im Detail erwies sich
die Lösung als recht delikat. Es war nämlich nötig, zunächst Pfadintegrale in
Räumen mit Krümmung und Torsion verstehen. Dies gelang erst kürzlich2 und
die vollständige Theorie wird in diesem Buch erstmalig vorgestellt. Mit ihrer
Hilfe können wir zeigen, daß unerwünschte Fluktuationseffekte, die alle früheren
Lösungsversuche zunichte zu machen drohten, sich zufällig wegheben.
13.1
Pseudozeit-Entwicklungsamplitude
Das zu studierende Sytem besteht aus einem Elektron und einem Proton mit
Coulomb-Wechselwirkung. Wenn wir die Massen der beiden Teilchen mit me und mp
bezeichnen, die reduzierte Masse mit M = me mp /(me +mp ) und die Elektronladung
mit e, so hat der Hamiltonoperator die Form
p2
e2
H=
− .
2M
r
(13.1)
Der Kontinuumsausdruck für die Zeitentwicklungsamplitude lautet daher:
(xb tb |xa ta ) =
Z
D 3 x(t) exp
1
i
h̄
Z
ta
tb
dt(pẋ − H) .
(13.2)
I.H. Duru und H. Kleinert, Phys. Letters B 84, 30 (1979); Fortschr. Physik 30, 401 (1982).
Siehe auch die historischen Anmerkungen im Vorwort dieses Buchs.
2
H. Kleinert, Mod. Phys. Lett. A 4, 2329 (1989).
289
290
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Wie im vorigen Kapitel festgestellt, kann er in der euklidischen Version nicht mittels
einer Zeitgitterung durch eine endliche Zahl gewöhnlicher Integrale angenähert
werden, da dann der Pfad abstürzen würde. Er würde sich zu einer annähernd
geraden Linie mit ẋ ≈ 0 strecken und in den 1/r-Abgrund hineinfallen. Ein
stabiles euklidisches gegittertes Pfadintegral kann jedoch für die PseudozeitEntwicklungsamplitude (12.35) angegeben werden. Eine geeignete Klasse von
Regularisierungsfunktionen ist
fl (x) = f (x)1−λ ,
fr (x) = f (x)λ .
(13.3)
Diese Funktionen gehorchen der Gleichung fl (x)fr (x) = f (x) = r. Die Ergebnisse
müssen von der Wahl des Aufteilungsparameters λ unabhängig sein. Das liefert eine
nützliche Kontrolle für die Richtigkeit der Zwischenrechnungen. Wir werden also die
Amplitude
Z
rbλ ra1−λ
hxb |ÛE (S)|xa i =
(
i
× exp
h̄
D
D x(s)
Z
S
0
D D p(s)
(2πh̄)D
Z
ds[px′ − r 1−λ (H − E)r λ ]
)
(13.4)
untersuchen, wobei der Strich am x wie im letzten Kapitel die Ableitung bezüglich
des Pseudozeitarguments s bezeichnet. Der größeren Allgemeinheit wegen haben
wir eine beliebige Dimensionszahl D für den Konfigurationsraum zugelassen. In der
gegitterten Form nimmt die Amplitude dann folgende Gestalt
hxb |ÛE (S)|x a i ≈ rbλ ra1−λ
×
NY
+1 Z ∞
n=2
−∞
D
d ∆xn
"
NY
+1 Z
n=1
∞
−∞
i N
d D pn
exp
A
(2πh̄)D
h̄ E
#
(13.5)
an mit der Wirkung
AN
E [p, x]
=
N
+1
X
n=1
"
λ
ǫs rn1−λ rn−1
pn ∆xn −
pn 2
− E + ǫs e2 ,
2M
#
!
(13.6)
wobei ∆xn ≡ xn − xn−1 , ǫs ≡ S/(N + 1). Die Ausintegration der Impulsvariablen
führt nach einer geeigneten Umstellung der sich dabei ergebenden N + 1 Faktoren
λ
1/(rn1−λ rn−1
)D/2 auf das Konfigurationspfadintegral
rbλ ra1−λ
NY
+1


D
d ∆xn


hxb |ÛE (S)|xa i ≈ q
 q
D
D
2πiǫs h̄rn−1 /M
2π iǫs h̄ rb1−λ raλ /M n=2
i N
AE [x, x′ ]
(13.7)
× exp
h̄
Z
mit der pseudozeitgegitterten Wirkung
′
AN
E [x, x ]
2
= (N + 1)ǫs e +
N
+1
X
n=1
"
M (∆xn )2
λ
+ ǫs rn1−λ rn−1
E ,
λ
2 ǫs rn1−λ rn−1
#
(13.8)
13.2 Lösung für D = 2
291
die im Kontinuumslimes gegen
AE [x, x′ ] = e2 S +
Z
0
S
ds
M ′2
x + Er
2r
(13.9)
geht. Wir wollen das Pfadintegral zuerst für D = 2 lösen, wo die Bewegung des
Elektrons auf eine Ebene beschränkt ist (während das elektrische Feld in die dritte
Dimension ragt). Erst danach behandeln wir den physikalisch relevanten Fall D = 3.
Für beliebige D wird die Lösung in Kapitel 11 gegeben.
13.2
Lösung für D = 2
Zunächst beachten wir, daß die Dimension der kinetischen Pseudoenergie [rp2 ] ∼
[r −1 ] gerade der Kehrwert der Dimension des Potentials [r] ist. In dieser Hinsicht
gleicht es dem harmonischen Oszillator, wo die entsprechenden Dimensionen [p2 ] =
[r −2 ] und [r 2 ] sind. Die Analogie wird vollständig, wenn man eine Transformation
der Variablen x des Coulomb-Systems auf Quadratwurzelkoordinaten“ durchführt,
”
so daß r in u2 übergeht. In zwei Dimensionen existiert eine geeignete Quadratwurzel,
die Levi-Civita-Transformation
x1 = (u1 )2 − (u2 )2 ,
x2 = 2u1 u2 .
(13.10)
Die Vektoren x, u lassen sich auch als komplexe Zahlen x = x1 + ix2 , u = u1 + iu2
ansehen. Dann entspricht (10.10) gerade der komplexen Quadratwurzel
x = u2 .
(13.11)
Nach Einführen der Matrix
A(u) =
u1 −u2
u2
u1
!
(13.12)
schreibt sich (10.10) als Matrixgleichung
x = A(u)u.
(13.13)
Der
transformierte
Raum
aller uµ ist wie der Ausgangsraum aller xi ein flacher Raum, da die Krümmung
eines Raums invariant gegen beliebige integrable Koordinatentransformationen ist.
Wir betonen dies hier, da zur Lösung des dreidimensionalen Wasserstoffatoms der
Übergang zu den Quadratwurzelkoordinatenëine nichtintegrable (nichtholonome)
”
Koordinatentransformation erforderlich ist, die nur differentiell definiert ist und einer
vieldeutigen endlichen Koordinatentransformation entspricht. Wie in Kapitel 10
besprochen, verwandeln solche Abbildungen einen flachen euklidischen Raum im
allgemeinen in einen Raum mit Krümmung und Torsion. Wegen der Erzeugung von
Torsion blieb das dreidimensionale System so lange ungelöst. Für D=2 tritt diese
292
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Erscheinung aber noch nicht auf. Die Transformation (10.10) schreibt sich mit Hilfe
eines Basiszweibeins
∂xi
(u) = 2Ai µ (u)
(13.14)
ei µ (u) =
µ
∂u
als dxi = ei µ (u) duµ. Das reziproke Basiszweibein ist
1
1
ei µ (u) = A−1T i µ (u) = 2 Ai µ (u).
2
2u
(13.15)
Aus diesen beiden Gleichungen bestimmen wir den Zusammenhang
1
[(∂µ A)T A]νλ .
u2
Γµν λ = ei λ ∂µ ei ν =
(13.16)
Als Matrizen (Γµ )ν λ = Γλµν geschrieben sind seine Komponenten
(Γ1 )µ
(Γ2 )µ
ν
ν
1
=
u2
1
=
u2
u1 −u2
u2
u1
2
1
u u
−u1 u2
!
!
ν
=
µ
1
A(u)µ ν ,
2u2
ν
.
(13.17)
µ
Man beachte, daß der Zusammenhang die wichtige Identität
Γµ µν ≡ 0
(13.18)
erfüllt, die sofort aus der Definitionsgleichung
Γµ µν ≡ g µν ei λ ∂µ ei ν
(13.19)
folgt, wenn man darin die aus (10.12), (10.14) direkt ablesbare Identität
∂µ ei µ = 0
(13.20)
und die Diagonalität von g µν = δ µν /4r benutzt. In Abschnitt 10.6 zeigen wir, daß
(10.18) der wesentliche Grund für das Nichtauftreten von Zeitgitterkorrekturen ist.
Sowohl die Torsion als auch der Cartansche Krümmungstensor verschwinden
identisch. Ersteres folgt aus den Matrixelementen (10.17), letzteres aus der linearen
Abhängigkeit der Basiszweibeine ei µ (u) von u, die trivialerweise ihre Integrabilität
zur Folge hat. Es gilt also
ei λ (∂µ ei ν − ∂ν ei µ ) ≡ 0,
ei κ (∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ ) ei λ ≡ 0
(13.21)
(13.22)
und somit Sµν λ ≡ 0, Rµνλ κ ≡ 0.
Im Kontinuumslimes ist es leicht einzusehen, daß die Wirkung (10.9) durch die
Levi-Civita-Transformation eine Form erhält, die einem harmonischen Oszillator
entspricht. Dabei transformiert sich
2
2
x′2 = 4u2 u′ = 4r u′ ,
(13.23)
13.2 Lösung für D = 2
293
und wir finden
A[x, x′ ] = e2 S +
Z
S
0
ds
4M ′2
u + Eu2 .
2
(13.24)
Abgesehen von der Konstanten e2 S ist dies genau die Wirkung für den harmonischen
Oszillator
Z S
µ
′
ds (u′2 − ω 2u2 ),
Aos [u, u ] =
(13.25)
2
0
der in der Pseudozeit s oszilliert und eine effektive Masse
µ = 4M
(13.26)
besitzt. Seine Pseudofrequenz lautet
ω=
q
−E/2M .
(13.27)
Es ist zu beachten, daß dieses ω die Dimension 1/s=1/Pseudozeit besitzt, also [ω] =
[r/t] (statt der für normale Frequenzen üblichen [1/t]).
Das Pfadintegral ist nur wohldefiniert, solange die Energie E des CoulombSystems negativ ist, d.h. im Bereich der gebundenen Zustände. Die Amplitude bei positiven E, deren Diskontinuität über den Zweiteilchenschnitt die
Kontinuumszustände liefert, erhält man daraus durch analytische Fortsetzung.
In der regularisierten Form können wir nun die pseudozeitgegitterte Amplitude
sofort ausrechnen, wenn wir den Aufteilungsparameter in (10.3) als λ = 1/2 wählen
und zunächst einmal alle Komplikationen, die sich aus der Zeitgitterung ergeben,
ignorieren. Dann ist wegen (10.13)
dx = 2A(u)du
(13.28)
d2 xn = 4un 2 d2 un .
(13.29)
und daher
Da die Abbildung x → u weder Krümmung noch Torsion erzeugt, können die
Integrale über ∆xn in (10.7) in Integrale über xn umgeschrieben und auf un
transformiert werden. Dadurch entsteht
1 2
hxb |ÛE (S)|xa i = eie S/h̄ [(ub S|ua 0) + (−ub S|ua 0)],
4
(13.30)
wobei (ub S|ua 0) die zeitgegitterte Oszillatoramplitude
N
Y
1
(ub S|ua 0) ≈
2πih̄ǫs /µ n=1
"Z
d2 u n
2πih̄ǫs /µ
#
N
i X
µ 1
× exp
∆un 2 − ǫs ω 2 un 2
h̄ n=1 2 ǫs
(
(13.31)
)
294
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Abbildung 13.1 Darstellung der zwei möglichen Endpunkte des zweidimensionalen
harmonischen Oszillators im u-Raum, über die die Oszillatoramplitude summiert werden
muß. Im x-Raum entspricht dies einer Summation über die nach xb verlaufenden Pfade,
√
die einmal im ersten, das andere Mal im zweiten Blatt der komplexen Abbildung u = x
enden.
bezeichnet. Das Ausführen der Integrale liefert im Limes N → ∞ das bekannte
Ergebnis:
i µω
ωµ
exp
[(ub 2 + ua 2 ) cos ωS − 2ub ua ] .
(ub S|ua 0) =
2πih̄ sin ωS
h̄ sin ωS
(13.32)
Die Symmetrisierung bezüglich ub in (10.30) ist notwendig, da zu jedem von xa zu
xb führenden Pfad zwei Pfade im Quadratwurzelraum gehören; der eine läuft von
ua nach ub und der andere von ua nach −ub (siehe Abb. 10.1).
Die Festenergieamplitude erhält man durch Integration der PseudozeitEntwicklungsamplitude über alle S:
(xb |xa )E =
Z
∞
0
dS eie
2 S/h̄
1
[(ub S|ua 0) + (−ub S|ua 0)].
4
(13.33)
Durch Einsetzen von (10.32) entsteht
1Z ∞
(xb |xa )E =
dS exp(ie2 S/h̄)F 2 (S)
2 0
× exp [−πF 2 (S)(u2b + u2a ) cos ωS] cosh [2πF 2(S)ub ua ]
(13.34)
mit der Abkürzung
F (S) =
q
µω/2πih̄ sin ωS
(13.35)
für den eindimensionalen Fluktuationsfaktor [siehe (2.149)]. Die u-Variablen auf der
rechten Seite hängen mit den x auf der linken Seite über die Beziehung
u2a,b = ra,b ,
ub ua =
q
(rb ra + xb xa )/2
(13.36)
13.2 Lösung für D = 2
295
zusammen. Zur Berechnung des Integrals müssen die Singularitäten in F (S)
gemäß der iη-Vorschrift ω → ω − iη umgangen werden. Die Singularität kann durch
Drehung des Integrationswegs auf die negative imaginäre Achse
S = −iσ,
σ ∈ (0, ∞)
ganz vermieden werden. Dabei entsteht auf der echten Seite ein Integral über die
euklidische Amplitude des harmonischen Oszillators. Das Endergebnis erhält die
einfachste Form in den Variablen
̺ ≡ e−2iωS = e−2ωσ ,
µω
2Mω q
κ ≡
=
= −2ME/h̄2 ,
2h̄
sh̄
2
e4 M
e
.
ν ≡
=
2ωh̄
−2h̄2 E
Dann ist
√
2 ̺
,
πF (S) = κ
1−̺
2
eie
2 s/h̄
F 2 (S) =
und die Festenergieamplitude wird zu
M
(xb |xa )E = −i
πh̄
2 ̺1/2−ν
κ
,
π 1−̺
)
(
√
2 ̺q
̺−1/2−ν
(rb ra + xb xa )/2
d̺
cos 2κ
1−̺
1−̺
0
)
(
1+̺
(rb + ra ) .
× exp −κ
1−̺
Z
(13.37)
(13.38)
(13.39)
(13.40)
1
(13.41)
Daraus lassen sich das Energiespektrum und die Wellenfunktionen (beides in
Abschnitt 10.8) ableiten.
Leider konvergiert das Integral in dieser Form nur für ν < 1/2. Es ist
aber möglich, eine andere Integraldarstellung anzugeben, die für alle ν 6=
1/2, 3/2, 5/2, . . . konvergiert. Dazu führen wir die folgende Variablensubstitution
ζ≡
durch. Damit wird
und
1+̺
1−̺
d̺
1
=
dζ,
(1 − ̺)2
2
̺=
(13.42)
ζ −1
.
ζ +1
M 1Z ∞
dζ(ζ − 1)−ν−1/2 (ζ + 1)ν−1/2
πh̄
2
1
(13.43)
(xb |xa )E = −i
q
q
× cos 2κ ζ 2 − 1 (rb ra + xb xa )/2 e−κζ(rb +ra ) .
(13.44)
296
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Der Integrand hat zwei Verzweigungsschnitte in der komplexen ζ-Ebene, die von
z = −1 bis −∞ und von ζ = 1 bis ∞ reichen, wobei der Integrationsweg
dem Verzweigungsschnitt auf der rechten Seite folgt. Er kann ersetzt werden
durch ein Kurvenintegral über eine Kurve C, die diesen Verzweigungsschnitt im
Uhrzeigersinn umkreist. Da der Schnitt von der Form (ζ − 1)−ν−1/2 ist, können wir
die Ersetzungsregel
Z
1
∞
dζ(ζ − 1)
−ν−1/2
1
πeiπ(ν+1/2)
... →
sin[π(ν + 1/2)] 2πi
Z
C
dζ(ζ − 1)−ν−1/2 . . .
(13.45)
benutzen und erhalten
(xb |xa )E = −i
M 1 πeiπ(ν+1/2)
πh̄ 2 sin[π(ν + 1/2)]
q
× cos 2κ
13.3
ζ2
q
Z
C
dζ
(ζ − 1)−ν−1/2 (ζ + 1)ν−1/2
2πi
− 1 (rb ra + xb xa )/2 e−κζ(rb +ra ) .
(13.46)
Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für
D=2
Wir wollen nun zeigen, daß die explizite Durchführung der Pseudozeit-Gitterung das
Ergebnis des vorigen Abschnitts nicht ändert.3 Wer die historischen Schwierigkeiten
des Problems nicht kennt, interessiert sich wahrscheinlich weniger für die folgende ins
Detail gehende Erörterung. Er mag diesen Abschnitt überspringen und sich mit dem
in Abschnitt 10.6 gegebenen kürzeren Beweis zufrieden geben. Den Potentialterm
in (10.8) brauchen wir nicht zu betrachten, da er die Größenordnung ǫs hat und
die Zeitgitterung aus ihm nur Terme von höherer als linearer Ordnung in ǫs
hervorbringen kann, die im Kontinuumslimes ǫs → 0 nicht beitragen. Die kritischen
Stellen, an denen Korrekturen eingehen können, sind das Integralmaß und die
pseudozeitgegitterte kinetische Energie in (10.7) und (10.8).
In Vektorschreibweise lautet die Koordinatentransformation für jeden
Zeitgitterabschnitt n
xn = A(un )un .
(13.47)
Unter den in Abschnitt 11.2 angebotenen äquivalenten Möglichkeiten ein
zeitgegittertes Pfadintegral vom flachen in einen Raum mit Krümmung und Torsion
zu transformieren wählen wir die Taylorreihe (11.57), um ∆x in ∆u überzuführen.
Nach Einsetzen von (10.14) in (11.57) ergibt sich
∆xi = 2Ai µ (u)∆uµ − ∂ν Ai µ (u)∆uµ ∆uν .
(13.48)
Da diese Beziehung quadratisch in u ist, finden wir für die Koordinatendifferenzen
die Transformationsformel
∆xn = 2A(ūn )∆un
(13.49)
3
H. Kleinert, Phys. Lett. B 189 , 187 (1987).
13.3 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für D = 2
297
und daraus
(∆xn )2 = 4ū2n (∆un )2 ,
(13.50)
wobei ūn den Intervallmittelwert
ūn ≡ (un + un−1 )/2
(13.51)
darstellt. Gleichung (10.50) tritt an die Stelle der Kontinuumsbeziehung (10.23). Die
gegitterten kinetischen Terme sind daher
N
+1
X
n=1
N
+1
X
M(∆xn )2
M 4ū2n
=
(∆un )2 .
λ
2 )1−λ (u2
λ
2ǫs rn1−λ rn−1
2ǫ
(u
)
s
n−1
n
n=1
(13.52)
Wir entwickeln nun jeden der Gradiententerme um die hintere Stützstelle, d.h. den
Nachpunkt:
1
ūn = un − ∆un ,
2
un−1 = un − ∆un ,
ū2n
(u2n )1−λ (u2n−1 )λ
= 1 + (2λ − 1)
(13.53)
(13.54)
un ∆un
1
∆un
+
−
λ
u2n−1
4
u2n
+ 2λ
2
un ∆un
u2n
!2
2
.
(13.55)
Zweckmäßigerweise zerlegt man den Gradientenanteil der Wirkung in einen
führenden Term
(∆un )2
Aǫ0 (∆un ) = 4M
(13.56)
2ǫs
und einen Korrekturterm
∆Aǫ = 4M

(∆un )2
2ǫs
× (2λ − 1)
(13.57)
un ∆un
1
∆un 2
+
+ 2λ2
−λ
2
2
un
4
un
!2 
un ∆un 
.
u2n
Um die richtige Transformation des Integralmaßes in (10.7) zu berechnen, wird ∆x
entsprechend entwickelt:
1
∆xi = 2Ai µ (u − ∆u)∆uµ
2
i
= 2A µ (u)∆uµ − ∂ν Ai µ (u)∆uµ ∆uν .
(13.58)
Die Intervallindizes n haben wir der Einfachheit halber unterdrückt. Dieser Ausdruck
hat natürlich die allgemeine Form (10.95), wenn dort
ei µ (u) = 2Ai µ (u)
(13.59)
298
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
eingesetzt wird. Im vorliegenden Fall tauchen aufgrund der rein quadratischen Form
von (10.58) in ∆uµ keine zweiten Ableitungen von ei µ auf (die nur durch hier
nicht vorhandene kubische Terme in ∆uµ entstehen können). Die Jacobi-Wirkungen
(11.61) und (10.135) lassen sich daher auch kürzer schreiben als
i ǫ
1
AJ = −ei µ ei {µ,ν} ∆uν − ei µ ei {κ,ν} ej κ ej µ,λ ∆uν ∆uλ
h̄
2
1
= −Γ{νµ} µ ∆uν − Γ{νκ} µ Γ{µλ} κ ∆uν ∆uλ .
2
(13.60)
Die Koeffizienten werden mit Hilfe des reziproken Basiszweibeins
ei κ =
1 i
eκ
2u2
(13.61)
berechnet. Sie sind
Γνµ µ = ei µ ∂ν ei µ =
2uν
,
u2
Γµν µ = −ei ν ∂µ ei µ =
Γνκ µ Γλµ κ = −∂λ ei κ ∂ν ei κ = −
2uν
,
u2
2 νλ 2
(δ u − 2uν uλ ).
u4
(13.62)
Die zweite Gleichung folgt unmittelbar aus der Beziehung
−∂µ ei µ = −∂µ (2u2 )−1 ei µ = ei µ 2uµ u−2 ,
(13.63)
die sich ihrerseits aus der trivialen Identität ∂µ ei µ = 0 ergibt. Der dritte Ausdruck
in (10.62) stimmt automatisch mit dem in (10.60) benötigten Γ{νκ} σ Γ{λσ} κ überein,
da ja wegen der verschwindenden Torsion des uµ -Raums Γνκ σ = Γκν σ ist. Wenn
wir die Gleichungen (10.62) in die rechte Seite von (10.60) einsetzen, finden wir die
Nachpunktentwicklung

i ǫ
u∆un
un ∆un ∆un 2
−
+2
AJ = −  2
2
2
h̄
un
un
u2n
!2

+ . . . .
(13.64)
Das Integralmaß in (10.7) enthält zusätzliche Faktoren rb , rn und ra , die eine weitere
Bearbeitung erfordern. Sie werden folgendermaßen umgeformt:
"Z
#
N
(rb /ra )2λ−1 Y
d2 ∆xn
2πiǫs h̄ n=1
2πiǫs rn−1 /M
"Z
# N +1 "
!#2λ
N
Y
Y
rn
d2 ∆xn
1
≈
2πiǫs h̄ n=1
2πiǫs h̄rn /M n=1
rn−1
+1
1 NY
=
2πiǫs h̄ n=2
"Z
(13.65)
d2 ∆xn
i N
exp
A .
2πiǫs h̄rn /M
h̄ f
#
Auf der linken Seite haben wir die IndexwerteR von n um eins erhöht, da dieR Beziehung
Q +1
Q
2
∆xn = xn − xn−1 es erlaubt, statt N
d2 ∆xn das Produkt N
n=2
n=1 d ∆xn zu
13.3 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für D = 2
299
schreiben. Danach haben wir den Indexwert der Nenner rn−1 in den Integralmaßen
um eine Einheit vergrößert, d.h. rn−1 wird durch rn ersetzt. Zur Kompensation
Q +1
müssen wir alles mit einem Faktor N
) multiplizieren. Zusammen mit
n=1 (rn /rn−1
Q +1
2λ
dem Vorfaktor (rb /ra )2λ−1 entsteht ein Produkt N
n=1 (rn /rn−1 ) . Die Umformung
enthält einen Fehler der Ordnung ǫ2s , der nur einmal am hinteren Ende des
Zeitintervalls auftaucht (was durch die Wahl des Symbols ≈ anstelle von =
angedeutet wird). Er kann deshalb ignoriert werden. Das Produkt wird mit Hilfe
einer effektiven Wirkung ausgedrückt und es entsteht die rechte Seite von (10.65)
mit
AN
f ≡
wobei
N
+1
X
n=1
Aǫf ,
(13.66)
i ǫ
r2
u2
Af = 2λ log 2 n = 2λ log 2 n .
h̄
rn−1
un−1
(13.67)
die auf jedes Intervall anfallenden Teile sind. Der Index f verweist darauf, daß der
Ursprung dieser Terme in den Umskalierungsfaktoren fl (xb ), fr (xa ) liegt.
Wir gehen nun von der ∆xn - auf die ∆un -Integration über, indem wir die Formel
i ǫ
A
d ∆x = 4u d ∆u exp
h̄ J
2
2 2
(13.68)
verwenden. Das Integralmaß wird dadurch zu
"Z
#
N
Y
4d2 ∆un
4
i N
1
exp
×
(AJ + AN
)
,
f
2 2 · 2πiǫs h̄ n=1
2 · 2πiǫs h̄/M
h̄
(13.69)
ǫ
wobei AN
J die Summe der Jacobi-Wirkung AJ aus (10.64) über alle Gitterintervalle
darstellt:
AN
J ≡
N
+1
X
n=1
AǫJ .
(13.70)
Die zusätzlichen Zweierfaktoren in den Integralnennern von (10.69) haben wir
eingeführt, um un über den gesamten u-Raum integrieren zu können. Dabei wird der
x-Raum zweimal durchlaufen, und das muß wieder berichtigt werden. Der Vorfaktor
wurde nur trivial umgeschrieben.
Der zeitgegitterte Ausdruck (10.69) enthält ein wichtiges Merkmal, das in der
Kontinuumsversion nicht auftrat. Er besitzt wesentliche Beiträge nicht nur für
un ∼ un−1 , wo das kleine Abstandsquadrat (∆un )2 von der Ordnung ǫs ist,
sondern auch für un ∼ −un−1 , wo (ū)2 dieselbe Ordnung ǫs hat. Das überrascht
nicht, da in beiden Fällen xn näherungsweise mit xn−1 übereinstimmt. Beide Fälle
müssen deshalb berücksichtigt werden. Glücklicherweise liefern sie aber aufgrund
der Symmetrie des Sytems denselben Beitrag, so daß wir nur den Fall un ∼ un−1 zu
behandeln brauchen, wonach der zweite Beitrag nur Zweierfaktoren im Maß ergibt.
300
Aǫf
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Zur weiteren Behandlung des Integralmaßes (10.69) entwickeln wir die Wirkung
um den Nachpunkt und finden
u2n
i ǫ
Af = 2λ log
h̄
u2n−1
!

un ∆un ∆un 2
u∆un
= 2λ 2
−
+2
2
2
un
un
u2n
!2

+ . . . .
(13.71)
Ein Vergleich mit (10.64) zeigt, daß die Addition von (i/h̄)Aǫf und (i/h̄)AǫJ den
Ausdruck 2λ aus Aǫf in 2λ − 1 umwandelt.
Alles zusammengenommen erzeugt die Zeitgitterung folgende Kurzzeitwirkung:
Aǫ = Aǫ0 + ∆Korr Aǫ ,
(13.72)
mit dem führenden Term der Freiteilchenwirkung
Aǫ0 (∆un ) = 4M
(∆un )2
2ǫs
(13.73)
und dem Gesamtkorrekturterm
i
i
∆Korr Aǫ ≡ (∆Aǫ + AǫJ + Aǫf )
h̄
h̄ 
!2 
u
∆u
1
∆un 2 
un ∆un
∆un 2
i
n
n

+
+ 2λ2
(2λ − 1)
−λ
= 4M
h̄
2ǫs
u2n
4
u2n
u2n

un ∆un ∆un 2
un ∆un
+ (2λ − 1) 2
−
+2
2
2
un
un
u2n
!2 
+ ...
.
(13.74)
Wir zeigen nun, daß die Wirkung ∆Korr Aǫ äquivalent zu null ist, so daß der zur
Kurzzeitwirkung
4
i ǫ
K (∆u) =
exp
(A0 + ∆Korr Aǫ )
2 · 2πiǫs h̄/M
h̄
ǫ
(13.75)
gehörige Integralkern zum Freiteilchenintegralkern nullter Ordnung
K0ǫ (∆u)
4
i ǫ
=
exp
A .
2 · 2πiǫs h̄/M
h̄ 0
(13.76)
äquivalent ist. Zum Beweis überprüfen wir die Bedingungen (11.70) and (11.71). Den
in Gl. (11.68) definierten Korrekturfaktor des Integralkerns (10.75) identifizieren wir
als
i
ǫ
(13.77)
∆Korr A − 1.
C1 = C ≡ exp
h̄
Er ist mit dem trivialen Korrekturfaktor des Integralkerns (10.76)
C2 = 0
(13.78)
13.3 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für D = 2
301
zu vergleichen. Zum Beweis der Äquivalenz brauchen wir also nur nachzuweisen, daß
hCi0 = 0,
hC (p∆u)i0 = 0.
(13.79)
Die Indizes n sind wieder weggelassen. Die fundamentalen Korrelationsfunktionen
sind durch K0ǫ (∆u) bestimmt und lauten
ih̄ǫs µν
δ
4M !
n
ih̄ǫs
δ µ1 ...µ2n ,
=
4M
h∆uµ ∆uν i0 ≡
h∆uµ1 · · · ∆uµ2n i0
(13.80)
n > 1.
(13.81)
Außerdem benötigen wir die höheren Korrelationen
µ1
h∆u · · · ∆u
µ2n
i0 =
ih̄ǫs
4M
!n
δ µ1 ...µ2n ,
(13.82)
wobei die Kontraktionstensoren δ µ1 ...µ2n aus Gl. (8.64) sind, die sich rekursiv aus der
Beziehung
δ µ1 ...µ2n ≡ δ µ1 µ2 δ µ3 µ4 ...µ2n + δ µ1 µ3 δ µ2 µ4 ...µ2n + . . . + δ µ1 µ2n δ µ2 µ3 ...µ2n−1
(13.83)
ergeben. Sie bestehen aus (2n − 1)!! Produkten von Paarkontraktionen δ µi µj .
Insbesondere treffen wir beim Berechnen von (10.79) auf Erwartungswerte des Typs
2k
2l
h(∆u) (u∆u) i0 =
ih̄ǫs
4M
!k+l
[D + 2(k + l − 1)]!!
(2l − 1)!!(u2 )l
(D + 2l − 2)!!
(13.84)
und
ih̄ǫs
h(∆u) (u∆u) (u∆u)(p∆u)i0 =
4M
2k
2l
!k+l+1
[D + 2(k + l)]!!
(2l − 1)!!up, (13.85)
(D + 2l)!!
wobei für den u-Raum gleich eine beliebige Dimension D zugelassen wurde. Eine
Entwicklung von (10.79) zeigt, daß bis zur Ordnung ǫs die Erwartungen hCi0 und
hC (p∆u)i0 verschwinden:
2
1 i
i
hCi0 = h∆Korr Aǫ i0 +
h̄
2! h̄
h(∆Korr Aǫ )2 i0 = 0
i
h∆Korr Aǫ (p∆u)i0 = 0.
h̄
Der erste Term in (10.86) ergibt nämlich
hC (p∆u)i0 =
(
(13.87)
)
1
h̄ǫs
D+2
i
(D + 2)D
−
,
h∆Korr Aǫ i0 = 2i
−λ
− 2λ2
h̄
M
4
16
16
(13.86)
(13.88)
302
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
d.h. für D = 2
1 2
h̄ǫs
i
λ−
.
h∆Korr Aǫ i0 = −i
h̄
M
2
Dieser hebt sich gegen den zweiten Term identisch in λ weg, da
(13.89)
1 i 2
1 h̄ǫs
h(∆Korr Aǫ )2 i0 = i
(13.90)
2! h̄ (
2 M
)
1
D+2
(D + 4)(D + 2)
,
+ 4(2λ − 1)2 − 8(2λ − 1)2
× 4(2λ − 1)2
64
4
16
also für D = 2:
1 i 2
h̄ǫs
1
h(∆Korr Aǫ )2 i0 = i
λ−
2! h̄
M
2
Ebenso verschwindet der Erwartungswert (10.87)
h∆Korr Aǫ (p∆u)i0 = −
2
.
(13.91)
h̄2 ǫs
[(2λ − 1)(D + 2)/4 − (2λ − 1)],
4M
(13.92)
identisch in λ für D = 2.
Es ergeben sich also keine Gitterkorrekturen und das Ergebnis, das im
vorangegangenen Abschnitt mit Hilfe der naiven Transformation des CoulombPfadintegrals auf das Pfadintegral des harmonischen Oszillators erhalten wurde,
ist korrekt.
13.4
Lösung für D = 3
Nach der zweidimensionalen Vorübung wenden wir uns nun dem physikalischen
Coulomb-System in drei Dimensionen zu. Wir müssen auch hier gewisse
QuadratwurzelKoordinaten finden, die das Potential −Er im Pseudozeit”
Hamiltonoperator in der Wirkung der Amplitude (10.4) in ein harmonisches Potential umwandeln. In zwei Dimensionen haben wir dieses Ziel mit Hilfe der
komplexen Wurzelfunktion erreicht. Hier werden wir von einer quaternionischen
”
Quadratwurzel“ Gebrauch machen. In diesem Zusammenhang ist diese als
Kustaanheimo-Stiefel-Transformation bekannt, die schon seit längerem in der
Himmelsmechanik benutzt wird.4 Jeder Punkt x des Raumes wird in einem
vierdimensionalen uµ -Raum (µ = 1, 2, 3, 4) abgebildet, und zwar mittels der
folgenden Gleichungen:
xi = z̄σ i z,
r = z̄z.
(13.93)
Hierbei sind
1
σ =
4
0 1
1 0
!
2
, σ =
0 −i
i 0
!
3
, σ =
1
0
0 −1
!
(13.94)
Für die Deutung als quaternionische Quadratwurzel siehe z.B. die zweite Arbeit von Cornish
in den Literaturhinweisen am Kapitelende.
13.4 Lösung für D = 3
303
die Pauli-Matrizen und z, z̄ zweikomponentige Objekte
z1
z2
z=
!
,
z̄ = (z1∗ , z2∗ ),
(13.95)
die man Spinoren“ nennt. Ihre Komponenten sind mit denen des Vierervektors uµ
”
durch
z1 = (u1 + iu2 ), z2 = (u3 + iu4 )
(13.96)
verknüpft. Ergänzt man die sphärischen Winkelkoordinaten eines Dreiervektors
x durch einen dritten Winkel γ, so können die Koordinaten uµ folgendermaßen
parametrisiert werden:
√
z1 =
r cos(θ/2)e−i[(ϕ+γ)/2] ,
√
(13.97)
z2 =
r sin(θ/2)ei[(ϕ−γ)/2] .
In den Gleichungen (10.93) heben sich die Terme mit dem Winkel γ offensichtlich
weg. Aus diesem Grunde entspricht jedem Punkt im xi -Raum eine ganze Kurve im
uµ -Raum, wobei γ ∈ [0, 4π] ist. Wir können (10.93) auch in der Matrixform



1


x


x2 
u) 
 = A(~

x3
u1
u2
u3
u4





(13.98)
schreiben, wenn wir von den 3 × 4-Matrizen
u3
u4
u1
u2
 4
u1 
A(~u) =  u −u3 −u2

u1
u2 −u3 −u4
(13.99)
r = (u1 )2 + (u2 )3 + (u3 )2 + (u4 )2 ≡ (~u)2 ,
(13.100)


Gebrauch machen. Da
macht diese Transformation auf jeden Fall das Potential −Er im PseudozeitHamiltonoperator harmonisch in ~u. Dabei haben wir die Vierervektornatur von uµ
durch ein Vektorsymbol über dem Buchstaben ~u gekennzeichnet.
Man
R
betrachte nun den kinetischen Term in der Wirkung (10.9), ds(M/2r)(dx/ds)2.
Jeder Pfad x(s) im x-Raum hat einen unendlichen Satz von Abbildern ~u(s) im ~uRaum, die durch γ(s) parametrisiert sind. Die Abbildung der Tangentenvektoren
duµ auf dxi ist gegeben durch



1


3
4
1
2


u
u
u
u
dx


 4
3
2
2 
u1 
dx  = 2  u −u −u


u1
u2 −u3 −u4
dx3
du1
du2
du3
du4



.

(13.101)
304
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Die Abbildung wird eindeutig, wenn das Differential des Hilfswinkels dγ festgelegt
wird. Das geschieht am einfachsten nach Ersetzung von dγ durch einen Parameter
ersetzt, der einen natürlichen Zusammenhang mit den dxi auf der linken Seite
aufweist. Dazu betten wir den Tangentenvektor (dx1 , dx2 , dx3 ) in einen fiktiven
vierdimensionalen Raum ein und definieren eine neue vierte Komponente dx4 , indem
wir die Matrix A(~u) durch Hinzufügen einer vierten Zeile erweitern. So erhalten wir
als Verallgemeinerung von (10.28) die Vierervektor-Gleichung
d~x = 2A(~u)d~u,
(13.102)
Das Vektorsymbol kennzeichnet x als Vierervektor. Aus Symmetriegründen geben
wir der 4 × 4-Matrix A(~u) folgendes Aussehen:




A(~u) = 
u3
u4
u1
u2
u4 −u3 −u2
u1
u1
u2 −u3 −u4
2
u −u1
u4 −u3



.

(13.103)
Aus der speziellen Form der vierten Zeile folgt, daß dx4 und dγ verknüpft sind durch:
dx4 = 2(u2 du1 − u1 du2 + u4 du3 − u3 du4 )
= r(cos θ dϕ + dγ).
(13.104)
Man beachte, daß diese Transformation nicht integrabel ist, da ∂x4 /∂u1 = 2u2,
∂x4 /∂u2 = −2u1 und daher
(∂u1 ∂u2 − ∂u2 ∂u1 )x4 = −4.
Ähnliches gilt für die anderen Komponentenpaare. Wie wir im nächsten Abschnitt
eingehender erörtern werden, verwandelt diese nichtholonome Abbildung den
vierdimensionalen euklidischen Raum der ~x in einen nichteuklidischen ~u-Raum mit
Krümmung und Torsion. Hier sei vorerst nur angemerkt, daß von der unendliche
Vieldeutigkeit bei der Abbildung von Punkten aus dem ~x-Raum in den ~u-Raum im
Falle von Pfadabbildungen nur noch eine Vieldeutigkeit in der Wahl des Anfangsoder Endpunkts von Pfaden übrigbleibt. Hat man für die Anfangspunkte einmal eine
bestimmte Wahl getroffen, so legt die Abbildung (10.102) den Bildpfad eindeutig
fest.
Wir beziehen nun die vierte Hilfsdimension in die Wirkung ein, indem wir
im kinetischen Term x durch ~x ersetzen und den kinetischen Anteil der Wirkung
erweitern zu
N
+1
X
M (~xn − ~xn−1 )2
N
Akin ≡
.
(13.105)
1−λ λ
n=1 2 ǫs rn rn−1
Der zusätzliche Beitrag der vierten Komponenten x4n − x4n−1 kann auf triviale Weise
aus dem Ergebnis für die Pseudozeit-Entwicklungsamplitude eliminiert werden,
indem jedes Zeitgitterintervall mit dem Maß
NY
+1 Z ∞
n=1
−∞
d(∆x4 )n
q
λ
2πiǫs h̄rn1−λ rn−1
/M
(13.106)
13.4 Lösung für D = 3
305
über dx4n−1 integriert wird (die rn sind dabei fest). Im Gegensatz zum Produkt
der räumlichen Integrale d3 xn−1 muß die vierte Koordinate auch noch über die
anfängliche Hilfsvariable x40 = x4a integriert werden. Damit erhalten wir die Identität:
NY
+1
n=1


Z
∞
−∞

+1
M (∆x4n )2
i NX
 exp
q
λ
λ
h̄ n=1 2 ǫs rn1−λ rn−1
2πiǫs h̄rn1−λ rn−1
/M
d(∆x4 )n
(
)
= 1.
(13.107)
Sie erlaubt es, die Hilfskomponente x4 in das Pfadintegral einzuführen, ohne dieses
zu verändern. Somit gelangen wir zur Formel
hxb |ÛE (S)|xa i =
Z
dx4a
×
rbλ ra1−λ
(2πiǫs h̄rb1−λ raλ /M)2
NY
+1
n=2
"Z
∞
−∞
(13.108)
i N
d4 ∆xn
exp
A ,
2
(2πiǫs h̄rn−1 /M)
h̄ E
#
wobei AN
E nun der Wirkung (10.8) entspricht, wenn darin die Dreiervektoren xn
durch Vierervektoren ~xn ersetzt werden, wobei r aber immer noch die Länge des rein
räumlichen Anteils von ~x darstellt. Wenn wir alle rb , rn , ra -Faktoren gleichmäßig auf
die Intervalle verteilen und durch Verschiebung der Indizes n in den IntegralmaßNennern um eine Einheit alle rn in rn+1 umwandeln, erhalten wir mit Hilfe der
gleichen Prozedur wie in Gl. (10.65) die Pseudozeit-Entwicklungsamplitude
hxb |ÛE (S)|xa i =
×
"
NY
+1 Z
n=2
1
(2π iǫs h̄/M)2
Z
∞
−∞
dx4a
ra
d4 ∆~xn
i N
exp
(A + AN
f ) ,
2
2
(2πiǫs h̄rn /M)
h̄ E
#
(13.109)
mit der gegitterten Wirkung
AN
x, ~x′ ]
E [~
2
= (N + 1)ǫs e +
N
+1
X
n=1
"
M (∆~xn )2
λ
+ ǫs rn1−λ rn−1
E .
λ
1−λ
2 ǫs rn rn−1
#
(13.110)
Die Wirkung AN
f berücksichtigt wieder die übriggebliebenen Vorfaktoren, die
QN +1
jetzt zunächst die Form (rb /ra )3λ−2 =
(rn /rn−1 )3λ−2 haben. Durch die
1
2
Indexverschiebung in den Maßnennern rn−1 zu 1/rn2 wird die Potenz 3λ − 2 in 3λ
umgewandelt, und wir erhalten den Ausdruck [zu vergleichen mit (10.66)]
N
+1
X
i N
~u2
log 2 n .
Af = 3λ
h̄
~un−1
n=1
!
(13.111)
Wie bei der zweidimensionalen Rechnung lassen wir zunächst die subtilen
Komplikationen der Zeitgitterung außer acht. Wir setzen also λ = 0 und führen
die Transformation formal im Kontinuumsgrenzwert der Wirkung AN
E durch, die
306
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
das gleiche Aussehen hat wie in (10.9). Die Eigenschaften der Matrix A in (10.103)
ziehen die Gleichungen
AT = q
4~u 2A−1
det (AAT ) = 16r 2
det A =
(13.112)
~x′2 = 4~u 2~u′2 = 4r~u′2
(13.113)
d4 x = 16r 2 d4 u.
(13.114)
nach sich. Offenbar ist
und
Auf diese Weise erhalten wir die formale Beziehung
hxb |ÛE (S)|xa i = eie
2 S/h̄
1
16
Z
∞
−∞
dx4a
(~ubS|~ua 0),
ra
(13.115)
wobei (~ub S|~ua 0) die Zeitentwicklungsamplitude des vierdimensionalen harmonischen
Oszillators ist, mit dem Pfadintegral
(~ub S|~ua 0) =
Z
Aos =
Z
D 4 u(s) exp
i
Aos
h̄
(13.116)
und der Wirkung
S
0
µ
ds (~u′2 − ω 2~u2 ).
2
(13.117)
Dies ist das Analogon zu Gl. (10.30). Die Parameter sind
µ = 4M
ω =
q
−E/2M ,
(13.118)
genau wie in (10.26) und (10.27). Das Integral dx4a /ra kann mit Hilfe von (10.104)
in ein Integral über den dritten Eulerwinkel γ umgeformt werden. Da x und damit
die sphärischen Winkelkoordinaten θ, ϕ während der Integration konstant gehalten
R
R
werden, ergibt sich sofort dx4a /ra = dαa . Der Integrationsbereich darf sich
nur über eine einzige Periode γa ∈ [0, 4π] erstrecken. Die anderen Perioden sind
konventionsgemäß bereits in der Definition der Oszillatoramplitude aufgenommen.
Wenn man den Vierervektor u~b festlegt, muß man entsprechend der Diskussion in
Abschnitt 6.1 alle Pfade aufsummieren, die zum Eulerwinkel γb des Endpunktes und
allen dessen periodischen Ebenbildern führen. Jeder dieser Werte von γb entspricht
laut (10.97) demselben u~b . Äquivalent dazu ist die Summe über die periodischen
Wiederholungen des Anfangspunktwinkels in (10.115). Die Oszillatoramplitude auf
der rechten Seite von (10.115) bedient sich einer erweiterten Zonendarstellung der
Funktion ~u(γ), in der γ alle reellen Werte durchläuft, wobei ~u(γ) periodisch unter
γ → γ +4π ist. Wenn wir ~ub, ~ua festlegen und dabei die periodischen Wiederholungen
R
13.4 Lösung für D = 3
307
von γ summiert haben, sind wir aber im reduzierten Zonenschema und müssen
deshalb (10.115) korrekterweise schreiben als
hxb |ÛE (S)|xa i = eie
2 S/h̄
1
16
Z
4π
0
dγa (~ubS|~ua 0).
(13.119)
Der Grund, warum die anderen Perioden in (10.115) fortgelassen werden müssen,
wird durch einen Vergleich mit der zweidimensionalen Rechnung am deutlichsten.
Dort kamen alle von der zeitgegitterten Wirkung begünstigten u-Werte im Pfadintegral doppelt vor, wodurch sich gewisse Zweierfaktoren im Integralmaß (10.69)
effektiv heraushoben. Dasselbe geschieht auch hier, allerdings nimmt die Wirkung
unendlich oft denselben Wert an: Bei der Integration über ein Bild d4 un von d4 xn im
Oszillatorpfadintegral decken wir den ursprünglichen x-Raum unendlich oft ab, je
einmal für γn ∈ [0, 4π) und für jede weitere Periode γn ∈ [4πl, 4π(l+1)) mit ganzen l.
Daher müßte eigentlich jedes Volumenelement durch einen unendlich großen Faktor
dividiert werden, damit man nur einmal den x-Raum durchläuft. Dieser unendliche
Faktor wird aber dadurch kompensiert, daß der Gradiententerm, der proportional
zu
(~un + ~un−1)2 (~un − ~un−1 )2
(13.120)
ist, unendlich oft klein wird, wenn ~xn ≈ ~xn−1 ist. Das geschieht für unendlich viele
Werte von γn − γn−1 (je einmal bei jeder periodischen Wiederkehr des Intervalls
[0, 4π]). Da alle diese Beiträge gleich sind, hebt sich der unendlicheR Faktor im Nenner
des Maßes wieder heraus. Nur im Integral über den Anfangswert dx4a /ra findet das
nicht statt. Der unendliche Faktor im Nenner ist dort zunächst noch vorhanden
und wird erst durch Einschränkung der Integration von γa auf eine einzelne Periode
beseitigt.
Man beachte, daß ein Verschieben von γa um eine halbe Periode 2π den Vektor ~u
in −~u umwandelt, was der Zweideutigkeit im zweidimensionalen System entspricht.
Das zeitgegitterte Pfadintegral für den harmonischen Oszillator kann nun ohne
weiteres gelöst werden und die Amplitude ist die vierdimensionale Version von
(10.32):
N
Y
1
(~ubS|~ua 0) =
(2πih̄ǫs /µ)2 n=1
d4 ∆un
2πih̄ǫs /µ
"Z
#
N
i X
µ 1
× exp
∆~un 2 − ǫs ω 2~u2n
h̄ n=1 2 ǫs
(
)
(13.121)
ω2
i µω
=
exp
[(~ub2 + ~u2a ) cos ωS − 2~ub~ua ] .
2
(2πih̄ sin ωS /µ)
h̄ sin ωS
Um daraus die Festenergieamplitude zu finden, müssen wir eine Integration über S
ausführen:
(xb |xa )E =
Z
0
∞
dSeie
2 S/h̄
1
16
Z
0
4π
dγa(~ub S|~ua 0).
(13.122)
308
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Wie (10.34) erhält das Integral eine einfachere Gestalt durch Transformation
auf die Variablen (10.37) und (10.38), in denen die Festenergieamplitude des
dreidimensionalen Coulomb-Systems die Form annimmt:
1
(xb |xa )E =
16
∞
Z
0
ie2 S/h̄
dSe
ωM 2
2π 2 h̄2
Z
4π
dγa (~ubs|~ua 0)
0
∞ dx4 Z 1
a
̺−ν
(1 − ̺)2
−∞ ra
0
(
)
(
)
√
2 ̺
1+̺
× exp 2κ
~ub~ua exp −κ
(rb + ra ) .
1−̺
1−̺
= −i
Z
d̺
(13.123)
Um das Integral über dx4b auszuführen, stellen wir ~ub~ua in Kugelkoordinaten dar
und finden
√
rb ra {cos(θb /2) cos(θa /2) cos[(ϕb − ϕa + γb − γa )/2]
+ sin(θb /2) sin(θa /2) cos[(ϕb − ϕa − γb + γa )/2]}
√
= rb ra {cos[(θb − θa )/2] cos[(ϕb − ϕa )/2] cos[(γb − γa )/2]
(13.124)
− cos[(θb + θa )/2] sin[(ϕb − ϕa )/2] sin[(γb − γa )/2]} .
~ub~ua =
Dieser Ausdruck kann umgeformt werden zu
~ub~ua =
q
(rb ra + xb xa )/2 cos[(γb − γa + β)/2],
(13.125)
wobei der Winkel β durch
tan
cos[(θb + θa )/2] sin[(ϕb − ϕa )/2]
β
=
2
cos[(θb − θa )/2] cos[(ϕb − ϕa )/2]
(13.126)
bestimmt ist, d.h. durch
cos
Das Integral
R 4π
0
(xb |xa )E
β
θb − θa
ϕb − ϕa
rb ra
q
.
= cos
cos
2
2
2
(rb ra + xb xa )/2
(13.127)
dγa rechnen wir nun für feste x aus und erhalten5
Mκ
= −i
πh̄
!
√
2 ̺q
̺−ν
(rb ra + xb xa )/2
I0 2κ
d̺
(1 − ̺)2
1−̺
0
(
)
1+̺
× exp −κ
(rb + ra ) ,
(13.128)
1−̺
Z
1
wobei κ und ν dieselben Parameter sind wie in Gl. (10.38).
5
I.H. Duru und H. Kleinert, Phys. Letters B 84, 30 (1979). Im Rahmen der Schrödingertheorie
ist die gleiche Formel schon früher gefunden worden, und zwar von L. Hostler, J. Math. Phys. 5 ,
591 (1964).
13.5 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für D = 3
309
In Analogie mit dem zweidimensionalen Fall konvergiert das Integral nur für
ν < 1. Durch Übergang zur Variablen ζ ≡ (1 + ̺)/(1 − ̺), läßt sich wieder
eine Integraldarstellung finden, die für alle ν 6= 1, 2, 3, . . . konvergiert. Der
Integrationsweg C von ζ umkreist den Verzweigungsschnitt von ζ = 1 bis ∞
im Uhrzeigersinn. Da der Schnitt jetzt die Form (ζ − 1)−ν besitzt, gilt die
Ersetzungsregel
Z
∞
1
dζ(ζ − 1)
−ν
πeiπν
... →
sin πν
Z
C
dζ
(ζ − 1)−ν . . . .
2πi
(13.129)
Damit erhalten wir
M κ πeiπν
dζ
(xb |xa )E = −i
(ζ − 1)−ν (ζ + 1)ν
πh̄ 2qsin πν qC 2πi
× I0 (2κ ζ 2 − 1 (rb ra + xb xa )/2)e−κζ(rb +ra ) .
Z
13.5
(13.130)
Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für
D=3
Es bleibt zu zeigen, daß wie in D = 2 Dimensionen die Zeitgitterungsprozedur
auf das gleiche Ergebnis führt wie die obige Kontinuumsrechnung. Den nicht an
technischen Einzelheiten interessierten Leser verweisen wieder auf das kurzgefaßte
Argument in Abschnitt 10.6.
In Analogie zu Gl. (10.74) muß die Wirkung AN
E im zeitgegitterten Pfadintegral
in jedem Gitterintervall durch die Jacobi-Wirkung ergänzt werden:
i ǫ
A = −eµ ei {µ,ν} ∆uν − ei µ ei {κ,ν} ej κ ei {µ,λ} ∆uν ∆uλ
h̄ J
1
= −Γ{νµ} µ ∆uν − Γ{νκ} σ Γ{λσ} κ ∆uν ∆uλ .
2
(13.131)
Statt eines Basisdreibeins haben wir jetzt das Vierbein
ei µ = ∂xi /∂uµ = 2Ai µ (~u),
i = 1, 2, 3, 4,
(13.132)
das durch die 4 × 4-Matrix (10.103) gegeben ist mit dem dazugehörigen reziproken
Vierbein
1
ei µ = 2 ei µ .
(13.133)
2~u
Daraus ergeben sich die Matrixkomponenten des Zusammenhangs [vgl. (10.17)]
(Γ1 )µ ν =

1


~u2 
u1
u2 −u3 −u4
2
−u
u1 −u4
u3 


u3
u4
u1
u2 
u4 −u3 −u2
u1 µ

ν
310
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
(Γ2 )µ ν =
(Γ3 )µ ν =
(Γ4 )µ ν =

1


2
~u 

1


2
~u 

1


2
~u 
u2 −u1
u4 −u3
u1
u2 −u3 −u4 


−u4
u3
u2 −u1 
u3
u4
u1
u2 µ

u3
u4
u1
u2
−u4
u3
u2 −u1 


1
2
−u −u
u3
u4 
−u2
u1 −u4
u3 µ

u4 −u3 −u2
u1
u3
u4
u1
u2
2
1
4
u −u
u −u3
−u1 −u2
u3
u4





ν
(13.134)
ν
ν
.
µ
Wie in der zweidimensionalen Rechnung gilt für den Zusammenhang auch hier die
wichtige Identität
Γµ µν ≡ 0.
(13.135)
Sie wird sich in Abschnitt 10.6 als wesentlicher Grund dafür erweisen, daß keine
Gitterkorrekturen auftauchen. In diesem Abschnitt wird dies durch detaillierte
Rechnung bewiesen. Genau wie im zweidimensionalen Fall ist (10.135) eine Folge
der Identität
∂µ ei µ ≡ 0.
(13.136)
Allerdings gibt es, wie bereits angedeutet, einen wichtigen Unterschied
bezüglich des zweidimensionalen Falls: Die Abbildung dxi = ei µ (u)duµ ist
diesmal nicht integrabel. Folglich trägt der uµ -Raum eine Torsion Sµν λ mit den
nichtverschwindenden Komponenten
S12 λ = S34 λ =
1
(−u2 , u1, −u4 , u3)λ .
~u 2
Die kontrahierte Torsion ist
Sµ = Sµν ν =
uµ
.
~u 2
(13.137)
(13.138)
Deshalb sind die kontrahierten Zusammenhangskomponenten
Γνµ µ = ei µ ∂ν ei µ =
Γµν µ = −ei ν ∂µ ei µ
4uν
,
~u 2
2uν
= 2
~u
(13.139)
nicht mehr einander gleich wie zuvor in (10.62). Nach Symmetrisieren bezüglich der
unteren Indizes entsteht
3uν
(13.140)
Γ{νµ} µ = 2 .
~u
13.5 Abwesenheit von Pseudozeit-Gitterkorrekturen für D = 3
311
Deswegen ergeben sich die ∆uν ∆uλ -Terme in (10.60) im Gegensatz zum
zweidimensionalen Fall nicht direkt aus der Beziehung
Γνκ σ Γλσ κ = −
4 νλ 2
(δ ~u − 2uν uλ ),
~u 4
(13.141)
sondern aufgrund der von Null verschiedenen Torsion erst nach Symmetrisieren in
den unteren Indizes:
Γ{νκ} σ Γ{λσ} κ = Γνκ σ Γλσ κ − 2Γνκ σ Sλσ κ + Sνκ σ Sλσ κ
(13.142)
σ
κ
2
4
4
= Γνκ Γλσ − 2(−δνλ~u + 2uν uλ )/~u + uν uλ /~u .
Deshalb erhält man aus der Jacobi-Wirkung (10.131) den expliziten Ausdruck

~un ∆~un ∆~un 2 5
i ǫ
−
+
AJ = − 3
h̄
~un2
~un2
2
~un ∆~un
~un2
!2

+ . . . .
(13.143)
Im Gegensatz zum zweidimensionalen Ausdruck (10.64) kann dies nicht dem
Term Aǫf zugeschlagen werden, der zwar dieselben Terme aber in einer anderen
Kombination enthält [siehe (10.111)]:
~u2n
i ǫ
A = 3λ log 2
h̄ f
~un−1
!
(13.144)

~un ∆~un ∆~un 2
~u∆~un
= 3λ log 2
− 2 +2
2
~un
~un
~u2n
!2

+ . . . .
Wir können aber unter Fortlassung der Indizes n schreiben
~u 2
i ǫ
AJ = −2 log
h̄
(~u − ∆~u)2
!
+
~u∆~u
~u 2
∆~u 2 3
− 2 +
~u
2
(13.145)
~u∆~u
~u 2
!2
+ ...
und den ersten Term in Aǫf aufnehmen, indem wir 3λ durch (3λ − 2) ersetzen. So
erhalten wir insgesamt die zusätzliche Wirkung [die mit (10.74) zu vergleichen ist]:

i
i
∆~u 2 
~u∆~u
u∆~u
1
∆~u 2
2 ~
∆Korr Aǫ =
4M
(2λ − 1) 2 +
−λ
+
2λ
h̄
h̄
2ǫ
~u
4
~u 2
~u 2

~u∆~u
~u∆~u ∆~u 2
+(3λ − 2) 2 2 − 2 + 2
~u
~u
~u 2
~u∆~u (∆~u)2 3
+ 2 −
+
~u
~u 2
2
~u∆~u
~u 2
!2
!2 
+ ... .
!2 


(13.146)
312
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Mit diesem Ausdruck beweisen wir nun, daß die Entwicklung des Korrekturterms
i
C ≡ exp
∆Korr Aǫ − 1
h̄
(13.147)
die verschwindenden Erwartungswerte
hCi0 = 0,
hC (~p∆~u)i0 = 0
(13.148)
besitzt, d.h. daß
1 i 2
i
h(∆Korr Aǫ )2 i0 = 0,
h∆Korr Aǫ i0 +
h̄
2 h̄
i
h∆Korr A (~p∆~u)i0 = 0,
h̄
(13.149)
(13.150)
wie in (10.86) und (10.87). Der Erwartungswert (10.150) verschwindet nämlich für
D = 4 identisch in λ, da er wegen (10.85) proportional zu
i −2(2λ − 1)
D+2
1 1
+ 2(3λ − 2) +
16
4 4
(13.151)
ist. Auf ähnliche Weise folgt aus Formel (10.84), daß der erste Term in (10.149)
einen Erwartungswert proportional zu
(
(D + 2)D
D 3
D+2
D 2
i −2( 41 − λ)
−
− 4λ2
− (3λ − 2)
−
−
16
16
4
4
4
8
)
, (13.152)
besitzt, der für D = 4 zu
3
−i (2λ − 1)2
8
wird. Dazu wird der zweite Term von (10.149)
(13.153)
(
(D + 4)(D + 2)
1
D+2
1
4(2λ − 1)2
+ 9(2λ − 1)2 − 12(2λ − 1)2
i
2
64
4
16
)
(13.154)
addiert, der für D = 4 (10.153) zum Verschwinden bringt.
Zusammenfassend stellen wir fest, daß auch im dreidimensionalen CoulombSystem keine Gitterkorrekturen auftreten.
13.6
Geometrische
Begründung
Gitterkorrekturen
für
Fehlen
von
Wie oben erwähnt, liegt der wesentliche Grund für das Verschwinden der
Gitterkorrekturen in einer einfachen Eigenschaft der Geometrie des uµ -Raums, die
durch die Zusammenhangsgleichung
Γµ µλ = g µν ei λ ∂µ ei ν = 0
(13.155)
313
13.7 Vergleich mit der Schrödingertheorie
ausgedrückt wird. Sie folgt aus der von der Basistetrade erfüllten Identität ∂µ eiµ = 0
unter Berücksichtigung der Diagonalität der Metrik g µν ∝ δµν . Es ist nämlich
möglich, die Techniken aus den Abschnitten 10.1 und 10.2 auf die allgemeine
Pseudozeit-Amplitude (12.30) mit ihren Regularisierungsfunktionen
fl = f (x),
fr ≡ 1
(13.156)
anzuwenden. Da die Regularisierung nur die Nachpunkte eines jeden Gitterintervalls
beeinflußt, können wir an dieser Stelle ohne weiteres die Herleitung einer
Kurzzeitamplitude in Abschnitt 11.2 wiederholen. Das Ergebnis hat (bei
Unterdrückung der Indizes n) die Form
ǫ
q
g(q)
K (∆q) = q
D
2πiǫh̄f /M
i ǫ
exp
(A + AǫJ ) ,
h̄
(13.157)
wobei f eine Abkürzung für den Nachpunktwert f (x) darstellt und Aǫ die
Kurzzeitwirkung
M
Aǫ =
gµν (q)∆q µ ∆q ν
(13.158)
2ǫf
bezeichnet, die einen Nachpunktregulator f enthält. Die Jacobi-Wirkung wird auch
nur in einer eher trivialen Weise modifiziert. In ihrer einfachsten Form (11.74) lautet
sie:
i ǫ
1
h̄
AJ = Γµ µ ν ∆q ν − iǫ
f (Γµ µ ν )2 .
h̄
2
8M
(13.159)
In der Nachpunktformulierung muß das Integralmaß nicht weiter transformiert
werden. Das sieht man unmittelbar durch Einsetzen von λ = 0 in den zeitgegitterten
Ausdruck (10.7). Auch eine explizite Rechnung zeigt, daß die zusätzliche Wirkung
Aǫf in (10.67) für D = 2 und in (10.144) für D = 3 gleich null ist. So führt
das Verschwinden der kontrahierten Zusammenhangskomponenten Γµ µλ = 0 in
(10.159) dazu, daß alle Gitterkorrekturen null sind und nur die ursprüngliche
Kurzzeitwirkung (10.158) übrigbleibt:
∆Aǫ = 4M
(∆u)2
.
2ǫs
(13.160)
Dem geometrischen Zufall Γµ µλ = 0 ist es also zu verdanken, daß die formale Lösung,
die ich mit meinem Mitarbeiter Duru im Jahre 1979 fand, sich tatsächlich als korrekt
erweist.
13.7
Vergleich mit der Schrödingertheorie
Die Auswirkung der Eigenschaft Γµ µλ = 0 läßt sich am einfachsten verstehen,
indem man die Schrödingergleichung des Coulomb-Systems auf die des harmonischen
314
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Oszillators transformiert. Ausgangspunkt ist die folgendermaßen geschriebene
Gleichung:
1 2 2
e2
−
h̄ ∂x − E ψ(x) = ψ(x).
(13.161)
2M
r
Die Nachpunktregularisierung des Pfadintegrals mit (10.156) entspricht einer
Multiplikation der Gleichung mit fl = r von links. Also ist
−
1 2
h̄ r∂x 2 − Er ψ(x) = e2 ψ(x).
2M
(13.162)
Wir gehen nun auf die Quadratwurzelkoordinaten uµ über, die −Er in das
harmonische Potential −E(uµ )2 umtransformieren und den Laplaceoperator ∂x 2 in
g µν ∂µ ∂ν − Γµ µλ ∂λ überführen. Wegen Γµ µλ = 0 fehlt der zweite Term. Deshalb ist
das Ergebnis einfach g µν ∂µ ∂ν . Wegen g µν = δ µν /4r wird die Schrödingergleichung
(10.162) unmittelbar zu
−
1 2 2
h̄ ∂µ − E(uµ )2 ψ(uµ ) = e2 ψ(uµ ).
8M
(13.163)
Wegen des Faktors (uµ )2 nach der Energie E, ist das physikalische Skalarprodukt,
in dem Zustände verschiedener Energie orthogonal zueinander sind, durch
hψ2 |ψ1 i =
Z
d4 uψ2 (uµ )(uµ )2 ψ1 (u)
(13.164)
gegeben. Dies entspricht genau dem in Gl. (11.97) angegebenen Skalarprodukt, das
wegen der Torsion im uµ -Raums für die Hermitezität des Schrödinger Operators
benötigt wurde, der hier die Form ∆ = (1/4u2 )∂u2 hat. Wie dort gefordert kann der
einmal kontrahierte Torsionstensor Sµ = Sµν ν als Gradient einer skalaren Funktion
ausgedrückt werden:
1
(13.165)
Sµ = ∂µ σ(~u), σ(~u) = log ~u2 .
2
Es wurde in Gl. (11.107) gezeigt, daß für Sµ (q) = ∂µ σ(q) das physikalische
Skalarprodukt durch (11.97) gegeben ist:
hψ2 |ψ1 iphys ≡
Wegen (10.114) ist
Z
q
dD q g(q)e−2σ(q) ψ2∗ (q)ψ1 (q).
(13.166)
√
(13.167)
g = 16~u4
und das physikalische Skalarprodukt
hψ2 |ψ1 iphys =
Z
√
d u ge−2σ ψ2∗ (~u)ψ1 (~u) =
4
Z
d4 u16~u2ψ2∗ (~u)ψ1 (~u).
(13.168)
Der sich aus ∂~x2 durch eine nichtholonome Kustaanheimo-Stiefel-Transformation
ergebende Laplaceoperator ist ∆ = (1/4~u2)∂µ2 . Dieser ist hermitesch im
315
13.7 Vergleich mit der Schrödingertheorie
physikalischen Skalarproduct R(10.168), was im naiven invarianten Skalarprodukt
(11.91) mit dem Integralmaß d4 u16~u4. nicht der Fall ist.
In zwei Dimensionen verschwindet die Torsion und das physikalisch
Skalarprodukt fällt mit dem naiven zusammen:
hψ2 |ψ1 iphys =
Z
√
d u gψ2∗ (u)ψ1 (u) =
Z
2
d2 u 4u2 ψ2∗ (u)ψ1 (u).
(13.169)
Mit µ = 4M und −E = µω 2/2 ist (10.163) gerade die Schrödingergleichung des
harmonischen Oszillators
"
#
1
µ
− h̄2 ∂µ2 + ω 2 (uµ )2 ψ(uµ ) = Eψ(uµ ).
2µ
2
(13.170)
Die Eigenwerte der Pseudoenergie E sind
EN = h̄ω(N + Du /2),
(13.171)
wobei Du die Dimension des uµ -Raumes ist und
N=
Du
X
ni
(13.172)
i=1
die Summe der ganzzahligen Quantenzahlen für jede Richtung des uµ -Raumes.
Wegen der Mehrdeutigkeit der Abbildung von x auf uµ können nur symmetrische
Wellenfunktionen mit Coulomb-Zuständen in Verbindung gebracht werden. Daher
muß N gerade sein und kann geschrieben werden als N = 2(n − 1). Das
Pseudoenergie-Spektrum ist daher
En = h̄ω2(n + Du /4 − 1),
n = 1, 2, 3, . . . .
(13.173)
Gemäß Gl. (10.170) müssen alle Coulomb-Wellenfunktionen die Pseudoenergie
En = e2
(13.174)
besitzen. Die beiden Gleichungen sind erfüllt, wenn die Oszillatorfrequenz die
diskreten Werte
ω = ωn ≡
e2
,
2(n + D/4 − 1)
n = 1, 2, 3 . . . .
(13.175)
annimmt. Aus ω 2 = −E/2M folgt für die Coulomb-Energien
En = −2Mωn2 = −
1
Me4
.
2
h̄ 2(n + Du /4 − 1)2
(13.176)
Dies zeigt, daß N/2 + 1 = n der üblichen Hauptquantenzahl der CoulombWellenfunktionen entspricht.
316
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Wir wollen nun das dreidimensionale Coulomb-System mit Du = 4 noch etwas
besser verstehen. Dann gehen nicht alle geraden Oszillatorwellenfunktionen in
gebundene Coulomb-Zustände über. Das folgt aus der Tatsache, daß die CoulombWellenfunktionen nicht von der Hilfskoordinate x4 oder dem Hilfswinkel γ abhängen.
Deshalb erfüllen sie die Nebenbedingung ∂x4 ψ = 0, die für den uµ -Raum [vgl.
(10.133)] folgende Bedeutung hat:
−ir∂x4 ψ(x) = −ire4 µ ∂µ ψ(uµ ) ≡
i
1h
L̂05 ψ(uµ ) = −i (u2 ∂1 − u1 ∂2 ) + (u4 ∂3 − u3 ∂4 ) ψ(uµ )
2
= −i∂γ ψ(uµ ) ≡ 0.
(13.177)
Die explizite Konstruktion der gebundenen Zustände von Oszillator und CoulombSystem läßt sich am einfachsten mit Hilfe der komplexen Koordinaten (10.96)
durchführen. Die Nebenbedingung (10.177), die bei der Auswahl der CoulombZustände berücksichtigt werden muß, wird dann
1
[z̄∂z̄ − z∂z ] ψ(z, z ∗ ) = 0.
(13.178)
2
Um die Ausdrücke zu vereinfachen, verwenden wir atomare Einheiten, in denen
h̄ = 1, M = 1, e2 = 1 und µ = 4 sind. Es werden also alle Längen in Vielfachen des
Bohr-RadiusBohrschen Radius aH = h̄2 /Me2 = 5, 2917 × 10−9 cm angegeben, die
Energien in Einheiten von EH = e2 /aH = Me4 /h̄2 = 4, 359 × 10−11 erg = 27, 210eV.
und die Frequenzen ω in Einheiten von ωH ≡ Me4 /h̄3 (= 4π× Rydberg-Frequenz
νR = 4.133×1016/sec). Die Schrödingergleichung (10.163) lautet nach Multiplikation
mit 4M/h̄2
i
1h 2
ĥψ(uµ ) ≡
(13.179)
−∂µ + 16ω 2 (uµ )2 ψ(uµ ) = 4ψ(uµ ).
2
Das Spektrum des Operators ĥ ist 4ω(N + 2) = 8ωn, so daß für die gebundenen
Zustände des Coulomb-Systems gilt: ω = ωn = 1/2n.
Wir nutzen nun die Tatsache aus, daß der Operator ĥ auf folgende einfache
Standardform gebracht werden kann, in der die Frequenz ω gleich 1 ist:
L̂05 ψ(z, z ∗ ) =
i
1h 2
−∂µ + 4(uµ)2 .
2
Das gelingt mit Hilfe der ω-abhängigen Transformation
ĥs =
ĥ = 4ωeiϑD̂ ĥs e−iϑD̂ .
(13.180)
(13.181)
Der Operator D̂ ist ein infinitesimaler Dehnungsoperator, auch Tiltoperator 6
genannt:
1
(13.182)
D̂ ≡ − iuµ ∂µ ,
2
6
Aus dem Englischen to tilt = neigen. Für die ursprüngliche Definition und intensive Anwendung
auf die Berechnung von Übergangsamplituden siehe H. Kleinert, Group Dynamics of the Hydrogen
Atom, in Lectures in Theoretical Physics, Gordon and Breach, N. Y., 1968, Vol. X B, Hrsg. W. E.
Brittin und A. O. Barut; siehe auch Fortschr. Phys. 6 , 1, (1968).
317
13.7 Vergleich mit der Schrödingertheorie
wobei ϑ der Tiltwinkel
ϑ = log(2ω)
(13.183)
ist. Die Wellenfunktionen sind durch die entsprechend umskalierten Lösungen der
standardisierten Schrödingergleichung (10.180) gegeben:
√
(13.184)
ψ(uµ ) = eiϑD̂ ψ s (uµ ) = ψ s ( 2ωuµ ).
Bemerkenswerterweise hängt die Rückskalierung von ω und damit von der
Hauptquantenzahl n ab, so daß
√
ψn (uµ ) = ψns (uµ / n).
(13.185)
Die standardisierten Wellenfunktionen ψns (uµ ) lassen sich am einfachsten
darstellen, wenn man die vier Sätze â†1 , â†2 und b̂†1 , b̂†2 , â1 , â2 , b̂1 , b̂2 von Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren verwendet. Sie werden aus z1 , z2 , deren Komplexkonjugierten und den dazugehörigen Differentialoperatoren aufgebaut, genau wie
in (10.187) und (10.188), nur gibt es hier doppelt so viele Operatoren, einen Satz
für z1 und einen für z2 . Außerdem wählen wir die Indizes so, daß ai und bi sich wie
die Vektoren einer Spinordarstellung der Rotationsgruppe transformieren. Wenn cij
für die 2 × 2-Matrix
!
0 1
2
c = iσ =
(13.186)
−1 0
steht, dann transformiert sich cij zj wie zi∗ . Deshalb definieren wir die Erzeuger
1
1
â†1 = − √ (−∂z2∗ + z2 ), b̂†1 = √ (−∂z1 + z1∗ ),
2
2
1
1
â†2 = √ (−∂z1∗ + z1 ), b̂†2 = √ (−∂z2 + z2∗ ),
2
2
(13.187)
und unter Benutzung von ∂z† = −∂z ∗ die Vernichter
1
1
â1 = − √ (∂z2 + z2∗ ), b̂1 = √ (∂z1∗ + z1 ),
2
2
1
1
â2 = √ (∂z1 + z1∗ ), b̂2 = √ (∂z2∗ + z2 ).
2
2
(13.188)
Der standardisierte Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators nimmt dann die
Gestalt
ĥs = ↠â + b̂† b̂ + 1
(13.189)
an, wobei wir die Spinor-Schreibweise aus Gl. (10.93) benutzen. Der Grundzustand
des vierdimensionalen harmonischen Oszillators wird durch â1 , â2 und b̂1 , b̂2
vernichtet und entspricht daher der Wellenfunktion
1
1
∗
∗
µ 2
hz, z ∗ |0i = ψs,0000 (z, z ∗ ) = √ e−z1 z1 −z2 z2 = √ e−(u ) .
π
π
(13.190)
318
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Ein vollständiger Satz von Oszillatorwellenfunktionen wird wie üblich durch
Anwendung der Erzeuger auf den Grundzustand erhalten:
†na †na †nb †nb
|na1 , na2 , nb1 , nb2 i = Nna1 ,na2 ,nb1 ,nb2 â1 1 â2 2 b̂1 1 b̂2 2 |0i
(13.191)
mit den Normierungskonstanten
1
.
Nna1 ,na2 ,nb1 ,nb2 = q
na1 !na2 !nb1 !nb2 !
(13.192)
Die Hauptquantenzahl n ist durch die Summe
n = na1 + na2 + nb1 + nb2 + 1
(13.193)
gegeben. Die gebundenen Zustände des Coulomb-Systems erhält man aus denjenigen
Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators, die die Nebenbedingung (10.178)
erfüllen, die in dieser Darstellung
1
L̂05 = − (↠â − b̂† b̂)ψ s = 0
2
(13.194)
ist. Die Coulomb-Zustände enthalten also immer genausoviele a-Quanten wie
b-Quanten. Sie diagonalisieren die miteinander vertauschenden a- und bSpinoperatoren
1
1
L̂ai ≡ ↠σi â, L̂ai ≡ b̂† σi b̂.
(13.195)
2
2
Die Quantenzahlen sind
la = (na1 + na2 )/2,
lb = (nb1 + nb2 )/2,
ma = (na1 − na2 )/2,
mb = (nb1 − nb2 )/2,
(13.196)
wobei l und m die Eigenwerte von L̂2 und L̂3 sind. Wenn wir noch die Quantenzahlen
n1 , n2 einführen:
na1 ≡ n1 + m, na2 ≡ n2 , nb1 = n2 + m, nb2 = n1
na1 ≡ n1 , na2 ≡ n2 − m, nb1 = n2 , nb2 = n1 − m
for m ≥ 0,
for m ≤ 0,
(13.197)
so wird der Zusammenhang mit den Wellenfunktionen |n1 , n2 , mi hergestellt, die bei
der Diagonalisation des Coulomb-Hamiltonoperators in parabolischen Koordinaten
auf natürliche Weise entstehen. Die Beziehung zwischen diesen und den üblichen
Coulomb-Wellenfunktionen mit festem Drehimpuls |nlmi ergibt sich aus der
Tatsache, daß der Drehimpulsoperator L̂i gleich der Summe von a- und b-Spins ist.
Die Umdiagonalisierung ist dann sogleich mittels der bekannten Clebsch-GordanKoeffizienten durchzuführen (siehe Anhang 13A).
Man
beachte, daß nach der Dehnungstransformation (10.184) das Exponentialverhalten
319
13.8 Polare Zerlegung und Coulomb-Wellenfunktionen
µ 2
der Oszillatorwellenfunktionen ψns (uµ ) ∝ Polynom(uµ ) × e−(u ) korrekt in das
bekannte Verhalten der Coulomb-Wellenfunktionen ψ(x) ∝ Polynom(x) × e−r/n
übergeht.
Es
ist
wichtig
sich
klarzumachen,
daß trotz der Hermitizität des Dehnungsoperators D̂ und der Unitarität von
eiϑD̂ für einen festen Winkel ϑ die gebundenen Coulomb-Zustände ψn , die durch
Dehnung mit einem n-abhängigen Parameter ϑn = log(1/n) aus dem vollständigen
Eigenfunktionssatz ψns des harmonischen Oszillators hervorgehen, keineswegs den
gesamten Hilbertraum aufspannen, sondern eine Lücke offen lassen. Diese wird
ganau von den Kontinuumszuständen gefüllt. Wir können uns diesen Sachverhalt
wie folgt veranschaulichen: Die Oszillatorwellenfunktionen ψns (uµ ) oszillieren umso
P
schneller im Raum, je größer n wird. Deshalb reicht die Summe n ψns (uµ )ψns∗ (uµ )
aus, um eine δ-Funktion aufzubauen, d.h. die
√ Zustände√sind vollständig. In der
P
Summe der gestreckten Zustände, n ψns (uµ / n)ψns∗ (uµ / n), dehnen sich auch die
Wellenlängen der räumlichen Oszillationen mit größerwerdendem n immer mehr,
und so erreichen sie nicht die kurzen Wellenlängen, die in der Spektralzerlegung
einer unendlich schmalen δ-Verteilung vorkommen müssen. Deshalb sind sie nicht
mehr vollständig.
In Anhang 13A haben wir einige weitere algebraische Eigenschaften der Erzeugerund Vernichterdarstellung der Coulomb-Wellenfunktionen zusammengestellt.
13.8
Polare Zerlegung der Amplitude und
Coulomb-Wellenfunktionen
Wir wollen nun die Festenergieamplitude dazu benutzen, die radialen
Wellenfunktionen des Coulomb-Systems zu berechnen. Dazu führen wir zunächst
eine polare Zerlegung durch. Wir beginnen mit dem Ausdruck (10.128),
!
√
Z
2 ̺q
Mκ 1
̺−ν
(xb |xa )E = −i
I0 2κ
d̺
(rb ra + xb xa )/2
πh̄ 0
(1 − ̺)2
1−̺
(
)
1+̺
× exp −κ
(rb + ra ) ,
(13.198)
1−̺
und schreiben die Besselfunktion um als
I0 (z cos(θ/2)),
wobei θ den Winkel zwischen xa und xb bezeichnet und
√
2 ̺
√
.
z ≡ 2κ rb ra
1−̺
(13.199)
(13.200)
Jetzt benutzen wir die Entwicklung7
7
1
kz
2
µ−ν
Iν (kz) = k
µ
∞
X
1 Γ(l + µ)
(2l + µ)
l=0 l! Γ(1 + ν)
G.N. Watson, Theory of Bessel Functions, Cambridge U.P., London, 1966, 2nd ed., p.140,
Formel (3).
320
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
×F (−l, l + µ; 1 + ν; k 2 )(−)l I2l+µ (z).
(13.201)
Wenn wir k = cos(θ/2) und ν = 2q > 0, µ = 1 + 2q setzen und die Formeln (1.280)
und (1.282) für die Drehfunktionen benutzen, wird dies zu
I2q (z cos(θ/2)) =
∞
2 X
(2l + 1)dlqq (θ)I2l+1 (z).
z l=|q|
(13.202)
Für q = 0 ist
I0 (z cos(θ/2)) =
∞
2X
(2l + 1)Pl (cos θ)I2l+1 (z).
z l=0
(13.203)
Weiterhin gehen wir in (10.198) auf die Integrationsvariablen y mit der Definition
̺ ≡ e−2y
(13.204)
über, so daß
√
z = 2κ rb ra
1
.
sinh y
(13.205)
Wir entwickeln die Festenergieamplitude in folgender Weise nach Kugelfunktionen:
321
13.8 Polare Zerlegung und Coulomb-Wellenfunktionen
(xb |xa )E =
=
∞
2l + 1
1 X
Pl (cos θ)
(rb |ra )E,l
rb ra l=0
4π
∞
l
X
1 X
∗
(rb |ra )E,l
Ylm (x̂b )Ylm
(x̂a ).
rb ra l=0
m=−l
(13.206)
Die radialen Amplituden sind dann
Z
√
1
2M ∞
dy
e2νy
(rb |ra )E,l = −i rb ra
h̄ 0
sinh y
√
× exp {−κ coth y(rb + ra )} I2l+1 2κ rb ra
(13.207)
!
1
.
sinh y
Wir verwenden nun die Integralformel (9.50) und finden
(rb |ra )E,l = −i
M Γ(−ν + l + 1)
× Wν,l+1/2 (2κrb ) Mν,l+1/2 (2κra ) ,
h̄κ (2l + 1)!
q
(13.208)
q
wobei die Größen κ = −2ME/h̄2 und ν =e2 /2ωh̄= −e4 M/2h̄2 E die Energie
enthalten. Als Funktion von ν betrachtet, hat dieser Ausdruck Pole bei ν = n mit
n = l + 1, l + 2, l + 3, . . .. Sie entsprechen den gebundenen Zuständen des CoulombSystems. Wenn wir
1 1
aH ν
(13.209)
h̄2
aH ≡
Me2
(13.210)
κ=
schreiben, wobei
der Bohrsche Radius ist (M =reduzierte Masse, aH ≈ 0.53 × 10−8 cm), erhalten wir
in der Umgebung der Pole, d.h. für ν ≈ n:
(−)nr 1
Γ(−ν + l + 1) ≈ −
,
nr ! ν − n
2 h̄2 κ2
1
1
≈
,
ν−n
n 2M E − En
1 1
κ ≈
aH n
mit nr = n − l − 1, so daß
(13.211)
322
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
−iΓ(−ν + l + 1)
(−)nr 1
ih̄
M
.
≈ 2
h̄κ
n nr ! aH E − En
(13.212)
Wir wollen den Anteil der diskreten Eigenzustände an der Spektraldarstellung des
radialen Energiepropagators in der Form
(rb |ra )E,l =
∞
X
ih̄
Rnl (rb )Rnl (ra ) + . . . .
n=l+1 E − En
(13.213)
schreiben. Die so definierten radialen Wellenfunktionen ergeben die normierten
Gesamtwellenfunktionen
1
ψnlm (x) = Rn,l (r)Ylm (x̂).
r
(13.214)
Die Gleichung (10.212) und ein Vergleich der Polterme in (10.208) und (10.213)
ermöglichen es, die radiale Wellenfunktion [nach Benutzung der Formel (9.71) für
die Whittaker-Funktionen zusammen mit (9.73)] als8
Rnl (r) =
1
1/2
aH n (2l
1
+ 1)!
v
u
u
t
(n + l)!
(n − l − 1)!
(13.215)
× e−r/naH (2r/naH )l+1 M(−n + l + 1, 2l + 2, 2r/naH )
=
1
1/2
aH n
v
u
u (n − l − 1)!
t
e−r/naH (2r/na
(n + l)!
H)
l+1
2l+1
Ln−l−1
(2r/naH )
zu identifizieren.
Man beachte, daß die Normierungsintegrale dieser Wellenfunktionen sich
von den für den harmonischen Oszillator relevanten und in den Integraltafeln
enthaltenen (9.77) um einen Faktor z/2n = (2r/naH )/2n unterscheiden. Wegen
der Rekursionsbeziehung der Laguerre-Polynome
zLµn (z) = (2n + µ + 1)Lµn (z) − (n + µ)Lµn−1 (z) − (n + 1)Lµn+1 (z)
werden die Werte der Integrale dadurch allerdings nicht verändert. Die
Orthogonalität der Wellenfunktionen mit verschiedenem n ist dagegen sehr viel
schwerer nachzuprüfen, da die beiden Laguerre-Polynome in den Integralen
verschiedene Argumente haben. Hier schafft die gruppentheoretische Behandlung
in Anhang 13A Abhilfe, wo die Orthogonalität in Gl. (10A.15) nachgewiesen wird.
Wenden wir uns nun den Kontinuumszuständen zu. Die Festenergieamplitude hat
einen Verzweigungsschnitt in der rechten Hälfte der komplexen Energieebene, wo κ =
−ik und ν = i/aH k rein imaginär sind. Für die letztere wollen wir schreiben: ν = iν ′ .
8
Vgl. L.D. Landau und E.M. Lifschitz, op. cit., §36. Man erinnere sich, daß unsere Definition
der Laguerre Polynome von der Landauschen abweicht: unser Lµn =[(−)µ /(n + µ)!]Ln+µ µ |L.L. .
323
13.8 Polare Zerlegung und Coulomb-Wellenfunktionen
Aus der Größe des Sprungs an der Unstetigkeitsstelle können wir die Streuzustände
gewinnen. Sie ist gegeben durch
disc (rb |ra )E,l = (rb |ra )E+iη,l − (rb |ra )E−iη,l =
(13.216)
(
)
M Γ(−iν ′ + l + 1)
Wiν ′ ,l+1/2 (−2ikrb ) Miν ′ ,l+1/2 (−2ikra ) + (ν ′ → −ν ′ ) .
h̄k
(2l + 1)!
Im zweiten Term ersetzen wir
Miν ′ ,l+1/2 (−2ikr) = e−iπ(l+1) M−iν ′ ,l+1/2 (2ikr),
(13.217)
und benutzen die Beziehung
Mλ,µ (z) =
Γ(2µ + 1)
eiπλ e−iπ(µ+1/2) Wλ,µ (z)
Γ(µ + λ + 1/2)
Γ(2µ + 1)
eiπλ W−λ,µ (eiπ z),
+
Γ(µ − λ + 1/2)
(13.218)
die für arg z ∈ (−π/2, 3π/2), 2µ 6= −1, −2, −3, . . . gültig ist. Es ergibt sich
M |Γ(−iν ′ + l + 1)|2 πν ′
e
h̄k
(2l + 1)!2
× Miν ′ ,l+1/2 (−2ikrb ) M−iν ′ ,l+1/2 (2ikra ) .
disc (rb |ra )E,l =
(13.219)
Die freien Zustände tragen zur Vollständigkeitsrelation folgendermaßen bei [siehe
(9.18)]:
Z
∞
0
∞
X
dE
∗
disc (rb |ra )E,l +
Rnl (rb )Rnl
(ra ) = δ(rb − ra ).
2πh̄
n=l+1
Wenn das Integral über 0∞ dE/2πh̄ durch eines über
dann kann der kontinuierliche Anteil in der Form
R
Z
∞
−∞
R∞
−∞
(13.220)
dkkh̄/2πM ersetzt wird,
∗
dkRkl (rb )Rkl
(ra )
(13.221)
geschrieben werden. Die radialen Wellenfunktionen sind demzufolge
Rkl (r) =
s
1 |Γ(−iν ′ + l + 1)| πν ′ /2
e
Miν ′ ,l+1/2 (−2ikr).
2π
(2l + 1)!
(13.222)
Wenn wir die Whittaker-Funktionen Mλ,µ (z) durch konfluente hypergeometrische
Funktionen M(a, b, z), auch Kummer-Funktionen genannt, ausdrücken, dann ist
Mλ,µ (z) = z µ+1/2 e−z/2 M(µ − λ + 1/2, 2µ + 1, z)
(13.223)
und wir erhalten das schon aus der Schrödingertheorie bekannte Resultat9
Rkl (r) =
s
1 |Γ(−iν ′ + l + 1)|
2π
(2l + 1)!
′
× eπν /2 eikr (−2ikr)l+1 M(−iν ′ + l + 1, 2l + 2, −2ikr).
9
ibid., S. 120.
(13.224)
324
13.9
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Zur Geometrie uµ -Raums
Folgende Bemerkungen über die Riemannsche Geometrie des vierdimensionalen ~uRaumes mit der Metrik gµν = 4~u2 δµν sollten nützlich sein. Wie im zweidimensionalen
Fall verschwindet der Cartansche Krümmungstensor Rµνλ κ trivialerweise, da ei µ (~u)
linear in uµ ist:
(∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ )ei λ = 0.
(13.225)
Anders als im zweidimensionalen Fall ist der Riemannsche Krümmungstensor
R̄µνλ κ nun aber von null verschieden. Der durch einmalige Kontraktion daraus
hervorgehende Riccitensor hat die Matrixelemente
R̄νλ = R̄µνλ µ
3
= − 6 (δνλ~u 2 − ~uν ~uλ ),
2~u
(13.226)
und der Krümmungsskalar ist
R̄ = g νλR̄νλ = −
9
.
2~u 4
(13.227)
Im übrigen wird allgemein eine diagonale Metrik der Form
gµν (q) = Ω2 (q)δµν
(13.228)
konform-flach genannt, da man sie aus einem flachen Raum mit der Metrik gµν = δµν
durch die konforme Abbildung
gµν (q) → Ω2 (q)gµν (q)
(13.229)
gewinnen kann. Die Christoffel-Symbole verhalten sich unter einer solchen
Transformation wie folgt:
Γ̄µν λ → Γ̄µν λ + Ω,µ δν λ + Ω,ν δµ λ − gµν g λκ Ω,κ ,
(13.230)
wobei ein mit Komma abgetrennter Index für eine Differentiation bezüglich der
entsprechenden Koordinate steht: Ω,µ ≡ ∂µ Ω. Der Ricci-Tensor transformiert sich
nach der Formel
R̄µν → Ω−2 R̄µν − (D − 2)(Ω−3 Ω;µν − 2Ω−4 Ω,µ Ω,ν )
−2
− gµν g
λκ
h
−4
−3
(D − 3)Ω Ω,λ Ω,κ + Ω Ω;λκ
= Ω R̄µν + (D − 2)Ω−1 (Ω−1 );µν
− gµν (D − 2)−1 Ω−D (ΩD−2 );λκ g λκ
(13.231)
i
(13.232)
wobei ein mit Semikolon abgetrennter Index eine kovariante Ableitung mittels des
Riemann-Zusammenhangs bezeichnet, d.h.
Ω;µν ≡ Dν Ω,µ = Ωµν − Γ̄µν λ Ω,λ .
(13.233)
13.9 Zur Geometrie des uµ -Raums
325
Der Krümmungsskalar geht über in
R̄ → Ω−2 R̄ − 2(D − 1)Ω−3 Ω;µν g µν − (D − 1)(D − 4)Ω−4 Ω,µ Ω,ν g µν .
(13.234)
Wenn man von einer trivialen Metrik gµν = δµν mit R̄µν = 0 ausgeht, liefern
diese Beziehungen direkt die Krümmung im konform-flachen Raum. Die kovarianten
Ableitungen sind in diesem Fall mit den gewöhnlichen Ableitungen identisch. Mit
der konform-flachen Metrik gµν = 4~u2 δµν , also mit Ω = 2|~u|, gilt:
Ω,µ = 2
uµ
,
|~u|
Ω,µν =
2 µν 2
(δ ~u − uµ uν ),
|~u|3
(13.235)
und R̄µν , R̄ haben das Aussehen
1
(δµν ~u 2 − ~uµ~uν ),
4~u 6
1
R̄ = −3(D − 1)(D − 2) 4 .
4~u
R̄µν = −3(D − 2)
(13.236)
Für D = 4 stimmen diese Ergebnisse mit (10.226) und (10.227) überein, während
für D = 2 jeweils null herauskommt.
Schließlich ist noch anzumerken, daß ein masseloses skalares Feld φ(x) sich unter
einer konformen Abbildung wie
φ(x) → Ω1−D/2 (x)φ(x)
(13.237)
transformiert. Es gibt eine Kombination aus dem Laplace-Beltrami-Operator
DD ∗ und dem Riemannschen Krümmungsskalar, die ein sehr einfaches
Transformationsverhalten unter konformen Abbildungen aufzuweisen hat, nämlich
DD ∗ −
1D−2
R̄.
4D−1
(13.238)
Wendet man diesen Operator auf ein skalares Feld an, so ergibt sich
DD ∗ −
1D−2
1D−2
R̄ φ(q) −→ Ω−1−D/2 DD ∗ −
R̄ φ(q).
4D−1
4D−1
(13.239)
Wenn wir also eine Feldgleichung für ein masseloses skalares Feld aufstellen, indem
wir (10.239) gleich null setzen, so haben wir ein Naturgesetz mit konformer Invarianz
definiert. Aus diesem Grund ist die Kombination (10.238) ein in der Quantentheorie
der Feldern in gekrümmten Räumen besonders beliebter Operator.10
10
Siehe N.D. Birell, P.C.W. Davies, Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University
Press, Cambridge, 1982.
326
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
13.10
Solution in Momentum Space
The path integral for a point particle in a Coulomb potential can also be solved in
momentum space. The solution is so far the only indirect evidence for the question
first raised by Bryce DeWitt in his fundamental 1957 paper,11 whether the Hamilton
operator for a particle in curved space contains merely the Laplace-Beltrami operator
∆ in the kinetic energy, or whether there exists an additional term proportional
to h̄2 R. Recall the various older path integral literature on the subject cited in
Chapter 10. From the measure generated by the nonholonomic mapping principle
in Subsection 10.4.2 it follows that there is no extra h̄2 R-term. See the discussion in
Section 11.5. It would, of course, be more satisfactory to have a direct experimental
evidence, but so far all experimentally accessible systems in curved space have either
a very small R caused by gravitation, whose detection is presently impossible, or a
constant R which does not change level spacings, an example for the latter being
the spinning symmetric and asymmetric top discussed in the context of Eq. (??).
We show now that if we assume the presence of an extra h̄2 R in the momentum
space formulation of the path integral of the Coulomb system, such an extra term
would cause experimentally wrong level spacings in the hydrogen atom.12
13.10.1
Gauge Invariant Canonical Path Integral
Starting point for our treatment is the path integral formulation for the matrix
elements in momentum space of the resolvent operator R̂ ≡ i/(E − Ĥ) rewritten in
the form (12.23):
i
fˆ
(13.240)
R̂ =
ˆ
f (E − Ĥ)
where f is an arbitrary function of space, momentum, and some parameter s.
From Eq. (12.35) we find the canonical euclidean path integral (in the atomic units
specified on p. 454):
hpb |ÛE (S)|pa i =
Z
3
D x(s)
(
i
× exp
h̄
Z
0
D 3 p(s)
2πh̄
"
Z
S
′
ds p · x − f
α
p2
−E +f
2
r
!
#)
fa , (13.241)
and the fixed-energy amplitude
(pb |pa )fE
=
Z
0
∞
dShpb |ÛE (S)|pa i.
(13.242)
The left-hand side carries a superscript f to remind us of the presence of f on the
right-hand side, although the amplitude does not really depend on f . This freedom
of choice may be viewed as a gauge invariance13 of (10.256) under f → f ′ . Such an
11
B.S. DeWitt, Rev. Mod. Phys. 29, 337 (1957).
H. Kleinert, Phys. Lett A 252, 277 (1999) (quant-ph/9807073).
13
K. Fujikawa, Prog.Theor.Phys. 96 863 (1996) (hep-th/9609029); (hep-th/9608052).
12
327
13.10 Solution in Momentum Space
invariance permits us to subject (10.256) to an additional path integration over f , as
long as a gauge fixing functional Φ[f ] ensures that only a specific “gaugecontributes.
Thus we shall calculate the amplitude as a path integral
(pb |pa )E =
Z
Df Φ[f ] (pb |pa )fE .
(13.243)
The only condition on Φ[f ] is that it must be normalized to have a unit integral:
R
Df Φ[f ] = 1. The choice which leads to the desired solution of the path integral is
Φ[f ] =
Y
s


p2
i
1
exp − 2 f − r 2
−E
 2r
r
2
"
!#2 

.
(13.244)

With this, the total action in the path integral (10.243) becomes
A[p, x, h] =
Z
S
0

r2
ds −p′ · x −
2
p2
−E
2
!2

f
1
− 2 f 2 + α .
2r
r
(13.245)
The path integrals over f and x in (10.256) are Gaussian and can be done, in this
order, yielding a new action
4p′2
1Z S
2
ds
,
(13.246)
A[p] =
2 +α
2
2
2 0
(p + pE )
√
where we have introduced pE ≡ −2E, assuming E to be negative. The positive
regime can be obtained by analytic continuation. Now, a stereographic projection
"
Ep
,
≡ p2p
2 + p2
E
#
π4 ≡
p2 − p2E
p2 + p2E
(13.247)
!
(13.248)
transforms (10.246) to the form
1Z S
1 2
A[~π ] =
ds 2 ~π ′ + α2 ,
2 0
pE
where ~π denotes the four-dimensional unit vectors (, π4 ). This describes a point
particle with pseudomass µ = 1/p2E moving on a four-dimensional unit sphere. The
pseudotime evolution amplitude of this system is
−iS p2E
(~πb S|~πa 0) = e
Z
D~π
eiA[~π ] .
(2π)3/2 p3E
(13.249)
There is an exponential prefactor arising from the transformation of the
functional measure in (10.256) to the unit sphere. Let us see how this comes
about. When integrating out the spatial fluctuations in going from (10.245)
to (10.246), the canonical measure in each time slice d3 pn d3 xn /(2π)3 becomes
d3 pn 8/(2π)3/2 (p2n + p2E ). From the stereographic projection (10.247) we see that
328
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
this is equal to d~πn /(2π)3/2 p3E , where d~πn denotes the product of integrals over
the solid angle on the surface of the unit sphere in four dimensions, with the
R
R
integral
d~π yielding the total surface 2π 2 . Alternatively we may also write d~πn =
R 4
d πn δ(πn2 − 1), or use an explicit angular form of the type (8.120) or (8.124).
From Chapter 10 we know that in a curved space, the time-slicedqmeasure
R
of path integration is given by the product of invariant integrals dqn g(qn ) at
each time slice, multiplied by an effective action contribution exp(iAǫeff (qn )) =
exp(iǫR̄(qn )/6µ), where R̄ is the scalar curvature. For a sphere of radius r in D
dimensions, R̄ = (D − 1)(D − 2)/r 2, implying here for D = 4 that exp(iAǫeff ) =
exp(iǫ/µ) = exp(iǫ p2E ). Thus, when transforming the time-sliced measure in the
original path integral (10.243) to the time-sliced measure on the sphere in (10.249),
2
we generate the factor e−iS pE in (10.249) [compare (10.143) and (10.144)]:
N Z
Y
n=1
N Z
N Z
Y
Y
d 3 pn 8
d~πn
d3 pn d3 xn
=
=
2
(2π)3
(2π)3/2 (p2n + pE ) n=1 (2π)3/2 p3E
n=1
N
Y
=
2
e−iǫpE
n=1
Z
Z
d~πn
D~π
iǫp2E
−iSp2E
e
=
e
. (13.250)
3
(2π)3/2 pE
(2π)3/2 p3E
A complete set of orthonormal hyperspherical functions on this sphere is Ynlm (~π ),
where n, l, m are the quantum numbers of the hydrogen atom with the well-known
ranges (n = 1, 2, 3, . . . , l = 0, . . . , n − 1, m = −l, . . . , l). They can be expressed
j
in terms of the three-dimensional representation Dm
(u) of the SU(2) matrices
1 m2
1
2
3
u = ~π~σ with the Pauli matrices ~σ ≡ (1, σ , σ , σ ) as
Y2j+1,l,m(~π ) =
s
X
2j + 1
j
(j, m1 ; j, m2 |l, m) Dm
(u).
1 m2
2π 2 m1 ,m2 =−j,...,j
(13.251)
The orthonormality and completeness relations are
Z
d~π Yn∗′ l′ m′ (~π )Ynlm (~π) = δnn′ δll′ δmm′ ,
X
n,l,m
Ynlm (~π ′ )Ynlm (~π) = δ (4) (~π ′ − ~π ),
(13.252)
where the δ-function satisfies d~π δ (~π − ~π ) = 1. When restricting the complete
sum to l and m only we obtain the four-dimensional analog of the Legendre
polynomial:
R
X
l,m
Ynlm (~π ′ )Ynlm (~π ) =
(4)
′
n2
Pn (cos ϑ),
2π 2
Pn (cos ϑ) =
sin nϑ
,
n sin ϑ
(13.253)
where ϑ is the angle between the four-vectors ~πb and ~πa :
cos ϑ = ~πb~πa =
(p2b − p2E )(p2a − p2E ) + 4p2E pb · pa
(p2b + p2E )(p2a + p2E )
(13.254)
329
13.10 Solution in Momentum Space
The path integral for a particle on the surface of a sphere was solved Sections 8.7
and 10.4.2. The solution of (10.249) reads
(~πb S|~πa 0) =
(2π)3/2 p3E
∞
X
h
i S
n2
2 2
2
.
P (cos ϑ) exp −i(pE n − α )
2 n
2
n=1 2π
(13.255)
For the path integral itself in (10.249), the exponential contains the eigenvalues of
the squared angular-momentum operator L̂2 /2µ which in D dimensions are l(l +
D − 2)/2µ, l = 0, 1, 2, . . . . In our system with D = 4, l = n − 1, these eigenvalues
2
2
2
are n2 − 1, leading to an exponential e−i[pE (n −1)−α ]S . Together with the exponential
prefactor in (10.249), this leads to the exponential in (10.255). The integral over
S in (10.256) with (10.256) can now be done yielding the amplitude at zero fixed
pseudoenergy
(~πb |~πa )0 = (2π)3/2 p3E
∞
X
n2
2i
Pn (cos ϑ)
.
2
2En2 + α2
n=1 2π
(13.256)
This has poles displaying the hydrogen spectrum at energies:
En = −
13.10.2
1
,
2n2
n = 1, 2, 3, . . . .
(13.257)
Another Form of Action
Consider the following generalization of the final action (10.246) with anarbitrary
function h depending on p and s:
1Z S
1
4ṗ2
Ae [p] =
ds
− α2 h ,
2 0
h (p2 + p2E )2
"
#
(13.258)
This action is invariant under reparametrizations s → s′ if one tranforms
simultaneously h → hds/ds′ . The path integral with the action (10.246) in the
exponent may thus be viewed as a path Rintegral with the gauge-invariant action
(10.258) and an additional path integral dh Φ[h] with an arbitrary gauge-fixing
functional Φ[h]. Going back to a real-pseudotime parameter s = iτ , the action
corresponding to the euclidean expression (10.258) describes the dynamics of the
point particle in the Coulomb potential reads
1
A[p] =
2
Z
τb
τa
4ṗ2
1
dτ
+ α2 h ,
h (p2 + p2E )2
"
#
(13.259)
At the extremum in h, this action reduces to
A[p] = 2α
Z
τb
τa
v
u
u
dτ t
ṗ2
2.
(p2 + p2E )
(13.260)
330
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
This is the manifestly reparametrization invariant form of an action in a curved
2
space with a metric g µν = δ µν / (p2 + p2E ) . In fact, this action coincides with the
classical eikonal in momentum space:
S(pb , pa ; E) = −
Z
pb
pa
dτ ṗ · x.
(13.261)
Observing that the central attractive force makes ṗ point in the direction −x,
and inserting r = α(p2 + p2E )/2, we find precisely the action (10.260). In fact, the
canonical quantization of a system with the action (10.260) à la Dirac leads directly
to a path integral with action (10.259) (see also the discussion in Chapter 15). The
eikonal (10.261), and thus the action (10.260), determines the classical orbits via
the first extremal principle of theoretical mechanics found in 1744 by Maupertius.
13.10.3
Absence of Extra R-Term
Since the Coulomb path integral in momentum space is equivalent to that of a
point particle on a sphere, we can use it to pass an experimental judgement on the
possible presence of an extra R-term in the Hamiltonian operator of the Schrödinger
equation in curved space which could be caused by various historic choices of the
measure of path integration in the literature dicussed in Chapter 10. In the exponent
of (10.255), an extra term c × µh̄2 R/2 in the Hamilton operator in addition to the
Laplace-Beltrami term −µh̄2 ∆/2 would appear as an extra constant 3c added to n2 .
The hydrogen spectrum would then have the energies En = −1/2(n2 + 3c). The only
theoretically proposed candidates for c are 1/24, 1/12, and 1/8.14 The resulting
strong distortions of the hydrogen spectrum would certainly have been noticed
experimentally a long time ago, apart from the fact that they would contradict
Schrödinger theory in x-space whose spectrum (10.257) as the first triumph of
quantum theory in atomic physics.
On fundamental level, the present discussion confirms the validity of the
nonholonomic mapping
principle of Chapter 10 which predicts the extra factor
R
exp(iAeff /h̄) = exp(ih̄ dsR̄/6µ) in the measure of the path integral in curved space
[recall Eq. (10.143)]. Without this, the correct spectrum in curved momentum space
would come out wrong, with an energy of the unphysical form −α/2(n2 − 1) which
possesses a singularity at n = 1!
Appendix 13A
Gruppentheoretische
Coulomb-Zustände
Eigenschaften
der
Der Hilbertraum der Oszillatorwellenfunktionen ψ s (uµ ), die nicht von x4 (und
mithin nicht von γ) abhängen, wird durch Anwendung von gleichvielen a† und b† -Operatoren auf den Grundzustand (10.190) erzeugt. Er besteht aus den
Skalarprodukten der bra-Zustände (10.190) und der ket-Zustände (10.191). Die ketZustände bilden eine irreduzible Darstellung der dynamischen Gruppe O(4, 2). Diese
14
See Notes and References in Chapter (10).
Appendix 13A
Gruppentheoretische Eigenschaften der Coulomb-Zustände331
besteht aus allen orthogonalen Matrizen im sechsdimensionalen pseudoeuklidischen
Raum, dessen Metrik 4 positive und 2 negative Einträge hat:

gAB =









1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 −1
0
0
0 −1





.




(13A.1)
Die 15 Generatoren L̂AB ≡ −L̂BA , A, B = 1, . . . 6 dieser Gruppe werden aus den
Spinoren
!
!
â1
b̂1
â ≡
, b̂ ≡
(13A.2)
â2
b̂2
und ihren hermitesch-adjungierten aufgebaut, und zwar unter Verwendung der
Paulischen σ-Matrizen und c ≡ iσ 2 . Das geschieht folgendermaßen (aus ästhetischen
Gründen benutzen wir hier unten indizierte Pauli-Matrizen σi ≡ σ i ):
1 †
â σk â + b̂† σk b̂
i, j, k = 1, 2, 3 cyclic,
2
1 †
â σi â − b̂† σi b̂ ,
L̂i4 =
2
1 †
L̂i5 =
â σi cb̂† − âcσi b̂ ,
2
i †
â σi cb̂† + âcσi b̂ ,
L̂i6 =
2
1 † †
â cb̂ − âcb̂ ,
L̂45 =
2i
1 † †
L̂46 =
â cb̂ + âcb̂ ,
2
1 †
â â + b̂† b̂ + 2 .
L̂56 =
2
L̂ij =
(13A.3)
Die Vertauschungsregeln für diese Operatoren sind
[L̂AB , L̂AC ] = igAA L̂BC .
(13A.4)
Man kann leicht nachprüfen, daß die folgenden Kombinationen von Ortsoperatoren
Elemente der Lie-Algebra von O(4, 2) sind,
r
xi
−i(xi ∂xi + 1)
−ir∂xi
=
=
=
=
L̂56 − L̂46 ,
L̂i5 − L̂i4 ,
L̂45 ,
L̂i6 .
(13A.5)
332
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
Die letzte Gleichung folgt aus
∂xi =
1 i
e µ ∂µ ,
2~u2
(13A.6)
[siehe (10.133)] zusammen mit
1
1
u1 = (z1 + z1∗ ), u2 = (z1 − z1∗ ),
2
2i
1
1
u3 = (z2 + z2∗ ), u4 = (z2 − z2∗ ),
2
2i
(13A.7)
und
∂1 = (∂z1 + ∂z1∗ ),
∂3 = (∂z2 + ∂z2∗ ),
∂2 = i(∂z1 − ∂z1∗ ),
∂4 = i(∂z2 − ∂z2∗ ).
(13A.8)
Daher ist
i
−ir∂xi = − (z̄σi ∂z̄ + ∂z σi z).
2
(13A.9)
In Analogie mit (10A.3) lassen sich alle Erzeugenden L̂AB folgendermaßen durch
z, z ∗ ausgedrücken:
L̂ij =
L̂i4 =
L̂i5 =
L̂i6 =
L̂45 =
L̂46 =
L̂56 =
1
(z̄σk ∂z̄ − ∂z σk z),
2
1
− (z̄σi z − ∂z σi ∂z̄ ),
2
1
(z̄σi z + ∂z σi ∂z̄ ),
2
i
− (z̄σi ∂z̄ + ∂z σi z),
2
i
− (z̄∂z̄ + ∂z z),
2
1
− (z̄z + ∂z ∂z̄ ),
2
1
(z̄z − ∂z ∂z̄ ).
2
(13A.10)
Beim Übergang zu den Operatoren xi , ∂xi ergibt sich daraus mit (xi ≡ xi ):
i
L̂ij = − (xi ∂xj − xj ∂xi ),
2
1 i 2
−x ∂x − xi + 2∂xi x∂x ,
L̂i4 =
2
1 i 2
−x ∂x + xi + 2∂xi x∂x ,
L̂i5 =
2
Gruppentheoretische Eigenschaften der Coulomb-Zustände333
Appendix 13A
L̂i6 = −ir∂xi ,
L̂45 = −i(xi ∂xi + 1),
1
(−r∂x2 − r),
L̂46 =
2
1
L̂56 =
(−r∂x2 + r),
2
(13A.11)
wobei ∂x2 und xi ∂xi eigentlich ∂x2µ und xµ ∂xµ sind, die sich aber wegen der
Nebenbedingung (10.177) auf die rein räumlichen Operatoren reduzieren. Wenn
man mit Oszillatorwellenfunktionen arbeitet, die bezüglich der uµ -Koordinaten
separieren, ist die angemessenste Form für die Generatoren die folgende:
L̂12
L̂13
L̂14
L̂15
L̂16
L̂23
L̂24
L̂25
L̂26
L̂34
L̂35
L̂36
L̂45
L̂46
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
i(u1 ∂2 − u2 ∂1 − u3∂4 + u4 ∂3 )/2,
i(u1 ∂3 + u2 ∂4 − u3 ∂1 − u4 ∂2 )/2,
−(u1 u3 + u2 u4 ) + (∂1 ∂3 + ∂2 ∂4 )/4,
(u1 u3 + u2 u4 ) + (∂1 ∂3 + ∂2 ∂4 )/4,
−i(u1 ∂3 + u2 ∂4 + u3 ∂1 + u4 ∂2 )/2,
i(u1 ∂4 − u2 ∂3 + u3 ∂2 − u4 ∂1 )/2,
−(u1 u4 − u2 u3 ) + (∂1 ∂4 − ∂2 ∂3 )/4,
(u1 u4 + u2 u3 ) + (∂1 ∂4 − ∂2 ∂3 )/4,
−i(u1 ∂4 − u2 ∂3 − u3 ∂2 + u4 ∂1 )/2,
[(u1 )2 + (u2)2 − (u3)2 − (u4)2 ]/2 + (∂12 + ∂22 − ∂32 − ∂42 )/8,
−[(u1 )2 + (u2 )2 − (u3 )2 − (u4 )2 ]/2 + (∂12 + ∂22 − ∂32 − ∂42 )/8,
−i(u1 ∂1 + u2 ∂2 − u3 ∂3 − u4 ∂4 )/2,
−i(u1 ∂1 + u2 ∂2 + u3 ∂3 + u4 ∂4 + 2)/2,
−(uµ )2 /2 − ∂µ2 /8,
L̂56 = (uµ )2 /2 − ∂µ2 /8.
(13A.12)
Mit diesen Operatoren läßt sich die Schrödingergleichung (10.162) in natürlichen
Einheiten, in denen h̄ = 1, M = 1, e2 = 1 und µ = 4 sind, als
1
(L56 + L46 ) − E(L56 − L46 ) − 1 = 0
2
(13A.13)
schreiben und mit Hilfe einer Gruppenoperation auf die Form
h
i
eϑ eiϑL45 L56 e−iϑL45 − 1 ψ = 0,
(13A.14)
bringen, wenn man den Tiltwinkel ϑ = (1/2) log(−2E) wählt. Dies rechnet man
leicht wie in (1.267) mit Hilfe der Lieschen Reihe nach. Lösungen sind die getilteten
Eigenzuständen eiϑL45 |ni von L56 mit ϑ = ϑn = − log n. Daraus folgen die Energien
En = −1/2n2 . Da E in (10A.13) von einem Faktor L46 − L56 begleitet ist, lautet
das physikalische Skalarprodukt
H
′s
s
hψ ′H
n′ |ψn iH = hψ n′ |(L̂56 − L̂46 )|ψn i = δn′ ,n ,
(13A.15)
334
13 Pfadintegral des Coulomb-Systems
und die orthonormalen Coulomb-Wellenfunktionen haben die Gestalt ψnH (x) =
√
√
√
1/ neiϑn D̂ ψns (uµ ) = 1/ nψns (uµ / n).
Das Skalarprodukt (10A.15) stimmt mit (10.164) und dem in Abschnitt 11.4 für
einen Raum mit Torsion abgeleiteten Skalarprodukt (11.97) überein.
Mit dem physikalischen Skalarprodukt und den Identifikationen (10A.5) können
wir die Matrixelemente des Dipoloperators xi und des Impulsoperators −i∂xi
berechnen, indem wir nur Operationen innerhalb der Lie-Algebra der Gruppe O(4, 2)
durchführen. Deshalb heißt O(4, 2) die dynamische Gruppe des Coulomb-Systems.15
Der Vollständigkeit halber wollen wir noch die Beziehung zwischen den
physikalischen Zuständen in der Oszillatorbasis |n1 n2 miH und den üblichen
Eigenzuständen mit festem Drehimpuls |nlmi aus (10.215) erwähnen. Letztere sind
gegeben durch die folgende Linearkombination:
√
X
2l + 1
|nlmi = (−)m
n1 +n2 +m=(n−1)/2
×
1
(n − 1)
2
1
(n2 − n1
2
+ m)
1
(n − 1)
2
1
(n1 − n2
2
l
+ m) −m
!
|n1 n2 mi.
(13A.16)
Die Koeffizienten sind die Wignerschen 3j-Symbole.16
Literaturhinweise
Die historische Entwicklung der Lösung des Pfadintegrals wurde bereits im Vorwort
skizziert. Siehe auch
P. Kustaanheimo und E.Stiefel, J. Reine, Angew. Math. 218, 204 (1965),
E. Stiefel und G. Scheifele, Linear and Regular Celestial Mechanics, Springer, Berlin,
1971.
In der Schrödingerschen Quantenmechanik wurde eine analoge Transformation in
E. Schrödinger, Proc. R. Irish Acad. 46 , 183 (1941)
eingeführt. Siehe auch
L. Infeld and T.E. Hull, Rev. Mod. Phys. 23, 21 (1951).
Von den vielen Anwendungen auf die Schrödingergleichung siehe
M. Boiteux, Physica 65, 381 (1973);
A.O. Barut, C.K.E. Schneider und R. Wilson, J. Math. Phys. 20, 2244 (1979);
J. Kennedy, Proc. R. Irish Acad. A 82, 1 (1982);
F.H.J. Cornish, J. Phys. A 17, 323, 2191 (1984).
S.M. Blinder, Phys. Rev. A 43, 13 (1993)
Letztere Arbeit gibt eine Darstellung der Zeittranslationsamplitude des Coulomb
Systems als unendliche Reihe, die nicht einfacher als die bekannte SpektraldarstelP
lung n ψn (xb )ψn∗ (xb )e−iEn (tb −ta )/h̄ ist.
15
Siehe Fußnote 7.
Siehe A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press,
1960.
16
Literaturhinweise
Eine frühe Arbeiten am Pfadintegral des Coulombproblems ist
M.J. Goovaerts, J.T. Devreese, J. Math. Phys. 13, 1070 (1972).
335