Nr.3-SS2016-Symmetrie usw.

Nr.3- 24.4.2016
1
Klasse 10 – Graphen von ganzrationalen
Funktionen skizzieren
Ausgangslage – Vorwissen
Die SuS kennen Grundfunktionen und ihre Graphen:
1
1
f(x) = x²; x³; x⁴
f(x) = x ; x 2
f(x) = x
Die SuS kennen bei Grundfunktionen folgende Veränderungen:
g(x) = a∙f(x)
h(x) = f(x−b)
Der Graph von f wird mit dem Faktor a in yRichtung gestreckt
Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben
j(x) = f(x) + c
Der Graph von f wird um c in y-Richtung verschoben
2
Aufgaben dazu - Begründen
12 Skizzieren Sie den Graphen von f.
2
a) f(x) = 0,5(x-2) +1
3
b) f(x) = -(x-3) – 3
c) f(x) = −
3
x
−2
d) f(x) = 2 x + 4 -1
3
Zusammengesetzte Funktionen
Übergeordnete Idee: Zu Funktionen g und h werden neue
Funktionen definiert:
a) f = g+h, mit f(x) = g(x) + h(x) ; Summe
b) f = g-h, mit f(x) = g(x) - h(x) ; Differenz
c) f = g∙h, mit f(x) = g(x) ∙ h(x) ; Produkt
d) f = g:h, mit f(x) = g(x) : h(x) ; QuoAent; h(x)≠0
Das ergibt zunächst ein unüberschaubares Durcheinander
von Funktionen.
Frage: Kann man Eigenschaften von f und g auf
Eigenschaften der zusammengesetzten Funktion schließen?
Z.B. Nullstellen, Graph, Ableitung, . . . . .
4
In Klasse 10: Ganzrationale Funktionen
Definition: Eine Funktion der Form
f(x) =
a n x n + a n −1x n −1 + . . . + a1x1 + a 0 ; a i ∈ R a n ≠ 0; n ∈ N
heißt ganzrationale Funktion (Polynomfunktion)
Didaktik
• Motivation der Definition? Was ist der Sinn?
• Wie erarbeitet man diese abstrakte Definition?
z.B. 6x²; -3x; 2 zusammengesetzt zu 6x² - 3x + 2
= 6x² + (-3x¹)+2x°
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Ganzrationale Funktionen – Programm
Vor der Einführung der Ableitung wird untersucht:
•
Symmetrie
•
Verhalten für x gegen ±∞; Asymptoten
• Nullstellen
Ziel: Die Graphen ganzrationaler Funktionen sollen ohne
Ableitung mit wenig Aufwand skizziert werden.
Wenn die Ableitung eingeführt ist zusätzlich
•
Monotonie und Hoch-Tief-Wendepunkte
6
Symmetrie - Hinführung
Vorwissen der Schüler: Ist der Graph symmetrisch?
Achsen– und Punktsymmetrie sind aus der Geometrie
bekannt.
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Symmetrie - Hinführung
Didaktik: Was ist neu?
Es geht um die Beschreibung der Symmetrie eines Graphen
mithilfe einer funktionalen Beschreibung.
Welche funktionale Beschreibung passt zu welcher
Symmetrie?
Für alle x aus R bzw. für alle h aus R gilt:
a) f(-x) = f(x)
b) f(-x) = -f(x)
c) f(x0+h) = f(x0-h)
d) f(x0+h) + f(x0-h) = 2∙f(x0)
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Symmetrie eines Graphen - Definition oder Satz
Definition oder Satz?
Der Graph einer Funktion f heißt / ist achsensymmetrisch
zur y-Achse genau dann, wenn f(x) = f(-x) für alle x ∈D gilt.
Der Graph einer Funktion f heißt / ist punktsymmetrisch zum
Ursprung genau dann, wenn f(-x) = -f(x) für alle x∈ D gilt.
Ergebnis: ?
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Symmetrie – Funktionale Bedingung als Satz
Satz 1a: Der Graph einer Funktion f ist achsensymmetrisch zur
y-Achse genau dann, wenn f(-x) = f(x) für alle x aus D gilt.
Satz 1b: Der Graph einer Funktion f ist punktsymmetrisch zum
Ursprung genau dann, wenn f(-x) = -f(x) für alle x aus D gilt.
Satz 1c: Der Graph einer Funktion f ist achsensymmetrisch
zu x = a genau dann, wenn . . . . . . . . . für alle x aus D gilt.
Satz 1d: Der Graph einer Funktion f ist punktsymmetrisch zu
P(a|b) genau dann, wenn . . . . . . . . . für alle x aus D gilt.
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Symmetrie - Kriterium
Satz 2a: Der Graph einer ganzrationalen Funktion f der Form
f(x) = a n x n + a n −1x n −1 + . . . + a1x1 + a 0 ; a i ∈ R ; n ∈ N
ist achsensymmetrisch zur y-Achse genau dann, wenn alle
Hochzahlen von x gerade sind.
Beweis:
← Idee: Alle n gerade, also
(− x ) n = x n
, also f(-x) = f(x)
→ Idee (exemplarisch für Grad 2)
f(-x)=f(x), also a 2 (− x ) 2 + a1 (− x ) + a 0 = a 2 x 2 + a 1x + a 0 für alle x aus R.
Da a 2 (− x ) 2 = a 2 x 2 , gilt a1(− x ) = a1x bzw. a1x = 0 für alle x aus R.
Diese Gleichung hat für alle x aus R nur eine Lösung, a₁ = 0.
Didaktik: Beweismittel?
11
Symmetrie - Kriterium
Satz 2b: Der Graph einer ganzrationalen Funktion f in der
Form f(x) = a n x n + a n −1x n −1 + . . . + a1x1 + a 0 ; a i ∈ R ; n ∈ N
ist punktsymmetrisch zum Ursprung genau dann, wenn alle
Hochzahlen von x ungerade sind.
*Folgerung aus Satz 2a und Satz 2b:
Kommen gerade und ungerade Hochzahlen von x vor,
• Ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur y-Achse
• Ist der Graph nicht punktsymmetrisch zum Ursprung
• Aber: Der Graph kann eine andere Symmetrie zeigen
*Formal ist das Kontraposition
12
Vergleich Satz 1 – Kriterium Satz 2
Wir haben zwei Sätze zur Symmetrie
1a. Den Satz, der die Definition widerspiegelt
2a. Das Kriterium
Didaktik: Gibt es Unterschiede? Welche?
Satz 1a: Der Graph einer Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse
genau dann, wenn f(-x) = f(x) für alle x aus D gilt.
Satz 2a: Der Graph einer ganzrationalen Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse genau dann, wenn alle Hochzahlen von x
gerade sind.
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Verhalten gegen Unendlich
a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 = x 2 (a 2 +
a1 a 0
+ 2 ) → a 2x 2
x x
a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 = x 3 (a 3 +
Was sagt uns das für x→±∞?
a2
x
2
+
für
x → ±∞
a1 a 0
+ 2 ) → a 3x 3
x x
für
x → ±∞
Didaktik: Beweismittel?
Satz: Sei f ganzrational vom Grad n. Dann gilt:
f ( x ) → a n x n für x → ±∞
Aufgabe: Skizziere den Graphen von f mit f(x) = -2x⁴ +4x²
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Graphen skizzieren - Begründen
Skizziere den Graphen von
f mit f(x) = -2x⁴ +4x²
Begründungsschritte der SuS
1)
2)
3)
....
15
Nullstellen von Polynomen - Verfahren
Diese Verfahren kennen die SuS:
1) Äquivalenzumformungen von Gleichungen.
2) Quadratische Lösungsformel
3) Satz vom Nullprodukt
4) Substitution (z.B. biquadratische Gleichungen)
(5. nicht im Bildungsplan: Polynomdivision)
Siehe Übungsblatt
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Wissenschaftlicher Hintergrund – Nullstellen von
Polynomen
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten hat eine Nullstelle
in den komplexen Zahlen C.
z1, 2
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
=
6 ± − 16 6 ± 4 − 1
=
2
2
z² - 6z + 13 = 0
z₁=3+2i ; z₂=3-2i
Linearfaktorzerlegung: z² - 6z + 13 = (z-(3+2i))∙(z-(3-2i))
Es gilt auch: Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten hat eine
Nullstelle in den komplexen Zahlen C.
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Wissenschaftlicher Hintergrund – Nullstellen von
Polynomen
Satz: Ist z eine Nullstelle des Polynoms f, dann gilt
f(x) = (x-z)∙g(x), wobei Grad(g) = Grad(f) – 1
Beweis: f(x) = f(x) – f(z)
=
a n xn + a n−1xn−1 + . . . + a1x1 + a0
=
a n (xn − zn ) + a n−1(xn−1 − zn−1) + . . . + a1(x1−z1)
Vorwissen exemplarisch:
=
- ( anz
n
+ a n−1zn−1 + . . . + a1z1 + a0 )
x n − z n = ( x − z) ⋅ ( x n −1z1 + x n − 2z 2 + . . . + x1z n −1 + x1z n )
( x − z ) ⋅ [ Polynom vom Grad n − 1]
= (x-z)∙g(x), wobei Grad(g) = Grad(f) – 1
Also: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen
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Wie viele reelle Nullstellen hat ein Polynom?
•
Polynom vom Grad 1: Eine reelle Nullstelle
• Polynom vom Grad 2: Diskriminante D = b²-4ac
D>0 Zwei reelle Nullstellen
−b±
z1, 2 =
D=0 Genau eine reelle Nullstelle
D<0 Keine reelle, aber zwei komplexe Nullstellen
(konjugiert komplex)
b 2 − 4ac
2a
• Polynom vom Grad 3 = (Grad 1) ∙ (Grad 2)
Keine reelle - Eine reelle- zwei reelle- drei reelle
Polynom vom Grad 4: (Grad 2) ∙ (Grad 2)
Keine reelle - Eine reelle- zwei reelle- drei reelle – vier reelle
Didaktik: In der Schule andere Argumentation über Graphen!
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Doppelte Nullstellen (in R)
f(x) = (x-2)²∙(x²-1)
Betrachte Umgebung U von x=2,
in der f nur die NST x=2 hat, z.B.
U = (1,5; 2,5)
Dann gilt in U
f(x) = (x-2)²∙(x²-1) > 0
>0
>0
D.h. der Graph schneidet in x=2
die x-Achse nicht.
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Schulaufgabe
Beschreiben Sie, wie sich die Graphen der Funktionen f, g, h
und i unterscheiden.
f(x) = x.(x+2)
g(x) = x.(x+2)2
h(x) = x.(x+2)3
i(x) = x.(x+2)4
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Doppelte Nullstellen (in R)
Allgemein gilt: Falls für f gilt f(x) = (x-z)²∙g(x) und g(z)≠0,
dann heißt z heißt doppelte Nullstelle von f.
Auf Übungsblatt zu zeigen:
z ist doppelte Nullstelle von f ⇔ f(a) = f´(a) = 0 und f´´(a) ≠ 0
d.h Der Graph von f hat an der Stelle a eine
Extremstelle
d.h Der Graph von f berührt die x-Achse an
der Stelle a
22
Roter Faden weiter . . . .
Graphen von trigonometrischen Funktionen skizzieren
Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen skizzieren