KOORDINATENSYSTEME – Geodätische Grundlagen

1
KOORDINATENSYSTEME
– Geodätische Grundlagen –
Vorlesung für Master Geoinformation
Wilfried Korth
Stand: 9. Oktober 2009
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
1 BEGRIFFSBESTIMMUNGEN
5
2 GRUNDLEGENDE KOORDINATENSYSTEME
6
2.1
Kartesisches 3D-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Polares 3D-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Ellipsoidisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Verschiedene Breiten und Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Beispiele für Koordinatenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 GRUNDBEZIEHUNGEN FÜR DAS ROTATIONSELLIPSOID
7
3.1
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Hilfsgrößen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3
Krümmungsverhältnisse auf dem Rotationsellipsoid . . . . . . . . . . . .
9
3.4
Koordinatenrechnung für einen Punkt P
. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 MERIDIAN- UND PARALLELKREISBÖGEN
11
4.1
Meridianbogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2
Parallelkreisbogenstück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 GEODÄTISCHE LINIE
5.1
13
Gleichung der geodätischen Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 OBERFLÄCHENKOORDINATENSYSTEME
15
6.1
Ellipsoidische Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2
Rechtwinklige ellipsoidische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 GAUSS-KRÜGER-ABBILDUNG
17
7.1
Geometrische Veranschaulichung der GKK . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2
Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.3
Theorie der konformen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.4
Konforme Abbildung für das Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4.1
Einführung isometrischer Koordinaten für das Ellipsoid . . . . . . 20
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
INHALTSVERZEICHNIS
7.5
7.6
3
7.4.2
Berechnung von GK-Koordinaten aus B & L . . . . . . . . . . . 21
7.4.3
Umkehrung: Berechnung von B & L aus GK-Koordinaten . . . . 21
Reduktionsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.5.1
Meridiankonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.5.2
Vergrößerungsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.5.3
Reduktion von Strecken Richtungen und Flächen . . . . . . . . . 23
Streifentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 ÜBERBLICK ÜBER WEITERE ABBILDUNGEN
25
8.1
Mercatorabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.2
Transversale Mercatorabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.3
Schräge Mercatorabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.4
Lambertsche Kegelabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.5
Azimutale Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.6
Parameter einiger Rotationsellipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
9.1
9.2
9.3
Allgemeines
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.1.1
Beispiele für Koordinatenumformungen . . . . . . . . . . . . . . 29
9.1.2
Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Helmerttransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9.2.1
Systematisierung von Transformationen (2D) . . . . . . . . . . . 30
9.2.2
Transformationsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.2.3
Möglichkeiten der Parametriesierung verschiedener 2-DTransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2.4
Parametrisierung und Ausgleichungsmodell für die 3-DTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2.5
Genauigkeitsbewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2.6
Zuverlässigkeitsbewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.2.7
Interpretation der Transformationsergebnisse . . . . . . . . . . . 35
Regeln“ für die praktische Nutzung von Transformationen . . . . . . . . 36
”
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
INHALTSVERZEICHNIS
4
EINFÜHRUNG
• Informationen in geodätischen, kartographischen
Produkten liegen normalerweise georeferenziert vor.
oder
GIS-
• Georeferenzierung bedeutet, daß einzelnen Punkten Koordinaten zugewiesen sind bzw. werden können.
• Das Referenz bzw. Bezugssystem kann sich dabei für einzelne Produkte erheblich unterscheiden:
– globale Bezugssysteme, die mit Satellitenverfahren (z.B. GPS)
realisiert werden können
WGS 84, GRS 80, ITRF, . . .
– regionale Referenzsysteme für einzelne Länder (oder Erdteile)
DHDN (Deutsches Hauptdreiecksnetz), System 42/83 (früher
Osteuropa), . . .
• Es können verschiedenste Koordinatansysteme (Abbildungsvorschriften) verwendet werden
• Zu jeder Koordinatenangabe ist daher auch die Kenntnis von Referenzsystem und Koordinatensystem notwendig.
• Auf Karten der deutschen Landesvermessung sind z.B. derartige Angaben in der Legende enthalten.
Der nachfolgende Stoff soll einerseits den richtigen Umgang mit Koordinaten und Referenzsystemen ermöglichen, andererseits sollen die
wichtigsten Grundlagen der ellipsoidischen Geodäsie, soweit sie für die
Nutzung in Kartographie und GIS Bedeutung haben, behandelt werden.
Es werden Grundlagen zu verschiedenen Abbildungen des Ellipsoids in die
Ebene (Gauß-Krüger-Koordinaten, UTM) und zu Umformungen zwischen
verschiedenen Koordinatensystemen sowie Transformationen zwischen
Bezugssystemen dargestellt.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
1 BEGRIFFSBESTIMMUNGEN
1
5
BEGRIFFSBESTIMMUNGEN
• Bezugssystem / Referenzsystem
Physikalisch definiertes grundlegendes Bestimmungssystem. Zur Erfassung,
Speicherung, Darstellung und Nutzung von topographischen Sachverhalten in
Verbindung mit thematischen Informationen auf, unter oder über der Erdoberfläche wird es als Ordnungssystem benötigt. Es gestattet die gegenseitige
räumliche Zuordnung von Informationen zueinander.
(a, b, α, Maßstab, GM, ω, . . .)
z.B. GRS 80
Die praktische Realisierung erfolgt durch die Festlegung der Koordinaten von
(vermarkten) Punkten.
(engl.: reference system [Definition]
bzw. referenz frame [Realisierung])
• Koordinatensystem
Mathematische Abbildungsvorschrift zur Beschreibung der Lage von Punkten im
Raum.
Jedes Bezugssystem kann in unendlich viele krummlinige Koordinatensysteme abgebildet werden.
Innerhalb eines Bezugssystems kann zwischen verschiedenen Koordinatensystemen
beliebig umgerechnet werden
(⇒ Koordinatenumformung)
Punkte eines Festpunktfeldes, die ein bestimmtes Referenzsystem realisieren, werden in ein Koordinatensystem abgebildet.
• Geodätisches Datum
Positionierung und Orientierung eines geodätischen Festpunktfeldes (und damit
der Realisierung eines Bezugssystems) im Raum.
Es sind sieben Parameter erforderlich:
X0 , α, β, γ, Maßstab
Beispiele für Datumsbezeichnungen:
Datum Rauenberg (Bessel)
(= Potsdam Datum)
Datum Pulkowo (Krassowski)
• Koordinatentransformation
Umrechnung von Punktkoordinaten von einem Bezugssystem in ein anderes.
• Koordinatenumformung
Umrechnung von Punktkoordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes
innerhalb eines Bezugssystems mittels a-priori per Definition bekannter Beziehungen und Formeln.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
2 GRUNDLEGENDE KOORDINATENSYSTEME
2
2.1
6
GRUNDLEGENDE KOORDINATENSYSTEME
Kartesisches 3D-System
Z
r
P
Kartesische Koordinaten eines Punktes P :
P (x, y, z)
Y
X
Abb.: Kartesische
Koordinaten.
2.2
und
Polares 3D-System
Kugelkoordinaten eines Punktes P :
P (ϕ, λ, r)
2.3
Ellipsoidisches Koordinatensystem
Ellipsoidische (oder geodätische) Koordinaten eines Punktes P :
P (B, L, H)
Die ellipsoidische Breite B ist der Winkel
zwischen Ellipsoidnormale in P und Äquatorebene.
Die ellipsoidische Länge L ist der Winkel
zwischen Nullmeridian und Meridian von P
Die ellipsoidische Höhe ist der metrische Abstand des Punktes P von der Ellipsoidoberfläche (P ) entlang der Ellipsoidnormalen.
Die Ellipsoidnormale in P enthält i.a. nicht
den Ellipsoidmittelpunkt! (Ausnahmen: Pole
und Äquator)
Ellipsoidnormalen sind i.a. windschief zueinander.
H
P
P
P’
B
L
P
Abb.: Ellipsoidische Koordinaten.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
polare
3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID
2.4
Verschiedene Breiten und Längen
ellipsoidische Koordinaten
B, L, H
astronomische Koordinaten
Φ, Λ
Kugelkoordinaten
ϕ, λ
2.5
7
sind i.a. nicht direkt meßbar
(Ausnahme: GPS)
astronomisch bestimmbar
(B = Φ, L = Λ)
Beispiele für Koordinatenumformungen
• Umformung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten
P (x, y, z)
⇐⇒
P (φ, λ, r)
r = (x2 + y 2 + z 2 )
tan ϕ = √ 2z 2
x = r cos ϕ cos λ
y = r cos ϕ sin λ
z = r sin λ
x +y
tan λ = y/x
• Umformung zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten
P (x, y, z)
⇐⇒
P (B, L, H)
• Umformung zwischen ellipsoidischen und Gauß-Krüger-Koordinaten
P (B, L, H)
3
3.1
⇐⇒
P (Ho , Re , H)
GRUNDBEZIEHUNGEN FÜR DAS ROTATIONSELLIPSOID
Geometrie
Es werden in diesem Abschnitt keine vollsändigen Ableitungen geliefert. Z.T. erfolgen
nur Mitteilung und Definition von Zusammenhängen und Beziehungen.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID
8
Z
P
a
b
c
a
A’
K2
M
F’
A X
F
f
c1
K1
P’
Abb.: Geometrische Grundbeziehungen der Ellipse.
Beziehung für die Ellipse
(bzw. das Ellipsoid)
Beziehung für den Kreis
(bzw. die Kugel)
Hauptgrößen (Halbachsen)
a und b
r
Gleichung (Ellipse)
x2
a2
+
z2
b2
Gleichung (Ellipsoid)
x2
a2
+
y2 z2
a 2 b2
wenn a ∼ b → Formparameter α =
x2 + z 2 = r 2
=1
x2 + y 2 + z 2 = r 2
=1
a−b
a
√
a2 − b 2
lineare Exzentrizität
f=
1. numerische Exzentrizität
e = f /a
e2 =
2. numerische Exzentrizität
e = f /b
e2 =
Polkrümmungsradius
c = P K1 = a2 /b
Äquatorkrümmungsradius
c1 = AK2 = b2 /a
a2 −b2
a2
a2 −b2
b2
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID
3.2
9
Hilfsgrößen und Funktionen
Die nachfolgenden Hilfsgrößen und Funktionen sind für die spätere Vereinfachung bzw.
(Verkürzung) von Ableitungen und Reihenentwichlungen sinnvoll.
W 2 = 1 − e2 sin2 B
V 2 = 1 + e2 cos2 B
aW = bV
Eine geometrische Veranschaulichung von W und V ist möglich, an dieser Stelle wird
aber darauf verzichtet (⇒ Literatur).
η = e cos B
3.3
t = tan B
m=
a2 − b 2
a2 + b 2
n=
a−b
a+b
Krümmungsverhältnisse auf dem Rotationsellipsoid
N E: Normalschnittebenen in P
NE1
Krümmungen der Normalschnitte k1
und k2 :
P
1/R1
k2
k1
1/R2
R1 und R2 sind die entsprechenden
Krümmungsradien.
NE2
n
Abb.: Ellipsoidsegment mit zwei Normalschnitten k1 und k2 in P .
Die Extremwerte für k nennt man
Hauptkrümmungen.
(⇒ Normalschnitte heißen dann Hauptschnitte)
Zusammengehörige
Hauptschnitte
schneiden sich orthogonal.
Für Krümmungslinien schneiden sich die Ellipsoidnormalen (nicht windschief).
Hauptkrümmungen für das Ellipsoid:
Meridiankrümmung
Querkrümmung
⇒
⇒
Meridiankrümmungsradius M
Querkrümmungsradius N
M = Rmin
N = Rmax
An den Polen gilt: M = N ⇒ Nabelpunkt“
”
Krümmung im Azimut A
kA = 1/RA
Satz von Euler
kA =
RA =
Gaußsche Krümmung (Totalkrümmung)
Gaußsche Schmiegungskugel
sin2 A
N
MN
N cos2 A+M sin2 A
cos2 A
M
+
√
kT = 1/ M N
√
R = MN
RT =
√
MN
Der Radius der Gaußschen Schmiegungskugel ist der Mittelwert sämtlicher Normalschnittkrümmungsradien in einem Punkt P . Damit ist diese Kugel für sphärische
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
3 GRUNDBEZIEHUNGEN FUR DAS ROTATIONSELLIPSOID
10
Approximationen in P geeignet.
Berechnung von M und N :
M=
3.4
c
a
= 3 (1 − e2 )
3
V
W
N=
a
c
=
W
V
N
=V2
M
Koordinatenrechnung für einen Punkt P
Umformung zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten
P (x, y, z)
⇐⇒
P (B, L, H)
Z
Z
P
L
r
N+
H
P
B
Y
Y
X
X
Ellipsoid:
Kugel zum Vergleich:
X = (N + H) cos B cos L
Y = (N + H) cos B sin L
Z = [N (1 − e2 ) + H] sin B
X = r cos ϕ cos λ
Y = r cos ϕ sin λ
Z = r sin ϕ
Inverse Lösung, Umrechnung von kartesischen in ellipsoidische Koordinaten:
Berechnung der ellipsoidischen Länge nach:
L = arctan
Y
X
Die ellipsoidische Höhe ergibt (nach Berechnung von B) sich aus:
√ 2
x + y2
X
H=
−N
oder
H=
−N
cos B cos L
cos B
Ableitung für die Breite:
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
4 MERIDIAN- UND PARALLELKREISBOGEN
√
X 2 + Y 2 = (N + H)2 cos2 B
X 2 + Y 2 = (N + H) cos B
11
cos2 L + sin2 L = 1
da
[N (1 − e2 ) + H] sin B
(N + H) sin B − N e2 sin B
(N + H) cos B tan B − N e2 sin B
√
X 2 +Y 2 tan B − N e2sin B
Z + N e2 sin B
√
B = arctan
X2 + Y 2
Z =
=
=
Z =
Das Ergebnis ist eine nichtlineare ellipsoidische Gleichung für B. Eine Lösung ist durch
Iteration möglich, wobei als Startwert die sphärische Näherung B0 ausreicht:
Z + e2 Ni sin Bi
√
X2 + Y 2
Z
= arctan √ 2
X +Y2
Bi+1 = arctan
B0
4
4.1
i = 0, 1, 2, . . .
MERIDIAN- UND PARALLELKREISBÖGEN
Meridianbogenlänge
dG = M db
GB =
B
0
M db
= a(1 − e2 )
G
B
dG
= a(1 − e2 )
M
M=
B
dB
0
B
0
a
(1 − e2 )
W3
W3
3
(1 − e2 sin2 B)− 2 dB
B
dB
elliptisches Integral −→ nicht analytisch lösbar
Lösungsmöglichkeitenl:
• numerische Integration
Abb.: Meridianbogen GB
• Reihenentwicklung und gliedweise Integration
Die Reihenentwicklung des Integranden liefert (B in rad):
2
GB = a(1 − e )
B
0
3
15
1 + e2 sin2 B + e4 sin4 B + . . . dB
2
18
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
4 MERIDIAN- UND PARALLELKREISBOGEN
12
GB = A1 B + A2 sin 2B + A3 sin 4B + A4 sin 6B + . . .
mit den Koeffizienten (c–Polkrümmungsradius):
A1
3
45
175 6 11025 8 43659 10
= c · 1 − e2 + e4 −
e +
e −
e + ...
4
64
256
16384
65536
A2
3
15
525 6 2205 8
72765 10
= c · − e2 + e4 −
e +
e −
e + ...
8
32
1024
4096
131072
A3 = c ·
105 6
2205 8 10395 10
15 4
e −
e +
e −
e + ...
256
1024
16384
65536
A4 = c · −
35 6
315 8
31185 10
e +
e −
e + ...
3072
12288
786432
A5
3465 10
315 8
= c·
e −
e + ...
131072
524288
A6
693
= c· −
e10 + . . .
1310720
Umgekehrte Entwicklung: gegeben GB , gesucht B
Länge eines Meridianquadranten:
1
1
π
1
a·
(1 + n2 + n4 + . . .)
2
1+n
4
64
und daraus die mittlere Länge eines Meridianradianten“:
”
a
1
1
(1 + n2 + n4 + . . .)
Grad =
1+n
4
64
G π2 =
mit der Beziehung σ =
gen G zu:
G
Grad
ergibt sich die Breite B aus einem gegebenen Meridianbo-
21
151 3
3
9
B = σ + (n − n3 ) sin 2σ + n2 sin 4σ +
n sin 6σ + . . .
2
16
16
96
Die Reihenentwicklungen konvergieren für ein Rotationsellipsoid mit α ∼ 1/300 sehr
schnell.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
5 GEODATISCHE LINIE
4.2
13
Parallelkreisbogenstück
PB = N cos B
PB
N
p12 ist Parallelkreisbogenstück zwischen den
Meridianen L1 und L2
B
p12 = N cos B(L2 − L1 ) = N cos Bl
(Winkel in Bogenmaß)
5
GEODÄTISCHE LINIE
Was ist eine geodätische Linie?
• Kurvenhauptnormale fällt in jedem Punkt mit der Flächennormale zusammen
• Schmiegungsebene der Kurve enthält stets Flächennormale
• geodätische Krümmung (Tangentialkrümmung) ist Null
n
t
{t, n} – Schmiegungsebene
b
{n, b} – Normalebene
{t, b} – rektifizierende Ebene (Streckebene)
Abb.: Kurvenbegleitendes Dreibein
Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist stets eine geodätische Linie.
Aber nicht jede geodätische Linie ist zwingend die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Z.B.
ist auf der Kugel der Großkreis eine geodätische Linie. Es gibt zwischen zwei Punkten auf der Kugel
immer zwei Verbindungslinien (Großkreisbogenstücken).
Beispiele:
Ebene
Kugel
⇒
⇒
Gerade zwischen zwei Punkten
Großkreis zwischen zwei Punkten
Meridiane sind g.L.
Parallelkreise sind keine g.L.
Auf allen Rotationskörpern sind die Meridiane geodätische Linien.
Die Geodätische Linie zwischen zwei Punkten auf dem Rotationsellipsoid fällt i.a. nicht
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
5 GEODATISCHE LINIE
14
mit den Normalschnitten zusammen.
P2
P2
21
S
M
P1
N1
N2
Äqu
ato
A21
r
S
A12
12
P1
Abb.: Geodätische Linie S und Normalschnitte n12 und n12 auf dem Ellipsoid.
E – Normalschnittebenen
E12 := P1 N1 P2
=⇒
n12
E21 := P2 N2 P1
=⇒
n21
Normalschnitte liefern keine eindeutigen Figuren (z.B. bei Dreiecksnetzen). Daher ist
Reduktion der Normalschnitte auf die geodätische Linie erforderlich.
Die beiden Winkel δ12 und δ21 sind sehr kleine Korrektionen.
5.1
Gleichung der geodätischen Linie
Einführung von allgemeinen Oberflächenkoordinaten u, v (Gauß).
1. Grundform (metrische Fundamentalform):
ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
v=const
u+du
v+dv
ds
bei orthogonalem Parameterkurvennetz
wird F = 0
du
ds2 = Edu2 + Gdv 2
u=const
u,v
dv
Übergang u −→ B und v −→ L:
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
6 OBERFLACHENKOORDINATENSYSTEME
15
ds2 = M 2 db2 + N 2 cos2 BdL2
√
√
⇒
E=M
G = N cos B
B
ds
Differentialgleichung der geodätischen Linie auf dem
Ellipsoid:
MdB
dB
ds
A
L
=
cos A
M
dL
ds
=
sin A
N cos B
(Mitteilung ohne Ableitung)
NcosBdL
dA
ds
=
tan B
N
sin A
Wegen Vollständigkeit an dieser Stelle angegeben:
Satz von Clairaut (gilt für alle Rotationsflächen)
p sin A = const
Das Produkt aus Parallelkreisradius und Sinus des Azimutes ist für die geodätische Linie
eine Konstante.
6
OBERFLÄCHENKOORDINATENSYSTEME
6.1
Ellipsoidische Polarkoordinaten
P
d s'
Koordinaten:
P'
A – Azimut
s – geodätischer Radius (geod. Linie)
ds
s
A
Koordinatenlinien:
mdA
O
Abb.: Ellipsoidische Polarkoordinaten
geodätische Linien durch O
geodätische Kreise (i.a. keine geodätischen Linien)
1. Grundform:
ds2 = Eds2 + GdA2
= ds2 + m2 dA2
√
E=1
√
G=m
m ist die sog. reduzierte Länge der geodätischen Linie.
s2
m=s 1−
(1 + η02 ) + · · ·
6N02
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
6 OBERFLACHENKOORDINATENSYSTEME
6.2
16
Rechtwinklige ellipsoidische Koordinaten
Soldnersche Koordinaten (Johann Georg von Soldner, 1776–1833)
dy
X
ndx
ds
P
Koordinatenursprung:
O → TP 1. Ordnung
X-Achse:
Meridian durch O
Koordinatenlinien:
O
Abb.: Rechtwinklige ellipsoidische
Koordinaten
Normalen zum Grundmeridian −→ geodätische
Linien
geodätische Parallelen (keine geodätischen Linien)
1. Grundform:
ds2 = Edx2 + Gdy 2
= n2 dx2 + dy 2
√
E=n
√
G=1
n – Verjüngungsfaktor der geodätischen Parallelen
n∼1−
y2
2N02
Bei y = 50km wird n = 1 − 0, 00003, d.h. bei Δx = 1km −→ 3cm Verzerrung.
Verwendung:
ältere Katastersysteme
Katastersystem Berlin
amtliches Landessystem in Baden-Würtemberg vor 1990
Formeln zur Berechnung von x, y aus B, L z.B. in:
W. Großmann: Geodätische Rechnungen und Abbildungen in der Landesvermessung.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
7
7.1
17
GAUSS-KRÜGER-ABBILDUNG
Geometrische
Veranschaulichung
Koordinaten (GKK)
der
Gauß-Krüger-
PN
3˚(6˚)
• querachsiger elliptischer Zylinder (Meridinaellipse)
• Mittelmeridian (Berührungsmeridian) wird längentreu
abgebildet
−→ X-Achse
PS
Koordinatenursprung
Abb.: Prinzip der GK-Abbildung
Als Koordinaten werden Hochwert und Rechtswert bezüglich des Ursprungs eingeführt.
Zum Rechtswert werden 500 km addiert, um negative Koordinaten zu vermeiden. Bei
Punkten auf der Südhalbkugel werden aus gleichem Grund zusätzlich 10000 oder
20000 km zum Hochwert addiert.
Die Gesamtfläche des Ellipsoides wird in mehrere 3◦ oder 6◦ breite Streifen abgebildet,
die mittels einer Streifenkennzahl unterschieden werden, die dem Rechtswert vorangestellt wird.
Mittelmeridian
Streifenkennziffer z
z = 1/3 L0
L0 = 0◦
0
3◦
1
6◦
2
9◦
3
12◦
4
15◦
5
Bildung der Streifenkennziffern für das 3◦ -System
Mittelmeridian
Streifenkennziffer z
z = 1/6 (L0 + 3◦ )
L0 = 3◦
0
9◦
1
15◦
2
21◦
3
27◦
4
33◦
5
Bildung der Streifenkennziffern für das 6◦ -System
Geschichtliches:
1816–1820 Gauß,
1866
Schreiber
1912
Krüger
theoretische Arbeiten
Weiterentwicklung für Belange der Praxis
Weiterentwicklung für Belange der Praxis
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
7.2
18
Allgemeine Vorbemerkungen
Welche Abbildung des Ellipsoids in die Ebene ist zweckmäßig?
=⇒ KONFORME ABBILDUNG
konform heißt: winkeltreu im Differentiellen
d.h. es treten keine Winkelverzerrungen auf
aber dafür:
Streckenverzerrungen
Flächenverzerrungen
Richtungsverzerrungen
A
S
ian
rid
Me
P1
es
d d urch
d
X
P2
Bil
l1
s
P1
P3
P2
t
T
A'
P1
’
s
P3
˜quator
L0
Ellipsoid
Y
L1
GK-Ebene
Abb.: Geometrische Zusammnehänge auf der Ellipsoidoberfläche und in der GaußKrüger-Ebene.
7.3
Richtungsverzerrung:
dA = A − A = fr (B, l, A)
Streckenverzerrung:
m=
Flächenverzerrung:
ΔF = F − F = fF (B, l, A(F orm) )
Meridiankonvergenz:
c = A − T
Richtungskorrektion:
δ =T −t
ds
dS
= fs (B, l, A)
Theorie der konformen Abbildung
Ausgangspunkt ist die 1. Grundform der Flächentheorie auf den beiden Flächen Urbild
und Abbild:
Urbild:
ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
Abbild:
ds̄2 = Ēdū2 + 2F̄ dūdv̄ + Ḡdv̄ 2
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
19
Konformität heißt:
E : F : G = Ē : F̄ : Ḡ
bei Orthogonalität der Parameterlinien wird:
F = F̄ = 0
=⇒
E : G = Ē : Ḡ
bei isometrischen Koordinaten gilt außerdem:
E=G
und
Ē = Ḡ
u und v sind dann isometrische (oder isothermische) Flächenparameter.
v=const
v+dv=const
v+2dv=const
u+2du=const
u+du=const
Bem.: Isometrische Parameter treten häufig in der Theorie der
Wärmeleitung auf und werden daher auch als isothermische
Parameter bezeichnet
=⇒ ISOTHERMISCHE KOORDINATEN
ds2 = Edu2 + Gdv 2
u=const
Abb.: Parameterliniennetz
da E = G kann man auch schreiben:
ds2 = λ2 (du2 + dv 2 )
Wenn keine isometrischen Koordinaten vorliegen, ist E = G. Eine Überführung in
isometrischen Koordinaten ist jedoch möglich, wobei für eine der beiden Koordinatenrichtungen dieser Übergang erfolgen muß:
mit
λ2 = G
−→
dū2 =
E 2
du
G
Wofür sind isometrische Koordinaten nötig?
SATZ 1:
Jede analytische Funktion einer komplexen Variablen vermittelt eine
konforme Abbildung.
SATZ 2:
Jede stetige Funktion, die zwischen isometrischen Parametern einer
Fläche und isometrischen Parametern einer anderen Fläche definiert
werden kann, ist eine analytische Funktion.
Fazit:
• Es ist eine Funktion gesucht, die zwischen B und L (B + il) einerseits und x und
y (x + iy) andererseits vermittelt.
• Da B und L wegen der ellipsoidischen Meridiankonvergenz keine isometrischen
Koordinaten sind, müssen auf dem Ellipsoid isometrische Koordinaten eingeführt
werden.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
7.4
20
Konforme Abbildung für das Ellipsoid
Abb.: Gauß-KrügerAbbildung (links) und
UTM-Abbildung
(rechts), schematisch.
7.4.1
Einführung isometrischer Koordinaten für das Ellipsoid
Die 1. Grundform in geodätischen Koordinaten lautet
ds2 = Edu2 + Gdv 2
ds2 = (M dB)2 + (N cos BdL)2
E = M2
G = N 2 cos2 B = λ2
Beim Übergang zu isometrischen Koordinaten muß gelten (mit Q – isometrische Breite):
ds2
ds2
= λ2 (dQ2 + dL2 )
M
2
2
2
= N 2 cos2 B ( N cos
)
dB
+
dL
B
Damit erhält man das Differential der isometrischen Breite
dQ =
M
dB
N cos B
und durch Integration
Q=
B
0
π B
dQ = ln tan
+
4
2
1 − e sin B
1 + e sin B
2e Abb.: Geometrische Veranschaulichung
der isometrischen Breite.
Die Parameterlinien Q = const werden
zum Pol hin immer enger, um die Konvergenz der Meridiane L = const auszugleichen.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
7.4.2
21
Berechnung von GK-Koordinaten aus B & L
Als Abbildungsgleichung wird eine analytische Funktion zwischen den komplexen Variablen
L1
L0
z = x + iy
l
und
w = Q + il
gewählt.
nst
Bf
st
connst
=
B co
Q=
y
Pf
P
P0
o
=c
z = F (w)
(l = L − L0 )
Entwicklung in eine Taylorreihe:
G
G
x
z = F (Q+il) = F0 (Q)+F0 (Q)il+F0 (Q)
B=0
O
(il)2
+. . .
2!
Für analytische Funktionen sind die Ableitungen richtungsunabhängig; deshalb kann in Meridianrichtung
(nach Q) differenziert werden.
Ä q u at o r
x + iy = G + i
d2 G l2
d3 G l3
dG
l−
−
i
+ ...
dQ
dQ2 2
dQ3 6
Trennung in Real- und Imaginärteil liefert:
x = G + a 2 l 2 + a4 l 4 + . . .
y = a1 l + a3 l 3 + a5 l 5 + . . .
mit den Koeffizienten:
a1 = N cos B
a2 = 12 tN cos2 B
a3 = 16 N cos3 B(1 − t2 + η 2 )
a4 =
a5 =
a6 =
a7 =
a8 =
1
N sin B cos3 B(5 − t2 + 9η 2 + 4η 4 )
24
1
N cos5 B(5 − 18t2 + t4 + 14η 2 − 58η 2 t2 + 13η 4 − 64η 4 t2 )
120
1
N sin B cos5 B(61 − 58t2 + t4 + 270η 2 − 330η 2 t2 )
720
1
N cos7 B(61 − 479t2 + 179t4 − t6 )
5040
1
N sin B cos7 B(1385 − 3111t2 + 543t4 − t6 )
40320
Für 3◦ -Streifen sind die Koeffizienten bis a5 l5 erforderlich und
für 6◦ -Streifen die Koeffizienten bis a8 l8 .
Die Berechnung der Meridianbogenlänge G erfolgt nach den Formeln in Abschnitt 4.1.
7.4.3
Umkehrung: Berechnung von B & L aus GK-Koordinaten
Ein inverser Ansatz liefert wie in Abschnitt 7.4.2:
B = Bf + b2 y 2 + b4 y 4 + . . .
l = b 1 y + b3 y 3 + b5 y 5 + . . .
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
22
mit den Koeffizienten:
b1 =
1
Nf cos Bf
t
b2 = − 2MffNf
1+2t2 +η 2
f
f
b3 = − 6N 3 cos
Bf
f
+ 3t2f + ηf2 − 9ηf2 t2f − 4ηf4 )
b4 =
tf
(5
24Mf Nf3
b5 =
1
(5
120Nf5 cos Bf
+ 28t2f + 24t4f + 6ηf2 + 8ηf2 t2f )
Hierbei sind alle breitenabhängigen Größen für die Fußpunktsbreite Bf zu nehmen. Bf
ist die Breite für G = x.
7.5
Reduktionsgrößen
Vereinbarungen zu den Formelzeicen in diesem Abschnitt:
Element
Srecke
Richtung
7.5.1
Ellipsoid
geodätische Linie s
Azimut A
Ebene
Gerade S
Richtungswinkel t = A − c − δr
Meridiankonvergenz
Die Ebene Meridiankonvergenz ist der Winkel
zwischen dem Abbild des Meridians und Gitternord
in einem Punkt P .
x
ian
r id
Me
tan c =
P'
c
c
dy
P
7.5.2
Eine Reihenentwicklung liefert:
dx
P"
dB
N
B
os
-M
c
dL
dx
−M dB
dQ
=
=−
dy
N cos BdL
dL
y
oder
c
= l sin B +
c
=
tf
y
Nf
−
l3
3
sin B cos2 B(1 + 3η 2 ) + . . .
tf
(1
3Nf3
+ t2f − ηf2 )y 3 + . . .
Vergrößerungsverhältnis
m2 =
dS 2
dx2 + dy 2
=
ds2
N 2 cos2 B(dQ2 + dL2 )
dS ist das differentielle Streckenelement zwischen P und P (siehe Skizze im Abschnitt
Meridiankonvergenz“).
”
dQ = 0
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
∂x
∂L
∂L
∂y
dy =
∂L
∂L
23
dx =
m2 =
=
∂x
∂L
2
+
∂y 2
∂L
dL2
N 2 cos2 BdL2
N2
1
cos2 B
⎡
2 2 ⎤
∂x
∂y ⎦
⎣
+
∂L
∂L
nach Reihenentwicklung ergibt sich :
1 + η2 2
5 − 4t2 4
l cos2 B +
l cos4 B + . . .
2
24
und nach Reihenumkehr entsprechend :
m = 1+
m = 1+
7.5.3
y2
y4
+
2M N
24N 4
Reduktion von Strecken Richtungen und Flächen
• Streckenreduktion
2
4
Δy 2
ym
ym
Δs = S − s = s
+
+
2R2 24R2 24R4
– Für Strecken mit s < 10km genügt
y2
Δs = S − s = s m2
2R
Zahlenwerte:
ym
Δs
30km
1,1cm
y2
Soldnerkoordinaten : n =
2N02
60km
4,4cm
100km
12,3cm
150km
27,8cm
200km
49,3cm
250km
77cm
• Richtungsreduktion
δ12 =
3 (x2 − x1 ) 1
ym
(y2 − y1 ) 2 2
y
−
−
y
)
−
+
η t1 ym
(y
m
2
1
2
2
2R
6
3R
R3
δ21 =
3 (x1 − x2 ) 1
ym
(y1 − y2 ) 2 2
y
−
−
y
)
−
+
η t2 ym
(y
m
1
2
2
2
2R
6
3R
R3
– Für Netzelemente mit s ≈ 10km genügt
δ12 =
(x2 − x1 ) 1
(y
y
−
−
y
)
m
2
1
2R2
6
δ21 =
(x1 − x2 ) 1
y
−
−
y
)
(y
m
1
2
2R2
6
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
7 GAUSS-KRUGER-ABBILDUNG
24
– und für Netzelemente mit s ≈ 5km genügt
δ12 = −δ21 =
(x2 − x1 )
ym
2R2
• Flächenreduktion
ΔF = F − F = −F 7.6
2
ym
R2
Streifentransformation
Streifentransformationen dürfen nur auf ein und demselben Ellipsoid durchgeführt werden. Ellipsoid- (Datums-) Übergange müssen gesondert behandelt werden (sihe Abschnitt
9)
a) Einfachste Lösung (Indirekter Weg):
Umrechnung der G.-K.-Koordinaten in geodätische Koordinaten B und L und
dann Abbildung des Punktes P (B, L) in den anderen Meridianstreifen nach den
Formeln der Abschnitte 7.4.2 und 7.4.3.
P (x, y)L01 =⇒ P (B, L) =⇒ P (x, y)L02
- relativ rechenintensiv (bei heutigen Computern kein Problem mehr)
b) Direkter (eleganter) Weg:
System I wird in System II konform abgebildet.
z = x + iy z = x + iy w = q + il
w = q + il
Für die Reihenentwicklung wird ein Hilfspunkt P0 auf dem Grenzmeridian beider
Systeme ausgewählt. Die Rechnung erfolgt mit Koordinatenunterschieden. Dadurch wird die Anzahl der zu berechnenden Glieder der Reihenentwicklungen stark
reduziert.
x = x0 + k11 Δx − k12 Δy + k21 (Δx2 − Δy 2 ) − 2k22 ΔxΔy +
+k31 (Δx3 − 3ΔxΔy 2 ) + k32 (Δy 3 − 3Δx2 Δy)
y = y0 + k12 Δx + k11 Δy + k22 (Δx2 − Δy 2 ) + 2k21 ΔxΔy +
+k32 (Δx3 − 3ΔxΔy 2 ) − k31 (Δy 3 − 3Δx2 Δy)
mit den Koeffizienten:
k11 = 1 − 2 cos2 Bt2 l2 − 23 cos4 B(2t2 − t4 )l4 + . . .
k12 = 2 cos Btl + 23 cos3 Bt(1 − 2t2 + 3η 2 )l3 + . . .
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN
25
k21 = − N3 cos2 Bt(1 + η 2 )l2 + . . .
k22 =
1
N
cos B(1 + η 2 )l −
1
cos3
6N
2 2
B(1 + 31t2 )l3 + . . .
k31 = − 3N1 2 cos2 B(3 − 4t )l + . . .
k32 = − 3N1 2 cos Bt(1 + 5η 2 )l + . . .
Alle Breitenabhängigen Größen sind für die Breite B0 des Hilfspunktes P0 zu nehmen.
l bei Korrektionsgliedern durch l0 ersetzen.
Δx = xP − xP0
Δy = yP − yP0
8
ÜBERBLICK ÜBER WEITERE ABBILDUNGEN
• Projektionen und Abbildungen vermitteln zwischen den Koordinaten auf Urbild
und Abbild
• Projektionen können sowohl geometrisch als auch in mathemetischen Zusammenhängen realisiert werden
(Projektionszentrum, Projektionsstrahlen, . . . )
Projektionen sind auch Abbildungen
• Abbildungen werden i.a. nur durch mathemetische Zusammenhänge realisiert (Abbildungsgleichungen)
8.1
Mercatorabbildung (Projektion)
P'
- konforme Zylinderprojektion
P
- Äquator längentreu
r
- Pole werden im Unendlichen abgebildet
O
- rechtwinkliges Gitter der Meridiane und Parallelkreise
• Bedeutung in Seenavigation (Seekarten)
Kurse als Geraden!
x=r tan( )
Abb.:
(Kugel))
Mercatorprojektion
Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Mercator-Ebene:
• Ellipsoidparameter (a, α)
• Zentralmeridian (Koordinatenursprung)
• Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN
8.2
(Universale)Transversale
Abbildung, UTM)
Mercatorabbildung
- konforme Abbildung mit querachsigem Zylinder
- Mittelmeridian längentreu
- für große N-S ausgedehnte Gebiete geeignet
• GKK: Australien, China, GUS, BRD, UK, Irland, Italien, Norwegen, USA (tw.), . . .
• UTM: NATO, Australien, Belgien, BRD,
Nordafrika, Ostafrika, Norwegen, . . .
Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene:
•
•
•
•
8.3
Ellipsoidparameter (a, α)
Mittelmeridian
Maßstabsfaktor (GKK: 1, UTM: 0.9996)
Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)
Schräge Mercatorabbildung
- konforme Abbildung mit schrägem(!) Zylinder
- Berührungslinie längentreu
- für entlang dieser Berührungslinie ausgedehnte
Gebiete geeignet
• Borneo, Alaska, . . .
Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene:
•
•
•
•
•
Ellipsoidparameter (a, α)
Zentralmeridian (Koordinatenursprung)
Azimut der Zentrallinie (oder zwei Punkte auf der Linie)
Maßstabsfaktor
Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
26
(GK-
8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN
8.4
27
Lambertsche Kegelabbildung
- konforme Kegelabbildung
- längentreu entlang von ein oder zwei Standardparallelen
- für O-W ausgedehnte Gebiete geeignet
• Frankreich (2Parallele), Nordafrika (1 Parallel),
Belgien, USA (Alaska, Texas; 2 Parallele) . . .
Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene:
•
•
•
•
•
8.5
Ellipsoidparameter (a, α)
Mittelbreite, Mittelmeridian
Standard (Berührungs-) parallelkreis(e)
Maßstabsfaktor
Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)
Azimutale Projektionen (i.a. nicht konform)
Z
• orthographische Projektion
(Z im Unendlichen)
Z'
• gnomonische Projektion
(Z = M im Mittelpunkt)
Z''
• stereographische Projektion
(Z im Gegenpol)
Antarktis
(ADD – Antarctic Digital Database)
Z'''
M
P
P P' P''
Notwendige Angaben für Abbildung des Ellipsoids in die Ebene:
•
•
•
•
Ellipsoidparameter (a, α)
Mittelbreite, Bezugsmeridian (Koordinatenursprung)
Maßstabsfaktor
Koordinatenzuschläge (Δx, Δy)
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
P'''
8 UBERBLICK UBER WEITERE ABBILDUNGEN
8.6
28
Parameter einiger Rotationsellipsoide
Ellipsoid
GRS-80
großse Halbachse
a = 6378137.0
kleine Halbachse
b = 6356752.31414
Abplattung
α = 298.257222101
WGS-60
a = 6378165.0
b = 6356783.28696
α = 298.3
WGS-66
a = 6378145.0
b = 6356759.76949
α = 298.25
WGS-72
a = 6378135.0
b = 6356750.52002
α = 298.26
WGS-84
a = 6378137.0
b = 6356752.31424
α = 298.257223563
Bessel
a = 6377397.155
b = 6356078.96282
α = 299.15281285
Krassowski
a = 6378245.0
b = 6356863.01877
α = 298.3
ED-50
a = 6378388.0
b = 6356911.94613
α = 297.0
International
a = 6378388.0
b = 6356911.94613
α = 297.0
NAD-83
a = 6378137.0
b = 6356752.31414
α = 298.257222101
NAD-27
a = 6378206.4
b = 6356583.8
α = 294.9786982
SAD69
a = 6378160.0
b = 6356774.71920
α = 298.25
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
9
29
DATUMSTRANSFORMATIONEN
9.1
Allgemeines
Koordinatensysteme:
•
•
•
•
•
•
Bezugssysteme:
•
•
•
kartesische Koordinaten
ellipsoidische Koordinaten
Gauß-Krüger-Koordinaten
UTM-Koordinaten
Soldner-Koordinaten
...
Potsdam-Datum
RD 83
40 83
(Bessel-Ellipsoid)
•
•
•
WGS 84, (ETRF 89)
Pulkovo-Datum
42 83
(Krassowski-Ellipsoid)
•
ED 50, (NATO)
•
◦
...
natürliche (astronomische) Koordinaten sind anholonom!
1
Zwischen verschiedenen Bezugssystemen
sind Datumstransformationen erforderlich!
Koordinatenumformungen zwischen verschiedenen Koordinatensystemen sind
streng realisierbar!
- meist nur näherungsweise über
identische (Paß-)Punkte möglich
- Transformation mit bekannter Datumsdifferenz
9.1.1
Beispiele für Koordinatenumformungen
(Siehe vorhergehende Abschnitte)
• Umformung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten
• Umformung zwischen kartesischen und ellipsoidischen Koordinaten
• Umformung zwischen ellipsoidischen und Gauß-Krüger-Koordinaten
...
1
Anholonom bedeutet, daß die geodätischen Grundaufgaben der Koordinatenrechnung nicht eindeutig analytisch lösbar sind, d.h. aus Strecke und Richtung lassen sich von einem Punkt aus z.B. nicht
die Koordinaten eines anderen bestimmen. Anholonome Systeme sind für den praktischen Gebrauch
ungeeignet.
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
9.1.2
30
Koordinatentransformationen
Problem:
In der Praxis liegen häufig Koordinaten in verschiedenen Bezugssystemen bzw. deren
Realisierungen vor!
P (X I , Y I , Z I ) ⇐= ? =⇒ P (X II , Y II , Z II )
Lösung:
Koordinatentransformationen als rechnerische Verknüpfung zwischen verschiedenen Bezugssystemen.
P (X I , Y I , Z I ) ⇐= TRANSFORMATION =⇒ P (X II , Y II , Z II )
Transformationsparameter:
a) a-priori bekannte Parameter (geodätisches Datum der Systeme bzw. Datumsdifferenzen)
b) Bestimmung mittels identischer (holonomer) Punkte als Ausgleichungsproblem
9.2
Helmerttransformation
Beschränkung auf kartesische rechtwinklige Koordinaten und Bestimmung der Transformationsparameter durch Ausgleichung.
9.2.1
Systematisierung von Transformationen (2D)
Mögliche Transformationsparameter:
• Translationen in Richtung der Koordinatenachsen
• Rotationen um die Koordinatenachsen
• Skalierungen für das Gesamtsystem oder die Achsrichtungen getrennt
• Scherungen (unterschiedliche Rotationen zwischen den entsprechenden Achsen von
Start- und Zielsystem)
Übersicht über Transformationen (2D):
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
Art der
Transformation
(Anzahl der
Parameter)
Kongruenz
(3)
Parameter
Eigenschaften
Bemerkungen
2 Translationen
1 Rotation
winkeltreu
streckentreu
Restklaffungen relativ
aussagekräftig
winkeltreu
nicht streckentreu
Interpretation der Restklaffungen schwierig
weder winkelnoch streckentreu
z.B. zur Einpassung von
maßstäblich
festliegenden Blöcken
Ähnlichkeit
(4)
2 Translationen
1 Rotation
1 Maßstab
5-Parameter
(5)
2
1
2
2
1
2
1
Affinität
(6)
31
Translationen
Rotation
Maßstäbe
Translationen
Rotation
Maßstäbe
Scherung
weder winkelnoch streckentreu
Kongruenz
Ähnlichkeit
5-Parameter
Affinität
klassische
Helmerttransformation“
”
z.B. für Transformation
zwischen Soldnerund Gauß-Krüger-Systemen
anwendbar
Abb.: Prinzipdarstellung der verschiedenen 2D-Transformationsmöglichkeiten
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
9.2.2
x'
32
Transformationsgleichungen
x"
Beispiel: Rotation um die Z-Achse um den
Winkel Θ (vgl. Abb. links).
x"P
x'P
X II = X I cos Θ + Y I sin Θ
Y II = −X I sin Θ + Y I cos Θ
Z II = Z I
P
y'
y'P
XII = R(Θ) · XI
y"
P
y"
Rotationsmatrizen R(γ) (Drehung um die Z-Achse), R(β) (Drehung um die Y-Achse)
und R(α) (Drehung um die X-Achse):
⎛
⎞
cos γ sin γ 0
⎜
⎟
R(γ) = ⎝ − sin γ cos γ 0 ⎠
0
0
1
⎛
⎞
cos β 0 − sin β
⎜
⎟
1
0
R(β) = ⎝ 0
⎠
sin β 0 cos β
⎛
⎞
1
0
0
⎜
R(α) = ⎝ 0 cos α sin α ⎟
⎠
0 − sin α cos α
und entsprechend für kleine Winkel (cos(ω) = 1 und sin(ω) = ω, mit ω = α, β, γ):
⎛
⎞
1 γ 0
⎜
R(γ) = ⎝ −γ 1 0 ⎟
⎠
0 0 1
⎛
⎞
1 0 −β
⎜
R(β) = ⎝ 0 1 0 ⎟
⎠
β 0 1
⎛
⎞
1 0 0
⎜
R(α) = ⎝ 0 1 α ⎟
⎠
0 −α 1
Eine Zusammenfassung der drei Rotationsmatrizen liefert:
⎛
⎞
1
γ −β
⎜
α ⎟
R(α)R(β)R(γ) = R = ⎝ −γ 1
⎠
β −α 1
Vollständige 3-D-Transformationsgleichung einer Ähnlichkeitstransformation:
XII = X0 + m · R(α) · R(β) · R(γ) · XI
Die Bestimmung von X0 , m, α,β und γ ist durch Ausgleichung möglich, wenn mehr
identische Punkte als notwendig vorliegen.
Bei großen Rotationsbeträgen sind Näherungswerte für die Winkel (aus Koordinaten berechenbar) und/oder ggf. eine iterative Bestimmung der Transformationsparameter erforderlich. Die Transformation von Koordinaten muß dann ohne die Näherungen cos(ω) = 1
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
33
und sin(ω) = ω erfolgen. Dabei muß unbedingt die Reihenfolge der Drehungen beachtet
werden. Z.B.:
R1 = R(α)R(β)R(γ)
⎛
cos β cos γ
R1 = ⎝ sin α sin β cos γ − cos α sin γ
cos α sin β cos γ + sin α sin γ
⎛
R2 = ⎝
9.2.3
cos β cos γ
− cos β sin γ
sin β
Möglichkeiten
der
Transformationen
und
R2 = R(γ)R(β)R(α)
cos β sin γ
sin α sin β sin γ + cos α cos γ
cos α sin β sin γ − sin α cos γ
cos α sin γ + sin α sin β cos γ
cos α cos γ + sin α sin β sin γ
− sin α cos β
Parametriesierung
⎞
− sin β
sin α cos β
cos α cos β
⎠
⎞
sin α sin γ − cos α sin β cos γ
sin α cos γ + cos α sin β sin γ ⎠
cos α cos β
verschiedener
2-D-
• Affinität (6 Parameter)
X II = X0 + aX I + bY I
Y II = Y0 + cX I + dY I
a ≈ d und b ≈ −c wenn m1 ≈ m2 ≈ 1 und Rotation & Scherung klein.
• 5-Parameter
X II = X0 + aX I + bY I
Y II = Y0 + cX I + dY I
Nebenbedingung: a/d = −b/c, d.h. z.B. Substitution: c = −b(d/a)
• Ähnlichkeit (2D-Helmertransformation, 4 Parameter)
X II = X0 + aX I + bY I
Y II = Y0 − bX I + aY I
• Kongruenz (3 Parameter)
X II = X0 + X I + bY I
Y II = Y0 − bX I + Y I
9.2.4
Parametrisierung und Ausgleichungsmodell für die 3-D-Transformation
Transformationsgleichungssystem ohne Berücksichtigung von Scherungen:
XII = X0 + mRXI
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9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
34
X
= X0 + mx (X + γY − βZ )
II
Y
= Y0 + my (−γX I + Y I + αZ I )
Z II = Z0 + mz (βX I − αY I + Z I )
II
I
I
I
Alternative Parametrisierung:
⎡ II
⎤
X
= X0 + aX I + bY I + cZ I
⎣ Y II = Y0 + dX I + eY I + f Z I ⎦
Z II = Z0 + gX I + hY I + iZ I
Designmatrix A für m = mx = my = mz ≈ 1 und α ≈ β ≈ γ ≈ 0 sowie m0 = 1 und
α0 = β0 = γ0 = 0:
⎛
⎜
⎜
A=⎜
⎜
⎝
1
0
0
..
.
0
1
0
..
.
⎞
0 XI
0
−Z I Y I
0 Y I ZI
0
−X I ⎟
⎟
⎟
1 Z I −Y I X I
0 ⎟
⎠
.. ..
..
..
..
. .
.
.
.
und entsprechend für mx = my = mz und α ≈ β ≈ γ ≈ 0:
⎛
⎜
⎜
A=⎜
⎜
⎝
1
0
0
..
.
0
1
0
..
.
⎞
0 XI 0
0
0
−Z I Y I
I
I
0 0 Y
0
Z
0
−X I ⎟
⎟
⎟
1 0
0 Z I −Y I X I
0 ⎟
⎠
.. ..
..
..
..
..
..
. .
.
.
.
.
.
und Normalgleichungsmatrix N:
N = AT A
N = AT PA
bzw.
Entsprechend lassen sich auch die Normalgleichungen für eine Auswahl von Parametern
(z.B. Transformation ohne Maßstab) aufstellen.
9.2.5
Genauigkeitsbewertung
Redundanz als Maß für die Überbestimmtheit der Transformation von n Punkten mit np
Parametern (→Freiheitsgrad):
R2D = 2n − np
(2 − dimensional)
R3D = 3n − np
(3 − dimensional)
Standardabweichung einer Koordinate:
2
[v + v 2 ]
y
σ0 = σx = σy = x
R2D
Lagestandardabweichung:
2
[v + v 2 + v 2 ]
y
z
σ0 = σx = σy = σz = x
R3D
√
σL = σ0 2
Mittlere Restklaffungen:
v̄x =
[vx2 ]
n
v̄y =
[vy2 ]
n
v̄z =
[vz2 ]
n
Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 9. Oktober 2009)
9 DATUMSTRANSFORMATIONEN
35
Koordinaten sind bei der (Helmert-)Transformation nur fingierte Beobachtungen. Die
Standardabweichung sagt daher nur aus, mit welcher Genauigkeit sich die holonomen
Punkte der beiden Systeme aufeinander transformieren lassen.
Über die Genauigkeit der Systeme selbst kann allein aus den Restklaffungen vi keine
Aussage getroffen werden. Hierfür sind a-priori Informationen nötig. Start- und Zielsystem
werden nur selten gleichgenau sein.
9.2.6
Zuverlässigkeitsbewertung
Insbesondere bei nur wenigen holonomen Punkten werden die Restklaffungen klein und
damit kommt es u.U. zu irreführenden Interpretationen der Ergebnisse. Es können erhebliche Differenzen in einem Paßpunkt durch die übrigen aufgefangen ( verschmiert“)
”
werden. Die Gefahr einer Fehleinschätzung der Güte der Transformation ist umso geringer, je größer die Zahl und je günstiger die Anordnung der Paßpunkte ist.
Die Redundanz R läßt sich rechnerisch auf die einzelnen Paßpunkte aufteilen. Es ergibt
sich die individuelle Überbestimmtheit jeder einzelnen Paßpunktkoordinate. Die Redundanz ri drückt aus, welcher Anteil des Fehlers einer Koordinate sich in der Restklaffung
niederschlägt, und der Term (1 − ri ), welcher sich auf andere Paßpunkte aufteilt.
ri = 1 −
x2i + yi2
1
−
2
2
[x + y ] n
Es ist immer sinnvoll, sowohl die Restklaffungen, als auch die individuelle Konfiguration
eines Paßpunktes zu betrachten.
Gewichtete Restklaffungen:
vi
vi = √
ri
Normierte Restklaffungen:
viN orm =
vi
√
σ0 ri
Grenzwert (Um welchen Betrag müßte eine Koordinate verändert werden, damit die
Restklaffung vi = 0 wird?):
vi
Gi =
ri
9.2.7
Interpretation der Transformationsergebnisse
• Rotationswinkel
Bei Einpassung von örtlichen (lokalen) Koordinaten in ein übergeordnetes System
i.a. nicht von Interesse. Anderenfalls sind Aussagen über Orientierungsgenauigkeit,
Meridiankonvergenz, magnetische Deklination o.ä. möglich.
• Maßstab
Durch Maßstabsdifferenzen können individuelle Klaffungen verwischt werden. Maßstabsdifferenzen müssen immer im Zusammenhang mit a-priori Maßstabsgenauigkeiten der Systeme oder Meßverfahren betrachtet werden.
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36
• Translationen
Bei Bezug der Koordinaten der holonomen Punkte auf deren Schwerpunkt gleich
Null (Schwerpunktsdifferenz gleich Translation). Es können starke Korrelationen
mit den Rotationen auftreten (z.B. bei geozentrischen dreidimensionalen Datensätzen).
• Restklaffungen
Die Bewertung von Beträgen, Redundanzanteilen und Grenzwerten reicht u.U.
allein nicht aus. Es sollte immer auch eine Betrachtung der Geometrie der Klaffungen und der Nachbarschaftsbeziehungen erfolgen (grafische Veranschaulichung
sinnvoll).
9.3
Regeln“ für die praktische Nutzung von Transformationen
”
• Die Nutzung von a-priori Kenntnisse über Qualität und Besonderheiten der ineinander zu transformierenden Systeme sind immer sinnvoll. Sie können bei der
Interpretation der Transformationsergebnisse sehr hilfreich sein.
• Maßstabsfaktoren sind nur für Systeme mit erwartungsgemäß homogenem Maßstab sinnvoll. Die Suche nach fehlerhaften holonomen Punkten bei gleichzeitiger
Maßstabsbestimmung kann mitunter schwierig sein.
• Die Eliminierung von Paßpunkten muß immer begründet erfolgen. Gleiches gilt für
die Änderung von Gewichten von Punkten oder einzelner Komponenten.
• Es darf grundsätzlich nicht extrapoliert werden. Transformationen gelten immer
nur innerhalb der durch Paßpunkte überdeckten Fläche.
• Bei nur wenigen Paßpunkten (3–5) darf wegen der geringen Überbestimmung nicht
zwangsläufig auf eine gute, d.h. zuverlässige Einpassung geschlossen werden, selbst
wenn die Restklaffungen klein sind.
QUELLENHINWEISE (Auswahl)
[Großmann] Großmann, W., 1949: Geodätische Rechnungen und Abbildungen in der
Landesvermessung. Wiss. Verlagsanstalt K.G., Hannover
[Hooijberg] Hooijberg, M., 1997: Practical Geodesy – Using Computers. Springer-Verlag,
Berlin Heidelberg
[Snyder] Snyder, J. P. & P. M. Voxland, 1989: An Album of Map Projections. U. S.
Geological Survey Professional Paper 1453
WWW-Adressen:
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37
www.utexas.edu/depts/grg/gcraft/notes/datum/datum_f.html
//gibs.leipzig.ifag.de/cgi-bin/transform.cgi?de
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