Geometrisches Wissen in der Grundschule

Didaktisches Kolloquium Mathematik
Institut für Didaktik der Mathematik und
Elementarmathematik der TU Braunschweig
13. 12. 2011
Geometrisches Wissen in der
Grundschule – Der Weg zu einer
experimentellen Studie
Renate Rasch, Universität Koblenz-Landau
Campus Landau
[email protected]
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Geometrisches Wissen in der
Grundschule
• 1 Eigene Befunde – Untersuchungsanlass
• 2 Klassische Untersuchungen - theoretischer
Hintergrund
• 3 Beziehungshaltiges Wissen - Kernideen
• 4 Geometrie zwischen Instruktion und
Eigenaktivität – experimentelle Studie
2
1 Eigene Befunde
Figurenkenntnis – betrachtet über
die Grundschuljahre 2003
aktualisiert 2010/2011
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• „Das ist ein Dreieck und das ist ein
Langdreieck.“
• Florian, Kl. 1/Schulanfang
4
Zeichne Dreiecke, Vierecke,
Kreise und Würfel.
Kl. 1/Schulanfang
Begriffe, die Kinder in diesem
Zusammenhang nennen: Viereck,
Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis,
Halbkreis, Würfel
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• Justin nach dem Hören des Auftrages:
„Würfel gehen aber ganz schön schwer.“
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2% der Kinder
unserer
Untersuchung
(n=100)
repräsentierten
Würfel durch eine
perspektivische
Darstellung, die
anderen wählten mit
Selbstverständlichkeit
die Flächen, um
Würfel zu
repräsentieren.
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• Auftrag für Klasse 2, 3 und 4
Zeichne Flächen und Körper, die du kennst.
Was lernen sie?
-Begriffe
-Eigenschaften
-Zusammenhänge
-Darstellungen
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Zeichne Flächen und Körper,
die du kennst. (Kl. 3/4)
9
Zeichne Flächen und Körper, die du kennst. (Kl. 4)
Schülerin mit weniger guten Voraussetzungen in
Mathematik am Ende der Grundschule:
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• Schüler/innen, die besonderes leisten können
„Dann mache ich Kugel – Kreis - Unendlicheck.“
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Ideen für
Begriffshierarchien
Kl. 4
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konvexe und
konkave Figuren
Kl. 4
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Klassifizieren
Kl. 4
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• „Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Ecken.“
… das „Langdreieck“ aber war verschwunden.
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Eine ToDo-Liste?
• Wir betreiben früh eine rechtwinklige Geometrie ohne die dafür
notwendigen Eigenschaften.
• Wir vernachlässigen Figuren, die wichtige Träger für geometrisches
Verstehen sind, z. B. das Dreieck.
• Begriffe, die man für eine Geometriesprache braucht, vermitteln
wir nicht bzw. nur halbherzig, z. B. Winkel.
• Geometrisches Wissen wächst im Zusammenhang mit den
Darstellungsfähigkeiten. Wir führen die Kinder zu spät an das
Zeichnen (die Zeichengeräte) heran.
• Wir nutzen kaum die besonderen Möglichkeiten dynamischer
Geometriesoftware in der Grundschule. (Quelle: z. B. Markus Reiter.
Grundschulunterricht, Heft 1/2012. Oldenbourg; Beiträge zum
Mathematikunterricht 2011. Springer)
• Wir fördern besonders leistungsfähige Kinder nicht ausreichend.
• …
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2 Klassische Untersuchungen
• Jean Piaget
•Pierre und Dina van Hiele
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bis 3 Jahre
19
ab 3 Jahre
20
ab 4 Jahre
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• Entwicklung in den Kitas?
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Kl. 1, 9. Schulwoche (2011)
Fiona, 6 Jahre
Noemi, 6 Jahre
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• Die Untersuchungen von Dina van HieleGeldorf und Pierre van Hiele (1957) haben
ihre Relevanz bis heute behalten und bilden
die Grundlage für zahlreiche Untersuchungen
(Clements et al. 1996; Reimann 2010; Szinger
2006) und die Entwicklung von Curricula und
Standards in der Geometrie (Common Core
Standards 2009).
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Wie Kinder lernen, Geometrie zu verstehen
Pierre und Dina van Hiele (1957)
Fünf Denkebenen der Entwicklung geometrischen Denkens
•
•
•
•
•
Level 0: Visualization
Level 1: Analysis
Level 2: Abstraction
Level 3: Deduction
Level 4: Rigor
Pierre van Hiele beschrieb,
dass seine Kinder Stufen
erreichten, die sich durch
markante Punkte
beschreiben ließen und
auf der Grundlage solcher
markanten Punkte konnte
er Niveaustufen
identifizieren.
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Level 1
Die Objekte des Denkens sind die
Figuren (classes of shapes), die
das Kind bezüglich ihrer
Eigenschaften betrachten kann.
„Sie gehen davon aus,
dass ein Quadrat kein
Rechteck ist.“
Level 2
Die Schüler verstehen, dass
Eigenschaften miteinander in
Beziehung stehen und eine
bestimmte Sorte Merkmale
andere Eigenschaften hervorruft.
„Sie erkennen, dass alle
Quadrate Rechtecke,
aber nicht alle
Rechtecke Quadrate
sind .“
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• „Ein Kind muss genügend Erfahrungen zu
geometrischen Ideen erwerben können
(classroom or otherwise), um ein höheres
Entwicklungsstadium zu erreichen. …“
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• Ziele einer experimentellen Studie:
– Inhalte der Grundschulgeometrie so aufbereiten,
dass Grundschulkinder auch in der Geometrie
Zusammenhänge sehen, artikulieren und nutzen,
sich zwischen Level 1 und 2 bewegen lernen
– Niveaustufen genauer beschreiben
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3 Beziehungshaltiges Wissen Kernideen
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•
•
•
•
•
•
•
Geometrie 1: Faltwinkel (Gerade, Strecke, Strahl, sich schneidende
Geraden, Winkel, rechter Winkel, Rechteck, rechteckige Körper,
senkrechte Linien, parallele Linien, Parallelogramm)
Geometrie 2: Achsenkreuz (sich senkrecht schneiden, senkrecht
zueinander, rechte Winkel, Quadrat, Drachenviereck, Raute, Kreis)
Geometrie 3: Dreiecke (beliebige Dreiecke mit spitzen und stumpfen
Ecken (Winkeln); Dreiecke mit zwei gleichlangen Seiten; Dreiecke mit drei
gleichlangen Seiten)
Geometrie 4: Streifengeometrie (parallele Kanten; Trapez, symmetrisches
Trapez; Parallelogramm; Rechteck; Quadrat)
Geometrie 5: Kreise (Halbkreis, Viertelkreis – Faltwinkel , Dreiviertelkreis,
Vierviertelkreis; Quadrat, halbes Quadrat – rechtwinkliges Dreieck;
Achteck; Kegel)
Geometrie 6: Dreiecke im Quadrat ( gleichschenklig, rechtwinklig,
zusammengesetzte Figuren, Geometriedreieck, halbe rechte Winkel,
parallele Linien, rechtwinklige Dreiecke im Kreis)
Geometrie 7: Gleichseitige Dreiecke ( Linien im Dreieck; Symmetrien,
Beziehungen zu Trapez, Raute, Sechseck, Würfel, Parkettieren, Tetraeder,
platonische Körper)
• Geometrie 1: Faltwinkel (Gerade, Strecke,
Strahl, sich schneidende Geraden, Winkel,
rechter Winkel, Rechteck, rechteckige Körper,
senkrechte Linien, parallele Linien,
Parallelogramm)
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4 Geometrie zwischen Instruktion
und Eigenaktivität
Experimentelle Studie
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Über Geometrie sprechen …
-Fachbegriffe
-Gespräche
-Dokumente
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Wege zu geometrischen
Formen über das Falten
und …
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Zeichnen
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Unterrichtsstrukturen
1 Erinnern/Reflektieren
2 Wissen aufnehmen
3 Anwenden/Erproben
4 Austauschen/Besprechen
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Wissen aufnehmen
Was schafft man „nur
mit den Augen“?
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• Anwenden und Erproben
Offene Aufgaben als Rahmen für
geometrische Eigenaktivität
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Klassenstufe 1 (Auswahl)
Instruktion
Offene Aufgabe
•
•
•
Zeichne und schneide Dreiecke
mit zwei gleichlangen Seiten.
Lege mit 4 Dreiecken aus dem
Quadrat verschiedene Vierecke
und ein großes Dreieck. Klebe
die Figuren auf.
Falte ein Achsenkreuz und setze
Quadrate und Kreise darauf.
•
Zeichne oder falte
Drachenvierecke und klebe sie
auf.
•
Falte und schneide Vierecke aus
dem Papierquadrat und schreibe
die Namen dazu.
•
Zeichne mit dem Dreieck aus
dem Papierquadrat. Schreibe
die Namen der Figuren daran.
•
Zeichne mit dem Papierdreieck
senkrechte und parallele Linien.
Ergänze einzelne Figuren zu
Rechtecken.
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Klassenstufe 2 (Auswahl erstes Halbjahr)
Instruktion
Offene Aufgabe
•
Zeichne senkrechte und
parallele Linien mit dem
Geometriedreieck. Finde
Rechtecke und skizziere
Muster.
•
Finde Figuren im und mit dem Kreis.
Zeichne und falte.
•
Falte aus einem Kreis das
Ziffernblatt einer Uhr und setze
Figuren darauf.
•
Zeichne parallele Linien, die sich
schneiden. Du findest
Parallelogramme. Lege zwei
Streifen aufeinander, du findest
Parallelogramme.
•
Arbeite mit Streifen. Finde
Quadrate, Rechtecke,
Parallelogramme und
Trapeze. Schreibe die
Namen der Figuren daran.
•
Nimm dir eine Figur und finde
heraus, wie viele Symmetrielinien
diese Figur hat: keine, eine, zwei,
drei, vier, mehr als vier. Zeichne die
Symmetrielinien ein.
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2. Geometriestunde, Kl. 1
Zeichne und schneide Dreiecke mit zwei
gleichlangen Seiten.
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3. Geometriestunde, Kl. 1
Falte und schneide Dreiecke aus dem Quadrat.
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5. Geometriestunde, Kl. 1
Lege mit 4 Dreiecken aus dem Quadrat
verschiedene Vierecke und klebe sie auf.
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• Stunde 9: (16.06.2011):
Zeichne mit dem Dreieck
aus dem Papierquadrat.
Schreibe die Namen der
Figuren dazu.
• Stunde 10 (24.06.2011):
Zeichne mit dem
Papierdreieck senkrechte
und parallele Linien.
Ergänze einzelne Figuren
zu Rechtecken.
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Das Quadrat
im Kreis
Das
„Achtereck“
Auf der Suche nach
dem Quadrat im
Kreis
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Wie kann sich geometrisches
Wissen entwickeln, wenn es
ausreichend Anregungen gibt?
Was ist in einer bestimmten
Jahrgangsstufe möglich – welches
Lernangebot muss man Kindern
demzufolge machen?
• Welche Denkprozesse
bewältigen sie, welche
nicht?
• Welche
Darstellungsfähigkeiten
lassen sich früh
entwickeln, welche nicht?
• Welche Fachbegriffe
können sie verinnerlichen,
welche nicht?
• Wann können erste
Zusammenhänge bewusst
genutzt werden? Welche
sind das?
• Wie differenzierend
müssen wir vorgehen?
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• Level 0: Visualization
• Level 1: Analysis
• Level 2: Abstraction
Bisherige Ergebnisse:
-Jahrgangsstufe 1: erreichte Level 0, aber auf der
Grundlage der Kenntnis zahlreicher geometrischer
Formen
-Jahrgangsstufe 2 (?): bewegt sich auf Level 0
(anspruchsvolle Formen können besser verinnerlicht
werden, weitere Formen kommen dazu), vielfach schon
auf Level 1 (Träger sind die rechten Winkel und die
parallelen Seiten); erste Ansätze für Level 2 erkennbar:
„Drei Symmetrieachsen beim gleichseitigen Dreieck, das
ist wie beim Quadrat mit vier.“
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• Danke für die Aufmerksamkeit.
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