3.4 Anwendungen

3.4
3.4.1
Anwendungen von Potenzreihen
Berechnung von Funktionswerten
Ein Taylorpolynom statt der Taylorreihe verwenden.
Fehlerschranken überlegen!
Bei Anwendern aus der Mode gekommen. (Taschenrechner)
3.4.2
Berechnung von Grenzwerten
Beispiel:
y=
x − sin x
1 − cos x
Ges.: limx→0 y und limx→0 y 0
3
5
Aus Formelsammlung: sin x = x − x3! + x5! ∓ . . .
4
2
cos x = 1 − x2 + x4! ∓ . . .
x3
3!
x2
2
5
− x5! ± . . .
x
=
±
x4
3
− 4! ± . . .
Polynomdivision hat den Anfang einer Potenzreihe für y geliefert.
y=
Anfang einer Potenzreihe für y 0: 31 .
limx→0 y = 0 und limx→0 y 0 = 13 .
1
3.4.3
Lösung von Differentialgleichungen
Geg.: Dgl der Ordnung n
Ges.: allgemeine Lösung oder Lösung für ein Anfangswertproblem
Vorgehen: Potenzreihe ansetzen, z.B.
p(x) :=
∞
X
ak (x − x0)k
(a0, a1, a2 . . . ∈ R),
k=0
am einfachsten mit x0 = 0, also
p(x) :=
∞
X
ak x k
(a0, a1, a2 . . . ∈ R).
k=0
Wenn eine Lösung in einer Umgebung von x0 interessiert, sollte man eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x0 ansetzen!
Ableitungen ausrechnen, also z.B.:
0
p (x) =
∞
X
kak xk−1
k=1
00
p (x) =
∞
X
k(k − 1)ak xk−2
k=2
p000(x) =
∞
X
k(k − 1)(k − 2)ak xk−3
k=3
...
2
p
(n)
=
∞
X
k=n
k!
ak xk−n
(k − n)!
p(x), p0(x), p00(x), . . . , p(n)(x) einsetzen in die Dgl.
Ausmultiplizieren!
Ergebnis:
∞
X
(Ausdruck in a0, a1, . . .)k xk = 0.
k=0
Koeffizientenvergleich liefert:
(Ausdruck in a0, a1, . . .)0 = 0,
(Ausdruck in a0, a1, . . .)1 = 0,
(Ausdruck in a0, a1, . . .)2 = 0,
....
Falls es gelingt,
aus a0, a1, . . . , an−1
die an, an+1, an+2, . . .
zu berechnen
3
(ohne Widersprüche!),
dann kann man a0, a1, . . . , an−1 wählen
(Integrationskonstanten).
Falls dann die Reihe konvergiert,
hat man eine Lösung.
Im Zweifelsfall macht man noch die Probe.
Beispiel: Geg.: Differentialgleichung
y 00 = y 02 + x2
Ges.: Anfang einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 für
y, so dass y die Dgl erfüllt.
Lösung:
Ansatz für y:
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + . . .
y 0 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + 5a5x4 + . . .
y 00 = 2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x3 + . . .
usw.
y 02 = a21 + 4a1a2x + (6a1a3 + 4a22)x2+
4
(8a1a4 + 12a2a3)x3 + (10a1a5 + 16a2a4 + 9a23)x4 + . . .
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
x2 = y 00 − y 02 =
2a2 + 6a3x + 12a4x2 + 20a5x3 + . . .
−(a21 + 4a1a2x + (6a1a3 + 4a22)x2 + (8a1a4 + 12a2a3)x3 + . . .)
Daraus folgt:
2a2 = a21,
6a3 = 4a1a2,
12a4 = 1 + 6a1a3 + 4a22,
20a5 = 8a1a4 + 12a2a3,
...
Wählt man a1 =: c, so bekommt man
a2 = 12 c2,
a3 = 23 21 c3 = 13 c3,
1
1
a4 = 12
· (1 + 2c4 + c4) = 12
+ 14 c4,
1
1
1
a5 = 20
· (8 · 12
c + 2c5 + 2c5) = 30
c + 15 c5
...
In der Rechnung kommt a0 nicht vor. Es kann offenbar beliebig
gewählt werden.
(Das liegt daran, dass in der Dgl y nicht vorkommt, sondern
nur Ableitungen von y.)
Ergebnis:
1
1 1
1
1
1
y = a0 +cx+ c2x2 + c3x3 +( + c4)x4 +( c+ c5)x5 +. . .
2
3
12 4
30 5
5
Wie bei einer Dgl 2. O. zu erwarten, hat man eine zweiparametrige Lösungsschar.
Man kann (i.a.) noch zwei Wünsche an die Lösung äußern.
6